九年级数学下册第一章测试卷（江西南昌版，学生版）
(时间：120分钟 满分：120分 班级：______ 姓名：______)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．sin 60°的值为（ ）
A. B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值为（ ）
A. B. C. D.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式中错误的是（ ）
A．BC＝AB·sin A B．BC＝AC·tan A C．AC＝BC·tan B D．AC＝AB·cos B
4．如图，P是射线OA上的一点，若OP＝10，tanα＝，则P点的坐标为（ ）
A．(8，6) B．(8，－6) C．(4，3) D．(10，－6)
5．图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan C的值为（ ）
A．sin α B．cos α C．tan α D.
6．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tan α＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80 m至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°.无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100 m，则河流的宽度CD为（ ）
A．200 m B．200 m
C．(200－20)m D．(200＋80)m
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．斜坡AB的长AB＝10 m，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为 .
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝ .
9．已知α是锐角，sin(α－20°)＝，则α的值为 .
10．如图，小莹沿一条笔直的小路自西向东步行，小莹在A处测得旗杆C在北偏东60°方向，30 min后小莹到达B处，测得旗杆C在北偏西45°方向，小莹在这条小路上离旗杆最近的距离是1 000 m，则小莹步行的速度为 m/min.(参考数据：＝1.7)
11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么sin∠D′的值为 .
12．BD为等腰三角形ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为 .
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．计算：tan230°＋2sin 60°＋tan 45°－tan 60°＋cos2 30°.
14．如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A＝，求DE的长和菱形ABCD的面积．
15．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、点B的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中找点D，作∠DAB使得sin∠DAB＝；
(2)在图②中找点E，作∠EAB使得tan∠EAB＝.
① ②
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
17．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度(结果保留小数点后一位，≈1.7)．
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cos B恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根，求m的值及∠C的度数．
19．如图，已知灯塔A的周围7 km的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8 km到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，渔轮如果不改变航向，继续向正东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．(≈1.732)
20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，延长AC至点E，使CE＝AB.
(1)若AE＝1，则△ABD的周长为 ；
(2)若AD＝BD，求tan∠ABC的值．
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，sin∠AOD＝，B点的坐标为(－6，n)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
22．宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城 2 200周年之际的2018年，新建成的东楼(如图①)成为长江首城会客厅、旅游休闲的目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处(如图②)测得楼顶D的仰角45°，沿坡比为7∶24的斜坡AB前行25 m到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE.(结果精确到1 m．参考数据：≈1.73，≈1.41)
六、解答题(本大题共12分)
23．(综合与实践)
【问题情境】如图①，将等腰直角三角形ABC的AB边绕点B顺时针旋转90°得到线段DB，∠ACB＝90°，AC＝1，连接DC，过点D 作DE⊥CB交CB延长线于点E.
【问题探究】
(1)在图①中，易知△ABC与△DBE全等，则△DBC的面积为，sin∠DBE＝；
【拓展延伸】
(2)如图②，若△ABC为任意直角三角形，∠ACB＝90°，BC，AC，AB分别用a，b，c表示．将AB边绕点B顺时针旋转90°，得到DB，过点D作DE′⊥BC交CB延长线于点E′；
①判断△ABC与△DBE′是否全等，并说明理由；
②求sin∠DBE′的值；(用a，b，c表示)
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥DB，AB＝10，BC＝12，DB＝5，连接DC.
①△ABC的面积为 ；
②点P是BC边的高上的一点，当AP＝ 时，PD＋PB有最小值，为 .九年级数学下册第一章测试卷（教师版答案版）
(时间：120分钟 满分：120分 班级：______ 姓名：______)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．sin 60°的值为（B）
A. B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值为（C）
A. B. C. D.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式中错误的是（D）
A．BC＝AB·sin A B．BC＝AC·tan A
C．AC＝BC·tan B D．AC＝AB·cos B
4．如图，P是射线OA上的一点，若OP＝10，tanα＝，则P点的坐标为（A）
A．(8，6) B．(8，－6) C．(4，3) D．(10，－6)
5．图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan C的值为（D）
A．sin α B．cos α C．tan α D.
6．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tan α＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80 m至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°.无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100 m，则河流的宽度CD为（C）
A．200 m B．200 m
C．(200－20)m D．(200＋80)m
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．斜坡AB的长AB＝10 m，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为10sin 36° m.
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝30°.
9．已知α是锐角，sin(α－20°)＝，则α的值为80°.
10．如图，小莹沿一条笔直的小路自西向东步行，小莹在A处测得旗杆C在北偏东60°方向，30 min后小莹到达B处，测得旗杆C在北偏西45°方向，小莹在这条小路上离旗杆最近的距离是1 000 m，则小莹步行的速度为90m/min.(参考数据：＝1.7)
11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么sin∠D′的值为.
12．BD为等腰三角形ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为2＋，2－或.
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．计算：tan230°＋2sin 60°＋tan 45°－tan 60°＋cos2 30°.
