2023-2024学年吉林省BEST学校联合体高二下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年吉林省BEST学校联合体高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.设集合是与的公倍数，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是( )
A. B. C. D.
5.设等差数列的公差为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数则下列说法正确的是( )
A. 是上的增函数 B. 的值域为
C. 单调递减 D. 若关于的方程恰有一个实根，则
7.若，，，则正数大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的是( )
A. 函数的一个周期为
B. 函数的一个周期为
C. 若，则
D. 若当时，，则当时，
11.已知数列满足，，则( )
A. 是递减数列 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则
14.已知集合，是的子集，当时，，则集合元素个数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
若，求在上的最值；
若在上单调递减，求的值．
17.本小题分
医生将一瓶含量的药在内匀速注射到患者的血液中称为药的一次注射．在注射期间，患者血液中药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的药注入量达到，此后，注入血液中的药以每小时的速度减少．
求的值；
患者完成药的首次注射后，血液中药含量不低于的时间可以维持多少？精确到
患者首次注射后，血液中药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中药的含量不低于的时间是否可以维持？参考数据：，，
18.本小题分
对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．
求的值：
若，求数列的前项和
对互不相等的质数，证明：，并求的值．
19.本小题分
已知函数在上的极小值点从小到大排列成数列，函数．
求在处的切线方程；
求的通项公式；
讨论的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 或
14.
15.解：设数列的公差为，由已知有
，即，解得舍，
，；
，
．

16.解：由时，可得，
则，
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数在单调递增，
在上单调递减，在单调递增，
又由，
，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为；
由函数，
可得，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
则满足
整理得且，
解得．

17.解：依题意，，解得，所以的值为．
血液中的药含量达到后，经过小时患者血液中药含量为．
由，得，两边取对数得：，
解得，
所以患者完成药的首次注射后，血液中药含量不低于的时间可以维持．
设第一次注射开始后经过患者血液中药的含量为，即，
记第二次注射完成后患者血液中药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间，
则
，
由，得，即，两边取对数得：
，解得，又，
所以经过两次注射后，患者血液中药的含量不低于的时间可以维持．

18.解：因为的所有正因数为，所以，得到．
因为共有个正因数，它们为，
所以，得到，
所以，
令，则，
由得到，
所以，
故．
因为是互不相等的质数，则的正因数有个，它们是，
的正因数均为个，分别为和，
的正因数有个，分别为，
所以，
，
因为，所以．

19.解：因为，所以，得到，
又，所以在处的切线方程为．
因为，令，则，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
在上递减，在上递增，
又，，，
，这里，
结合的单调性知，当时，，
对，存在唯一的，使得，
且在上取正值，在上取负值，
对，存在唯一的，使得，
且在上取负值，在上取正值，
这表明对，在和上递增，
在和上递增，
从而上递增，在和上递减，
从而，在上递增，在上递减，在上递增，且，
将以上讨论与结合，即可得到在上全部的极小值点就是，且是递增数列，所以，
又注意到，，结合的定义，知一定有，
所以的通项公式为．
由已知有，而，故，
设，
则我们只需要讨论的零点个数，
又，令，则，
由零点存在定理知存在唯一的，使得，
故当时，有，
从而，
当，有，
从而，
即在上单调递增，
在上单调递减，
又，，
则存在唯一的，使得，
且当或时，，
当时，，
所以在或上递增，
在上递减，又，
当时，由于，，
故，又因为，所以根据的定义可知此时，
故在上递增，在上递减，
再由，可知当时，，
而当时，有，
所以此时，且当时有，
这表明在上恰有个零点，显然该零点不为，
又是偶函数，故的零点个数为，
当时，有，
由于
，
结合的单调性及，知存在唯一，
使得，且当时，，
当时，，
同时，当时，有，
当时，有，
结合前面的讨论，知此时，且当时，有，
当时，有，
所以在上恰有个零点，且这两个零点都不为，
又易知是偶函数，所以的零点个数为，
又，故与的零点个数相等，
所以，当时，的零点个数为；
当时，的零点个数为．

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