2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，周期是，又是奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.为了得到函数的图象
，可以将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角为( )
A. B. C. 和 D. 和
6.( )
A. B. C. D.
7.已知在中，，则判断的形状( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
8.已知，是两条不重合直线，，是两个不重合平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
9.设非零向量，则“”是“或”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知向量，向量，且，点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设复数满足，则 ．
12.已知角的终边经过点，则 ______； ______．
13.已知圆锥的母线长为，轴截面是一个顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积为______．
14.“堑堵”最早的文字记载见于九章算术“商功”章九章算术商功刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马；其一为鳖臑其中“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的三棱柱，如图，长方体的长为，宽为，高为，若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为______．
15.设函数，则下列选项中所有正确选项的序号______．
当时，的最小正周期为；
若对任意的实数都成立，则的最小正数为；
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则；
函数的图像与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为，．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量．
若，求及的值；
若与平行，求实数的值；
若与的夹角为，求实数的值．
17.本小题分
如图，已知正方体边长为．
证明：平面；
证明：；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
在中，，，．
求值；
求角和的面积．
19.本小题分
已知函数．
从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一．
条件：；
条件：在区间单调，且；
条件：函数相邻两个零点间的距离为．
选_____作为条件
求值；
求在区间上的最大值与最小值及对应的的值．
20.本小题分
如图，在中，，，分别为，的中点将沿折起到的位置与不重合，连，，如图．
求证：平面平面；
若平面与平面交于过的直线，求证；
线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量．
设，写出函数的相伴向量；
若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数的取值范围；
若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
参考答案
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16.解：当时，，结合，可得．
因为，所以；
根据，可得，
若，则，解得；
根据题意，，，
若与的夹角为，则，
即，整理得，解得．
17.证明：在正方体中，连接，交于，连接交于，连接，
则，
因为平面，平面，
所以平面；
因为平面，
所以，
因为，，
所以平面，
所以；
解：因为．
18.解：因为，
由正弦定理可得：，
在中，可得，，
可得，
又因为，，
由余弦定理可得：，
即，
可得，
可得或舍，
即的值为；
由及中，可得，
由正弦定理可得：，
即，解得，而为锐角，
可得；
．
19.解：，
若选：，则，即，不成立；
若选：在区间单调，且；
则，即；
若选：函数相邻两个零点间的距离为，
则，即；
由得，，
当时，，
所以，
所以，
故的最大值为，此时，即，
的最小值为，此时，即．
20.证明：由图知，，，分别为，的中点，可得，
，，
图知，，
，
可得平面，
而平面，
所以平面平面；
证明：因为，
平面，平面，
所以平面，
而平面，
平面与平面，
所以；
解：线段上存在点，使得平面，
理由如下：如图，
分别取，的中点，，
则，
又因为，所以，
所以平面即为平面，
由知，平面，
所以，
又因为是等腰，底边的中点，所以，
因为，
所以平面，
从而平面，
故线段上存在点为的中点，使得平面．
21.解：因为，
所以函数的相伴向量；
若的有序相伴向量为，
则，
所以
如图所示：
当时，；当时，；
当时，，当时，；
由图象可知，若函数与直线有且仅有个不同的交点，
则或，
所以；
有唯一“和谐区间”，理由如下：
因为的有序相伴向量为，
则，
当时，，
当时，假设存在“和谐区间”，
则由，得，
若，，则由，知，与值域矛盾，故不存在“和谐区间”；
同理，时，也不存在“和谐区间”；
下面讨论，
若，则，
故的最小值为，于是，
所以，
所以的最大值为，故，
此时的定义域为，值域为，符合题意；
若，
当时，同理可得，，舍去；
当时，在上单调递减，
所以，，
于是，
若，即，，
故，，
与矛盾；
若，同理，矛盾；
所以，即，
由图象可知，当时，，
因为
所以，从而，从而，矛盾．
综上所述，有唯一“和谐区间”．
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