2023-2024学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为：：现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有件，种型号产品有件，( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A.
B.
C.
D.
5.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，若不低于分的人数是人，则该班的学生人数是( )
A. B. C. D.
6.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱，的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为，，高为，则该灯罩外接球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，，，所对的边长为，，，的面积为，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个命题中正确的是( )
A. 对应的点在第二象限
B. 若复数，满足，则
C. 方程在复数集内有两解和
D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆
10.设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是( )
A. 若点在线段上，则
B. 若，则
C. 当时，与共线的单位向量是
D. 当时，在上的投影向量为
11.如图，正方体的棱长为，是侧面上的一个动点含边界，点在棱上，则下列结论正确的有( )
A. 若，沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 若，三棱锥的外接球表面积为
C. 若，，则点的运动轨迹长度为
D. 若，平面被正方体截得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，的对边分别是，，，且面积为，若，
，则角等于______．
13.如图，长方体中，，，分别是侧棱，上的动点，
点在棱上，且，若平面，则 ______．
14.南宋数学家秦九韶在数学九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅．开平方得积．现设中，，，分别为角，，所对的边，为面积，则“三斜求积术”可用公式表示．
若，且，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知四棱锥，底面是、边长为的菱形，又底，且，点、分别是棱、的中点．
证明：平面
证明：平面平面．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，．．
求的值；
若，，，求和面积的值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，平面平面，，，四棱锥的体积为．
求长；
若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，从下列三个条件中选择一个并解答问题：
；；．
求角的大小；
若，且的面积为，求的周长．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，，
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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14.
15.解：证明：取中点，连结、，
因为、分别是棱、中点，
所以，且，于是．
．
，
又因为底面是，边长为的菱形，且为中点，
所以又，
所以平面．
．
16.解：在中，角，，的对边分别为，，．，
则，
又，
则，
即，
则；
已知，，
由可得：，
又，
则，
即，
即，
则是等腰三角形，
则，
．
17.解：四棱锥中，底面为直角梯形，且，
平面平面，，，四棱锥的体积为，
取中点，连，，，，，
过点作，为垂足，平面平面，
平面平面，
平面，
，
，
．
如图，以为原点，，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．
由题意得平面，
，，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，，
设直线与平面所成角为，
则．
18.解：选，，
，即，
，
，
，即，
，
；
选，，
则，
由正弦定理可得，，
，
，
，化简整理可得，，
，
；
选，，
则，
故，
，
；
由可知，，
，且的面积为，
，即，解得，
，即，
故的周长．
19.证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
解：，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又平面，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
为棱的中点，
，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为；
假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，，
由知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是，
，．
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