2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.数据，，，，，，，，的分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知，向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.若，为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则与相交
5.袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个白球、个黑球，从中不放回地依次随机摸出个球，则( )
A. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件
B. “都是白球”与“都是黑球”是对立事件
C. “第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立
D. “至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件
6.甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线已知，，，为所在平面上的点，满足，，，分别为的内角，，的对边，则欧拉线一定过( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断，正确的是( )
A. 图的平均数中位数众数 B. 图的平均数众数中位数
C. 图的众数中位数平均数 D. 图的平均数中位数众数
10.下列说法中正确的是( )
A. 对于数据，，，，，，，，，，的众数与中位数的数值不相等
B. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等
C. 设样本数据，，，，，的平均数和方差分别为和，若，则，，，，，的平均数和方差分别为和
D. 高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有人，高二年级有人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为分和分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为分
11.在中，下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若为钝角三角形，且，，，则的面积为或
D. 若，则一定是等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ______．
13.从名男同学和名女同学中任选人参加社区服务，则选中的人都是女同学的概率为______．
14.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，则鳖臑外接球的表面积为 ，阳马体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率；
学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，．
求的值；
求的面积．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ证明：平面；
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，．
求角的大小及外接圆的半径的值；
若是的内角平分线，当面积最大时，求的长．
19.本小题分
如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，为的中点．
证明平面平面；
求点到的距离．
参考答案
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15.解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：
分．
解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为，
所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出名学生，
可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为，，，
从这名学生中随机抽取名依次进行交流分享，有，，，，，，，，，，，，共有个基本事件；
其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，，，共有个，
所以概率为．
解：甲最终获胜的可能性大．
理由如下：由题意，甲至少得分的概率是，
可得，其中，解得，
则甲的分或分的概率为：，
所以乙得分为分或分的概率为，
因为，所以甲最终获胜的可能性更大．
16.解：Ⅰ，
由余弦定理可知，，
则，
，
则；
Ⅱ，
则，即，
故，
故，
由正弦定理可知，，
故的面积为．
17.Ⅰ证明：由题意可知为的中点，为的中点，连接，
可得，
又平面，平面，
所以平面；
Ⅱ证明：由直棱柱可得底面，平面，
所以，
又因为，是的中点，
所以，而，
所以平面；
Ⅲ解：由Ⅱ可得为在面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
，设，
则，，
所以．
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由，则，
因为，所以，
由正弦定理得；
在中，由余弦定理得，，
则，即，
因为，，所以，
当且仅当时，，
，
此时，，
在中，，
由正弦定理得．
19.解：证明：四边形为平行四边形，可得，又，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，，
四边形为平行四边形，，
所以为等腰三角形，与底边上中点重合，
，，
因为，所以，
又，，，平面，
所以平面．
平面，所以平面平面．
由得因为，所以，
所以，，互相垂直，
由等体积法可得，
，
，
，
设点到的距离为，
则，
解得，即点到距离为．
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