2023-2024学年安徽省六安市皖西中学高一（下）期末数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年安徽省六安市皖西中学高一（下）期末数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-27 20:16:05 | ||
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文档简介
2023-2024学年安徽省六安市皖西中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为，，且两人罚球是否命中相互独立若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为( )
A. B. C. D.
3.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D. 无解
4.已知两不同直线，与三不同平面，，，下列条件能推出的是( )
A. 且 B. ，，
C. 且 D. ，，，
5.若为的边的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
7.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为( )
A. B. C. D.
8.的内角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. 的外接圆半径为
C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据：，，，，，，，，，关于这组样本数据，结论正确的是( )
A. 平均数为 B. 众数为 C. 极差为 D. 中位数为
10.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点，之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，，测得米，，，则( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
11.如图，正方体中，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面平行
C. 点与点到平面的距离相等
D. 平面截正方体所得大小两部分的体积比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方形的边长为，为的中点，则________．
13.若一组数据，，，的方差为，则数据，，，的标准差为______．
14.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，则鳖臑外接球的表面积为 ，阳马体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若，求；
若与共线，求的值．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点、分别为、的中点．
求证：平面平面；
求证：平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求图中，的值；
估计这名候选者面试成绩的第百分位数和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
从成绩在第四、五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取人，再从这人中选出两人，求选出的两人成绩来自同一组的概率．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
求；
若，，求的周长．
19.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：向量，，，
，
，
，
解得，
，
；
向量，，，
，，
与共线，
，
解得．
16.证明：三棱柱中，侧棱垂直于底面，
平面，
又平面，，
又，，、平面，
平面，
又平面，平面平面；
证明：取线段的中点，连接、，
又点是的中点，，且，
点是的中点，，且，
，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
解：，，，
，
三棱锥的体积ABC．
17.解：第三、四、五组的频率之和为，
，解得，
前两组的频率之和为，即，解得．
前三组频率之和为，第百分位数位于组内，
且，即估计第百分位数为；
估计平均数为．
成绩在第四、五两组志愿者分别有人、人，
按比例分层抽样抽得第四组志愿者人数为，分别设为，，，，
第五组志愿者人数为，设为，
这人选出人，所有情况有，，，，，
，，，，，共种，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共种，
选出的两人来自同一组的概率为．
18.解 ：因为面积，且，
所以，所以．
由正弦定理得，
因为，所以．
由得，．
因为，所以，
又，所以，，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，，
所以，
由得：，
所以，即周长为．
19.解：由直三棱柱的体积为，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
连接交于点，，四边形为正方形，
，又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，，又，
平面，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令，则，，
平面的一个法向量为，
，，
由图可知二面角的平面角为钝角，二面角的大小为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为，，且两人罚球是否命中相互独立若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为( )
A. B. C. D.
3.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D. 无解
4.已知两不同直线，与三不同平面，，，下列条件能推出的是( )
A. 且 B. ，，
C. 且 D. ，，，
5.若为的边的中点，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
7.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为( )
A. B. C. D.
8.的内角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. 的外接圆半径为
C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据：，，，，，，，，，关于这组样本数据，结论正确的是( )
A. 平均数为 B. 众数为 C. 极差为 D. 中位数为
10.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点，之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，，测得米，，，则( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
11.如图，正方体中，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面平行
C. 点与点到平面的距离相等
D. 平面截正方体所得大小两部分的体积比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方形的边长为，为的中点，则________．
13.若一组数据，，，的方差为，则数据，，，的标准差为______．
14.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，则鳖臑外接球的表面积为 ，阳马体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若，求；
若与共线，求的值．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点、分别为、的中点．
求证：平面平面；
求证：平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求图中，的值；
估计这名候选者面试成绩的第百分位数和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
从成绩在第四、五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取人，再从这人中选出两人，求选出的两人成绩来自同一组的概率．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
求；
若，，求的周长．
19.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的大小．
参考答案
1.
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3.
4.
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9.
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13.
14.
15.解：向量，，，
，
，
，
解得，
，
；
向量，，，
，，
与共线，
，
解得．
16.证明：三棱柱中，侧棱垂直于底面，
平面，
又平面，，
又，，、平面，
平面，
又平面，平面平面；
证明：取线段的中点，连接、，
又点是的中点，，且，
点是的中点，，且，
，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
解：，，，
，
三棱锥的体积ABC．
17.解：第三、四、五组的频率之和为，
，解得，
前两组的频率之和为，即，解得．
前三组频率之和为，第百分位数位于组内，
且，即估计第百分位数为；
估计平均数为．
成绩在第四、五两组志愿者分别有人、人，
按比例分层抽样抽得第四组志愿者人数为，分别设为，，，，
第五组志愿者人数为，设为，
这人选出人，所有情况有，，，，，
，，，，，共种，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共种，
选出的两人来自同一组的概率为．
18.解 ：因为面积，且，
所以，所以．
由正弦定理得，
因为，所以．
由得，．
因为，所以，
又，所以，，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，，
所以，
由得：，
所以，即周长为．
19.解：由直三棱柱的体积为，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
连接交于点，，四边形为正方形，
，又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，，又，
平面，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令，则，，
平面的一个法向量为，
，，
由图可知二面角的平面角为钝角，二面角的大小为．
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