福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期末联考试题数学试题（PDF版，含答案）

福州市六校 2023-2024学年高一下学期期末联考
数学试卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
命题学校：
第一部分（选择题共 58分）
一 单选题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 复数 z (2 3i)(1 i)在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1 1
2. 甲 乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 , ，则甲 乙两人一起破译这份密码，
4 5
密码被成功破译的概率为（ ）
1 7 2 9
A. B. C. D.
20 20 5 20
π
3. 已知平面向量 a，b 的夹角为 ，且 a 2，b ( 1, 3)，则 a在b 方向上的投影向量为（ ）6
3 1 , 3 1

, 3 3
3 3
A. B.2 2 2 2
C. , 2 2
D.

,
2 2
4. 已知三条不重合的直线 a,b,c和平面 ，下列命题中是真命题的为（ ）
A. 若直线 a,b和平面 所成的角相等，则 a b
B. 若 a c,b c，则 a b
C. 若a ,a b，则b
D. 若 a ,b ，则 a b
5. 进入 8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为 24小时
3
内最高气温将升至 37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在 37摄氏度以上的概率是 .用计算
5
机生成了 20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用 0，1，2，3，4，5 表示高温橙色预警，用 6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的3 天中恰有 2
天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
3 13 2
A. B. 1
5 2
C. D.
20 5

6. 如图所示，在 ABC中，D为 BC边上的三等分点，若 AB=a，AC b，E为 AD中点，则BE （ ）
2 a 1

b 2 1

A. B. a b
3 6 3 6
1 a 1 1 1

C. b D. a b
3 6 3 6
sinA 3 2
7. 在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c, ,C ,c 7，则 ABC的面积为（ ）
sinB 5 3
15
A. 15 3 B. C. 15 3 D. 15 2
4 4 2 4
8. 已知三棱锥D ABC 的顶点都在球O的球面上，底面 ABC是边长为 3的等边三角形．若三棱锥
D ABC 9 3的体积的最大值为 ，则球O的表面积为（ ）
4
A. 16π B. 12π C. 8π D. 4π
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党 知史爱国的热情，某校举办了“学党史 育文化”暨
“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将 1000名师生的竞赛成绩（满分 100分，成绩取整数）整理成如图所
示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ）
A. a的值为 0.005；
B. 估计成绩低于 60分的有 25人
C. 估计这组数据的众数为 75
D. 估计这组数据的第 85百分位数为 86
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知事件 A，B，且 P A 0.5， P B 0.2，如果 B A，那么 P A B 0.2，P AB 0.5
B. 对于单峰的频率分布直方图而言，若直方图在右边“拖尾”，则平均数大于中位数
C. 若 A，B是两个互斥事件，则 P A B 1
D. 若事件 A，B，C两两独立，则 P ABC P A P B P C
11. 如图，棱长为1的正方体中 ABCD A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A. 异面直线 B1D1与 BC1所成的角为60
B. 直线 A 1C与平面C1CDD1所成的角为 45
C. 二面角B C1D D1平面角的正切值为 2
D. A BDC 2 3点 1到平面 1的距离为
3
第二部分（非选择题共 92分）
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 在正四棱锥P ABCD中， PA AB 2，则该棱锥的体积为____________．
13. 在对某中学高一年级学生身高（单位： cm）调查中，抽取了男生 20 人，其平均数和方差分别为 174
和 12，抽取了女生 30 人，其平均数和方差分别为 164 和 30，根据这些数据计算出总样本的平均数为
__________，方差为__________.
14. 设样本空间 1,2,3,4,5,6,7,8 含有等可能的样本点，且事件 A 1,2,3,4 ，事件 B 1,2,3,5 ，
事件C 1,m,n,8 ，使得 P ABC P A P B P C ，且满足 A,B,C两两不独立，则m n ______.
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 z m 2i是方程 x2 6x 13 0的一个虚根（ i是虚数单位， m R ）．
（1）求 | z |；
z
（2）复数 z1 a i，若 z 为纯虚数，求实数
a的值．
1

16. 已知向量 a,b满足 a 3， b 2， a 2b 31．

（1）求向量 a,b的夹角 的大小；

（2）设向量m 3a b ,n a kb ，若m,n的夹角为锐角，求实数 k的取值范围．
17. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化
有关的期末模拟试卷，试卷满分 150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取
了 100名学生的成绩，按照成绩为 90,100 ， 100,110 ，…， 140,150 分成了 6组，制成了如图所示的
频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于 90分）．
（1）求频率分布直方图中的 x的值，并估计所抽取的 100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区
间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于 120,140 的两组学生中抽取 6人，再从这 6人中随机抽取
2人参加这次考试的考情分析会，试求 130,140 这组中至少有 1人被抽到的概率．
18. 已知 AB 平面 ACD，DE 平面 ACD， ACD为等边三角形，AD DE 2，AB 1，F 为CD
的中点．
（1）求证： AF //平面 BCE；
（2）求证：平面BCE 平面CDE；
（3）求直线 BF 和平面BCE所成角的正弦值．
19. 如图，设 ABC 中角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, AD 为 BC 边上的中线，已知 c 1，且
2csinAcosB asinA 15csinC, cos 21 BAD ．
7
（1）求b的值；
（2）求 ABC的面积；
（3）设点 E,F 分别为边 AB, AC上的动点（含端点），线段 EF 交 AD于G，且△AEF 的面积为 ABC面
1
积的 ，求 的取值范围．
6 AG EF
参考答案
1. D
2. C．
3. D
4. D
5. B
6. A
7. A．
8. A.
9. ACD
10. BC
11. ACD.
12. 4 2 .
3
13. 168；46.8 .
14. 13
15. （1） 13
2
（2）
3
π
16. （1）
6
6 1 1
（2） , 5 3
, 3
17. （1） x 0.02，平均分为116.5；
3
（2）
5
18.（1）证明：取CE的中点G，连接 FG 、BG．
GF 1 F 为CD的中点， GF //DE且 DE．
2
Q AB 平面 ACD，DE 平面 ACD，
AB//DE， GF //AB．
AB 1又 DE， GF AB．
2
四边形GFAB为平行四边形，则 AF //BG．
AF 平面 BCE， BG 平面 BCE，
AF //平面 BCE．
（2）证明： ACD为等边三角形， F 为CD的中点， AF CD．
DE 平面 ACD， AF 平面 ACD， DE AF ．
BG //AF ，所以DE BG， BG CD，
又CD DE D，CD,DE 平面CDE，
BG 平面CDE．
BG 平面 BCE， 平面 BCE 平面CDE．
2
（3）
4
19. （1）b 4
（2） 3

（3） 0,
5
2