解：原式＝＋2×＋1－＋
＝＋＋1－＋
＝.
14．如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A＝，求DE的长和菱形ABCD的面积．
解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
sin A＝，即＝，解得DE＝6 cm，
∴菱形ABCD的面积为10×6＝60(cm2)．
15．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、点B的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中找点D，作∠DAB使得sin∠DAB＝；
(2)在图②中找点E，作∠EAB使得tan∠EAB＝.
① ②
解：(1)如图所示，∠DAB即为所求．
(2)如图所示，∠EAB即为所求．
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，∴BD＝CD＝，
由勾股定理得AD＝＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋.
17．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度(结果保留小数点后一位，≈1.7)．
解：在Rt△BDE中，∠BDE＝90°－45°＝45°，
∴DE＝BE＝14 m，
在△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14 m，
∴AM＝tan 60°·CM＝14 (m)，
∴AB＝BM－AM＝CE－AM＝20＋14－14≈10.2(m)．
答：AB的长约为10.2 m.
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cos B恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根，求m的值及∠C的度数．
解：由题意可知方程的一根为tan A＝tan 60°＝.
把x＝ 代入方程2x2－3mx＋3＝0，解得m＝.
把m＝ 代入方程2x2－3mx＋3＝0，解得x1＝，x2＝，
∴cos B＝，∴∠B＝30°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
19．如图，已知灯塔A的周围7 km的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8 km到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，渔轮如果不改变航向，继续向正东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由．(≈1.732)
解：若不改变航向，继续向正东方向航行，有触礁危险，理由：
过点A作AD⊥BC交直线BC于点D.
∵∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，
∠ABC＋∠BAC＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝60°－30°＝30°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴AC＝BC＝8 km，在Rt△ACD中，
AD＝AC·sin∠ACD＝8×sin 60°＝4＝<＝7，
∴渔轮若不改变航向，继续向正东航行，有触礁危险．
20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，延长AC至点E，使CE＝AB.
(1)若AE＝1，则△ABD的周长为1；
(2)若AD＝BD，求tan∠ABC的值．
解：(2)设AD＝x，∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝4x，
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2x，
∴tan∠ABC＝＝＝.
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，sin∠AOD＝，B点的坐标为(－6，n)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)∵AD⊥x轴于点D，AO＝5，
sin∠AOD＝，∴＝，∴AD＝4，
∴OD＝＝3.∴点A(3，4)，
∵反比例函数y＝的图象过点A，∴m＝12，
故反比例函数的表达式为y＝.∴B(－6，－2)，
由点A，B的坐标求得一次函数的表达式为y＝x＋2.
(2)把y＝0代入y＝x＋2，求得x＝－3，
∴C(－3，0)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝9.
22．宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城 2 200周年之际的2018年，新建成的东楼(如图①)成为长江首城会客厅、旅游休闲的目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处(如图②)测得楼顶D的仰角45°，沿坡比为7∶24的斜坡AB前行25 m到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE.(结果精确到1 m．参考数据：≈1.73，≈1.41)
解：过点B作BF⊥AC于点F，
设BF＝7a m，AF＝24a m，
∴(7a)2＋(24a)2＝252，解得a＝1，
∴AF＝24 m，BF＝7 m，
∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∴AC＝DC，
设DE＝x m，则DC＝(x＋7)m，BE＝CF＝x＋7－24＝(x－17)m，
在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝，解得x≈40.
答：东楼的高度DE约为40 m.
六、解答题(本大题共12分)
23．(综合与实践)
【问题情境】如图①，将等腰直角三角形ABC的AB边绕点B顺时针旋转90°得到线段DB，∠ACB＝90°，AC＝1，连接DC，过点D 作DE⊥CB交CB延长线于点E.
【问题探究】
(1)在图①中，易知△ABC与△DBE全等，则△DBC的面积为，sin∠DBE＝；
【拓展延伸】
(2)如图②，若△ABC为任意直角三角形，∠ACB＝90°，BC，AC，AB分别用a，b，c表示．将AB边绕点B顺时针旋转90°，得到DB，过点D作DE′⊥BC交CB延长线于点E′；
①判断△ABC与△DBE′是否全等，并说明理由；
②求sin∠DBE′的值；(用a，b，c表示)
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥DB，AB＝10，BC＝12，DB＝5，连接DC.
①△ABC的面积为48；
②点P是BC边的高上的一点，当AP＝时，PD＋PB有最小值，为.
解：(2)①△ABC≌△BDE′.
理由：∵DE′⊥BC，∴∠DE′B＝90°＝∠ACB，
∵∠DBE′＋∠ABC＝90°，∠ABC＋∠A＝90°，
∴∠DBE′＝∠A，∵BD＝AB，∴△BDE′≌△ABC(AAS)．
②∵∠A＝∠DBE′， ∴sin A＝sin∠DBE′＝.
