2023-2024学年福建省福州市金山中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州市金山中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D. 与和公差有关
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则实数的值是( )
A. B. C. D.
6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7.已知，，则“且”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
8.设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量，，则( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
10.杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了坐公交车用时单位：和骑自行车用时单位：，经数据分析得到，，则( )
A.
B.
C. 若某天只有可用，杨明应选择坐公交车
D. 若某天只有可用，杨明应选择坐公交车
11.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有( )
A. 若，则一定是等腰三角形
B. 若，则
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，则一定是锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项为______用数字作答
13.已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于______．
14.年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为______用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，．
证明：；
点在线段上，试确定点的位置使与平面所成的角的正弦值为．
18.本小题分
现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，．
任取一个零件，计算它是次品的概率；
如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时分钟的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数．
若，求的取值范围；
证明：若有两个零点，，则．
参考答案
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15.解：由正弦定理，得，分
即，
，分
又因为，
，又，
，，分
；分
，，分
由余弦定理，得，即，
，，分
分
16.解：由题意，设等比数列的公比为，
，，成等差数列，
，即，
，，
整理，得，
解得舍去，或，
又，
，
解得，
，．
由可得，
，
，
，
两式相减，
可得，
，
，
．
17.解：证明：底面，面，，
取中点，连接，
，，
，
又，
，．
为直角三角形，且为斜边，，
又，面，面，
面，又面，；
由知，，，两两互相垂直，分别以，，为、、轴建立如图空间直角坐标系，，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，则可取．
设点的坐标是，则的坐标是，
设与平面所成的角为，
则，
解得或，
点在线段上，则，即点在的中点处满足题意．
18.解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，
则，且，，两两互斥，
，，，
，，，
由全概率公式得
；
由题可得，的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为
所以．
19.
解：定义域为，，
令，所以当时，，单调递减
当时，单调递增，要使得恒成立，
即满足．
由知，若有两个零点，则，
而，
即，
因为函数在上单调递增，所以成立，
令，且，易知在上单调递减，在上单调递增，
不妨设要证明，即证明，
即证明 证明在上恒成立．
下面构造函数，
则恒成立，
在单调递增，而，
所以，即在上恒成立，
从而得证．
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