2023-2024学年贵州省遵义市高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年贵州省遵义市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，向量，，，则向量可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，且，则( )
A. B. C. D.
5.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班人，乙班人，甲班的平均成绩为分，乙班的平均成绩为分，那么甲、乙两班全部名学生的平均成绩是多少分( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则三角形的面积为( )
A. B. C. D.
7.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距米的、两观测点，且、与“大吉他”建筑的底部在同一水平面上，在、两观测点处测得“大吉他”建筑顶部的仰角分别为，，测得，则“大吉他”建筑的估计高度为多少米( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知函数的定义域为，，则( )
A. B. 函数是奇函数
C. 若，则 D. 函数在单调递减
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数是虚数单位，则下列正确的是( )
A. B. 的虚部是
C. 若是实数，则 D. 复数的共轭复数为
10.已知事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若与相互独立，则
B. 若，则事件与相互独立
C. 若与互斥，则
D. 若发生时一定发生，则
11.将函数图象上所有的点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变得到函数的图象，则下列关于说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 在上为增函数
C. 对于任意都有
D. 若方程在上有且仅有个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边经过，则 ______．
13.已知函数，部分图象如图所示，则函数的解析式为______．
14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为，是正八边形内的动点含边界，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求；
若向量，向量与向量共线，求的值．
16.本小题分
年月日，搭载娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩满分分，其中成绩不低于分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数；
若在抽取的名学生中，从成绩在，，中采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这人中选择人，求被选中的人均为“探月达人”的概率．
17.本小题分
已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若点在上，为的角平分线，，求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小值，以及取得最小值时的集合；
已知，，，求的值．
19.本小题分
若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，，，恒有，若是下凸函数，则对任意，，，恒有，当且仅当时等号成立应用以上知识解决下列问题：
判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数说明理由；
证明，上是上凸函数；
若、、、，且，求的最大值．
参考答案
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15.解：，，
则，
故；
，，，
则，，
向量与向量共线，
则，解得或．
16.解：由图可估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数为：
分；
成绩在，，中的比例为：：：：，
从成绩在，，中采用分层抽样的方法随机抽取的人分别为：人，人，人，分别设其为，，，，，，则从这人中选择人的样本空间为：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中共有个样本点，
又成绩不低于分的学生被评为“探月达人”，
设事件“被评为“探月达人“，则，，，其中包含个样本点，
从这人中选择人，求被选中的人均为“探月达人”的概率为．
17.解：因为，所以，
由正弦定理知，，
整理得，
由余弦定理知，，
因为，所以．
因为为的角平分线，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
18.解：
，
最小值为，取得最小值时，即，
取得最小值时的取值集合为．
，即，
，即，
，，
，，
．
19.解：下凸函数，理由如下：任意取，，
因为，
，当且仅当时等号成立，
故是下凸函数．
证明：任意取，，不妨设，
．
由于，根据在上单调递增，在上单调递减，
则．，
所以，即函数是上凸函数．
当，，，，且，
由知，是上凸函数，
所以，
故，
所以当且仅当时等号成立，
即的最大值为．
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