2023-2024学年江西省抚州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省抚州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.的值为( )
A. B. C. D.
3.直线与平面不平行，则( )
A. 与相交 B.
C. 与相交或 D. 以上结论都不对平行于同一个平面
4.在中，若，，，则边的长为( )
A. B. C. D.
5.在中，边上的中线与边上的中线的交点为，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中与底面的夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，则塔高为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体中，，为线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的最小值为
11.设函数的最小正周期为，且过点，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数
B. 的一条对称轴为
C. 把的图象向左平移个单位长度后得到函数，则
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ______．
13.已知，，，，则向量在向量上的投影向量为______用坐标表示．
14.四面体中，，，，则该四面体的体积 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在圆锥中，已知，的直径，点是的中点，点为的中点．
证明：平面平面；
求直线与平面夹角的正弦值．
16.本小题分
已知函数的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，且．
求的解析式；
将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．
17.本小题分
若的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角；
若，求周长的取值范围．
18.本小题分
如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标设向量在斜坐标系中的坐标分别为．
求；
求向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标．
19.本小题分
如图所示，四棱锥中，四边形是菱形，棱长为，，，．
证明：；
若，求；
若，为边的中点，为四棱锥表面上一动点且恒有，求动点的轨迹长．
参考答案
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14.
15.证明：连接，
因为，为的中点，
所以．
又底面，底面，
所以，
又，，面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：连接并延长，与过点且与平行的直线交于点，
则面，
直线与平面的夹角即为，
又，，
则，
即直线与平面夹角的正弦值为．
16.解：由已知得的最小正周期，所以，
从而，又，，所以，
所以．
由已知得．
故，
令，，得，，
所以函数的单调递减区间为，．
17.解：中，因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
由解得，
又，所以；
由，，
根据正弦定理得，
所以，，
所以；
又，所以，所以，
所以周长的取值范围为
18.解：向量在斜坐标系中的坐标分别为．
则，
则．
，
记与的夹角为，
则向量在向量上的投影向量为，
故所求坐标为．
19.解：连接，
，，又，，
平面，又平面，
；
取中点，连结并与交于点，
四边形是菱形，，
为正三角形，为其重心，
为的三等分点，且，，
又，，，
又，，
平面，又平面，
，
由知平面，平面，
，又，且，
平面，又平面，
，
，
易得，，
，，
；
作，与延长线交于点，与延长线交于点，
作于，连结，作，则与交于点，与交于点，
，，
面，
，，
平面平面，
面，
五边形即为动点的轨迹，
易知，，，
又，，，
，，
，，
，，
，
由对称性易知，
，，
轨迹长．
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