九年级数学下册第二章测试卷（江西南昌版，学生版）
(时间：120分钟 满分：120分 班级：______ 姓名：______)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．抛物线y＝(x－2)2＋7的顶点坐标是（ ）
A．(－2，7) B．(2，7)
C．(－2，－7) D．(2，－7)
2．若抛物线y＝－7(x＋4)2－1平移得到y＝－7x2，则必须（ ）
A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度
B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度
D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度
3．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是二次函数y＝－(x＋1)2＋a图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1 D．y3>y1>y2
4．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝－10x2＋100x＋2 000
B．y＝10x2＋100x＋2 000
C．y＝－10x2＋200x
D．y＝－10x2－100x＋2 000
5．对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．当x6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同一坐标中的图象大致是（ ）
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．写出一个图象开口向上，且经过点(0，1)的二次函数的表达式： ．
8．已知函数y＝(m－2)xm2－2＋3x＋8是二次函数，则m＝ .
9．二次函数y＝x2－4x＋3，当0≤x≤5时，y的取值范围为 .
10．以抛物线y＝－x2－x＋6与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 .
11．一名男生推铅球时，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－x2＋x＋，则铅球落地时推出的水平距离的长是 m.
12．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接CD.点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当△PCD是以CD为腰的等腰三角形，则点P的坐标是
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)将y＝x2－4x＋3化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，请仅用无刻度直尺按要求作图：
(1)在图①中，直线l为对称轴，请画出点C关于直线l的对称点；
(2)在图②中，若CD∥x轴，请画出抛物线的对称轴．
① ②
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(5，0)，(0，－5)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)当0≤x≤5时，求此函数的最小值与最大值．
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)当x为何值时，y>0？当x为何值时，y<0
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
17．某旅游度假区内某个宾馆有120间标准房，当标准房价格为200元时，每天都客满，经市场调查，标准房价格与平均入住房数之间的关系如下：
日平均每间房价x(元) 210 220 230 240 250 260 270
日平均入住房数y(间) 114 108 102 96 90 84 78
(1)若日平均入住房数y(间)与日平均每间房价x(元)之间成一次函数关系，求y与x的函数关系式；
(2)如果不考虑其他因素，宾馆的标准房日平均每间房价为多少元时，客房的日营业额最大，最大日营业额为多少元？
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为(1，0)．
(1)求点D的坐标；
(2)将抛物线y＝x2沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
19．如图，抛物线y1＝(x＋1)2的顶点为C，与 y轴的交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B.
(1)求直线AC的表达式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有y1>y2
20．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图①)．如图②，曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式是y＝－x2＋4x＋(x>0)，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，若a，b，c满足b2＝a2＋c2，则称抛物线为“勾股抛物线”．现有“勾股抛物线”y＝ax2＋bx＋c过点(1，0)，
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为1，求a的值．
22．数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数y＝－(|x|－1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)【观察探究】
方程－(|x|－1)2＝－1的解为 ；
(2)【问题解决】
若方程－(|x|－1)2＝a有四个实数根，分别为x1，x2，x3，x4.
①a的取值范围是 ；
②计算x1＋x2＋x3＋x4＝ ；
(3)【拓展延伸】
①将函数y＝－(|x|－1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
②观察平移后的图象，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围 .
六、解答题(本大题共12分)
23．【问题提出】
如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，－2)，点B为x轴上一点，进行如下操作：
①连接AB，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N两点，过M，N作直线l1；
②过点B作x轴的垂线l2交直线l1于点P；
③多次移动点B的位置，得到对应的点P，将这些点用平滑的曲线连接起来，发现该曲线为抛物线．
【初步感知】
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图①中作出直线l1；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)设点P的坐标为(x，y)，求点P形成抛物线的表达式；
【延伸探究】
(3)如图②，一个横截面为抛物线形的单向隧道，其高为3 m，且近似满足点P形成的抛物线表达式，若规定车辆顶部与隧道有不少于 m的空隙，求宽为2 m的货车通过隧道的最大高度．
① ②九年级数学下册第二章测试卷（教师版答案版）
(时间：120分钟 满分：120分 班级：______ 姓名：______)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．抛物线y＝(x－2)2＋7的顶点坐标是（B）
A．(－2，7) B．(2，7)
C．(－2，－7) D．(2，－7)
2．若抛物线y＝－7(x＋4)2－1平移得到y＝－7x2，则必须（B）
A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度
B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度
D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度
3．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是二次函数y＝－(x＋1)2＋a图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（A）
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1 D．y3>y1>y2
4．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为（A）
A．y＝－10x2＋100x＋2 000
B．y＝10x2＋100x＋2 000
C．y＝－10x2＋200x
D．y＝－10x2－100x＋2 000
5．对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论中不一定成立的是（C）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．当x6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同一坐标中的图象大致是（C）
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．写出一个图象开口向上，且经过点(0，1)的二次函数的表达式：y＝x2＋1(答案不唯一)．
8．已知函数y＝(m－2)xm2－2＋3x＋8是二次函数，则m＝－2.
9．二次函数y＝x2－4x＋3，当0≤x≤5时，y的取值范围为－1≤y≤8.
10．以抛物线y＝－x2－x＋6与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为15.
11．一名男生推铅球时，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－x2＋x＋，则铅球落地时推出的水平距离的长是10m.
