2023-2024学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年牡丹江市第一高级中学高二下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B.
C. D.
3.“”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
4.设为正实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，不满足的是( )
A. B. C. D.
6.某市一天内的气温单位：与时刻单位：时之间的关系如图所示，
令表示时间段内的温差即时间段内最高温度与最低温度的差，
与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是 ．
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是( )
A. 的一个周期是 B. 是奇函数
C. 不一定是偶函数 D. 的图象关于点中心对称
8.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A. ， B. 所有的正方形都是矩形
C. ， D. 至少有一个实数，使
10.下列说法正确的序号是( )
A. 偶函数的定义域为，则
B. 一次函数满足，则函数的解析式为
C. 若不等式的解集为或，则
D. 若集合中至多有一个元素，则
11.定义域为的函数，对任意，，，且不恒为，则下列说法正确的是( )
A. B. 为偶函数
C. 若，则关于中心对称 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 ．
13.若函数，若，则 ．
14.已知函数，若，则当取得最小值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知曲线．
求与直线平行，且与曲线相切的直线方程；
设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围．
16.本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式
17.本小题分
近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔单位：分钟满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时载客量为人，记地铁载客量为．
求的解析式；
经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数与发车时间间隔之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？
18.本小题分
已知定义在上的函数，且是偶函数．
求的解析式；
当时，记的最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数在上有零点，且，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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12.
13.或
14.
15.解：，，
令，解得：；
当时，，切线方程为：，即；
当时，，切线方程为：，即；
综上所述：所求直线方程为或．
由知：，，
又．

16.解：不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立．
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，即
整理得
解得；
故对于一切实数恒成立时．
不等式等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为．
综上当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
17.解：由题意可设为常数，
因为，则，
所以；
由，结合可知，
可得
整理得
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，在上单调递减，
即当时取最大值；
由可知，当发车时间间隔为分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好．

18.解：记，
为偶函数，恒成立，
即恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，，
．
和都是单调递增函数，
在是单调递增的，
，
在上有解，
在上有解，
在上有解，
在上单调递增，
，
．

19.解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，因为是开口向上的二次函数，且，
若，即时，，所以，所以在上单调递减；
若，即时，此时方程；有两个根，，
所以当或者时，即，
当时，即，
所以在和上为减函数，
在上为 增函数；
当时，因为是开口向下的二次函数，且，
此时方程有两个根，，且，
所以当或者时，即，
当时，即，
所以在和上为增函数，
在上为减函数；
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，函数在和上为增函数，
在上为减函数：
令，解得，
不妨设，函数定义域为，
在内有零点，即在内有零点；
不妨设为在内的一个零点，即，，
又因为，，
所以在区间和上都不单调；
不妨设，，
则在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点，
由，则，
其中，
当时，，在上单调递增，不可能有两个及以上零点：
当时，，在上单调递减，不可能有两个及以上零点；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，
若有两个零点，需满足，，，
令，则，
设，，
可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，此时恒成立，
又，，
解得．
当时，不妨设的两个零点分别为，
可得在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
则在区间内有零点，满足题意．
综上所述，实数的取值范围为．

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