2023-2024学年吉林省吉林市吉化第一高级中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年吉林省吉林市吉化第一高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是( )
A. ，均有真命题 B. ，均有假命题
C. ，有假命题 D. ，有真命题
3.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知实数，，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
5.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.定义在正整数上的函数满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数，满足，则下列说法一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 是奇函数 D. 若 ，则
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，则 ______．
13.若幂函数的图象过点，则函数的最大值为______．
14.设函数的值域为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，集合．
当时，求；
若“””是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，若关于的不等式的解集是．
求的值；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数
求函数在区间上的最值；
若，，求的值．
18.本小题分
已知函数为偶函数，为奇函数，且．
求函数和的解析式；
若在恒成立，求实数的取值范围；
记，若，，且，求的值．
19.本小题分
设函数在区间上可导，为函数的导函数若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数．
判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；
若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；
已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．
参考答案
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15.解：，
当时，，
所以或，；
，
由“”是“”的充分不必要条件得，
所以，解得，即的取值范围是．
16.解：由题意得和是的两根，
将代入方程解得经检验满足题意；
由可知即，
当时，上式不等式显然成立；
当时，，
又因为，当且仅当“”时等号成立，
所以，即，
即实数的取值范围为．
17.解：，
，
，
，
，
，
，
，
故函数的最大值，最小值．
，，
，，
．
18.解：因为，，
因为，
将换成可知，，
化简可得：，
联立方程组，
解得，
由，
所以，
令，
因为可知，
所以，即，
又因为，
所以．
因为为偶函数，为奇函数，
所以为定义在上的奇函数，
所以的图象关于中心对称，
所以的图象关于中心对称，
因为，
所以．
19.解：由题意，，令，
则，当时，，，
即此时，所以即单调递减，
从而由定义可知函数在上是“上凸函数”；
因为，
所以，，设，
则，
由题意函数是其定义域上的“上凸函数”，
所以单调递减，
从而当时，恒成立，
即当时，恒成立，
当时，不等式左边为，不等式成立，此时任意，
当时，恒成立，
而此时，
所以此时，
当时，恒成立，
而此时，等号成立当且仅当，
即此时，所以，
综上所述，的取值范围为；
证明：设为曲线上的任意一点，过点的切线方程为，
令，则，
函数是定义在上的“上凸函数”，则单调递减，
所以当时，，此时单调递减，
所以，，
当时，，此时单调递增，
所以，，
综上所述，除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．
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