12．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接CD.点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当△PCD是以CD为腰的等腰三角形，则点P的坐标是，或.
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)将y＝x2－4x＋3化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值．
解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1.
(2)对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，－1)，y最小＝－1.
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，请仅用无刻度直尺按要求作图：
(1)在图①中，直线l为对称轴，请画出点C关于直线l的对称点；
(2)在图②中，若CD∥x轴，请画出抛物线的对称轴．
① ②
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(5，0)，(0，－5)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)当0≤x≤5时，求此函数的最小值与最大值．
解：(1)抛物线表达式为y＝x2－4x－5.
(2)由(1)可得该二次函数图象的对称轴为x＝－＝2，且函数的开口向上，当x＝2时，y最小＝－9；
当x＝5时，y最大＝52－4×5－5＝0.
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)当x为何值时，y>0？当x为何值时，y<0
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
解：(1)由图象可知x1＝1，x2＝3.
(2)结合图象可知，当10；当x<1或x>3时，y<0.
(3)根据图象可知，当x≥2时，y随x的增大而减小．
17．某旅游度假区内某个宾馆有120间标准房，当标准房价格为200元时，每天都客满，经市场调查，标准房价格与平均入住房数之间的关系如下：
日平均每间房价x(元) 210 220 230 240 250 260 270
日平均入住房数y(间) 114 108 102 96 90 84 78
(1)若日平均入住房数y(间)与日平均每间房价x(元)之间成一次函数关系，求y与x的函数关系式；
(2)如果不考虑其他因素，宾馆的标准房日平均每间房价为多少元时，客房的日营业额最大，最大日营业额为多少元？
解：(1)y与x的函数关系式为y＝－0.6x＋240.
(2)设客房的日营业额为w元，则
w＝xy＝x(－0.6x＋240)＝－0.6x2＋240x＝－0.6(x－200)2＋24 000.
当x＝200时，w最大＝24 000(元)．
答：宾馆的标准房日平均每间房价为200元时，客房的日营业额最大，最大日营业额为24 000元．
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为(1，0)．
(1)求点D的坐标；
(2)将抛物线y＝x2沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
解：(1)D的坐标为(2，1)．
(2)∵原抛物线y＝x2经过点O(0，0)，
∴原抛物线向右平移1个单位得到的抛物线
y＝(x－1)2经过点B(1，0)．
令x＝2，y＝(2－1)2＝1，
故点D在新抛物线上．
19．如图，抛物线y1＝(x＋1)2的顶点为C，与 y轴的交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B.
(1)求直线AC的表达式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有y1>y2
解：(1)y2＝x＋.
(2)S△ABC＝×2×＝.
(3)根据图象知x>0或x<－1时，有y1>y2.
20．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图①)．如图②，曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式是y＝－x2＋4x＋(x>0)，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
解：当y＝0时，－x2＋4x＋＝0，
解得x1＝－，x2＝，
∵x>0，∴x＝，即OB＝.
答：圆形水池半径至少为 m时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，若a，b，c满足b2＝a2＋c2，则称抛物线为“勾股抛物线”．现有“勾股抛物线”y＝ax2＋bx＋c过点(1，0)，
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为1，求a的值．
解：(1)由题意得a＋b＋c＝0，且b2＝a2＋c2，∴b2＝a2＋(－b－a)2(a≠0)，
∴a＝－b，则抛物线的对称轴为直线x＝－＝.
(2)由(1)可知a＝－b，∴c＝0，∴y＝ax2－ax＝a－a，
∵该函数的最大值为1，∴a＜0，且－a＝1，∴a＝－4.
22．数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数y＝－(|x|－1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)【观察探究】
方程－(|x|－1)2＝－1的解为
x＝0或x＝2或x＝－2；
(2)【问题解决】
若方程－(|x|－1)2＝a有四个实数根，分别为x1，x2，x3，x4.
①a的取值范围是－1＜a＜0；
②计算x1＋x2＋x3＋x4＝0；
(3)【拓展延伸】
①将函数y＝－(|x|－1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
②观察平移后的图象，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围0≤x≤4.
解：(3)①将函数y＝－(|x|－1)2的图象向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图象．
六、解答题(本大题共12分)
23．【问题提出】
如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，－2)，点B为x轴上一点，进行如下操作：
①连接AB，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N两点，过M，N作直线l1；
②过点B作x轴的垂线l2交直线l1于点P；
③多次移动点B的位置，得到对应的点P，将这些点用平滑的曲线连接起来，发现该曲线为抛物线．
【初步感知】
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图①中作出直线l1；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)设点P的坐标为(x，y)，求点P形成抛物线的表达式；
【延伸探究】
(3)如图②，一个横截面为抛物线形的单向隧道，其高为3 m，且近似满足点P形成的抛物线表达式，若规定车辆顶部与隧道有不少于 m的空隙，求宽为2 m的货车通过隧道的最大高度．
① ②
解：(1)根据题意画图，如图①所示，l1即为所求的直线．
(2)设P(x，y)，则B(x，0)，由题意得|PA|＝|PB|，
即x2＋(y＋2)2＝y2，整理得y＝－x2－1.
(3)当x＝1时，y＝－，－－＝－(m)，3－＝(m)，
即宽为2 m的货车通过隧道的最大高度应为 m．
