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《垂径定理》提升训练题（一）
一．选择题（共23小题）
1．如图，在⊙O中，①分别以弦AB的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则MN＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，PA＝4，PB＝2，OP=，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
3．如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连结OA、OB，分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连结OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB⊥OQ B．AQ＝BQ
C．∠ABO＝60° D．∠AOB＝2∠AOQ
4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）
A．（4+）cm B．9 cm C．4cm D．6cm
5．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（ ）
A．12 B．12 C．13 D．16
6．如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB＝30°，OD＝1，则AB的长为（ ）
A． B．4 C．2 D．6
7．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
8．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则⊙O的半径是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
9．如图，在⊙O中，AB，AC为两条弦，BC是直径，OD⊥AB于点D，连接CD，若，AD＝2，则BC的长为（ ）
A．5 B． C． D．
10．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm，AB＝8cm，CD＝6cm．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．10.2cm
11．如图，⊙O的直径AB＝10，E在⊙O内，且OE＝4，则过E点所有弦中，最短弦为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB＝13，AM＝4，则CM的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
13．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（ ）
A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE
14．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．OE＝BE D．CE＝DE
15．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．＝
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC
17．已知点C在⊙O的弦AB上，AC＝6，BC＝2，，则AB的弦心距为（ ）
A． B．3 C． D．2
18．下面说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．外心在三角形的内部
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直于弦的直径平分弦
19．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6m，OC⊥AB于点C，则OC的长度等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
20．如图，在⊙O中，弦AB＝12，半径OC⊥AB于点P，且P为OC的中点，则AC的长是（ ）
A． B．6 C．8 D．
21．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（ ）
A．1 B． C． D．3
22．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽AB＝8m，净高CD＝8m，则此圆的半径OA为（ ）
A． B．5m C． D．6m
23．如图，分别是以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若AB＝6，DE＝1，且AC＞3，则AC的长为（ ）
A．3+ B．4+ C．3+ D．4+
二．填空题（共19小题）
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，取AC的中点F，连接OF，已知，OF＝4，则⊙O的半径长为 ．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（8，0），则OP的长为 ．
26．如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，弦CD与直径AB之间的距离为3，则AB＝ ．
27．在⊙O中，弦AB∥CD，AB＝16，CD＝12，⊙O的直径为20，则弦AB，CD之间的距离为 ．
28．已知⊙O的半径为13cm，弦AB＝10cm，弦CD＝24cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 cm．
29．已知：⊙O的半径为13，弦AB//弦CD，AB＝10，CD＝24，且两弦AB与CD位于圆心的同侧，则它们之间的距离为 ．
30．某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24米，净高CD＝18米，则此圆的半径OA的长为 ．
31．如图，⊙O的直径AB＝10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点P，且BP＝2，则CD的长是 ．
32．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，，则OA＝ ．
33．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，BE＝2，则CD＝ ．
34．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
35．⊙O的直径为10，弦AB平行弦CD，这两弦长分别为6和8，它们之间的距离为 ．
36．如图，⊙M半径为2，圆心M坐标（2，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
37．如图，点O是半圆的圆心，D是以AB为直径的半圆上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE，经过C，E的直线分别与半圆弧交于F，G．已知CE＝6，则FG的长为 ．
38．如图，PA交⊙O于点B，PB＝4，AB＝4，⊙O的半径为5，则OP的长为 ．
39．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点M，已知AM＝5，BM＝1，∠CMB＝60°，则CD的长为 ．
40．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB⊥AC，且AB＝8，AC＝6，则⊙O的半径等于 ．
41．若⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，OP＝5，则AB＝ ．
42．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 ．
三．解答题（共18小题）
43．如图，在直角坐标系中，直线y＝x﹣4与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的⊙E与该直线相交于点C，连结OE，OE＝2.5．
（1）求点E到x轴的距离．
（2）连结OC，求OC的长．
44．已知A，B为圆O：x2+y2＝4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点．
（1）若弦MN的长度等于2，求直线l的方程；
（2）若M，N都不与A，B重合时，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点恒在直线m上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．
45．如图，在直径为10cm的⊙O中，OM⊥AB，垂足为点M，且OM＝4cm，求弦AB的长．
46．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．
（1）求CE的长度；
（2）求OC的长度．
47．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交于点D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．
48．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E．若⊙O的半径为5．CD的长为8，求线段AE的长．
49．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝16cm，CD＝6cm．
（1）求AC的长；
（2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径．
50．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
51．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为的中点，OE交弦AC于点D．若AC＝16，AB＝20，求DE的长．
52．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
53．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．求BF的长度．
54．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．
55．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点F，连接DO并延长交AC于点E，且DE⊥AC
（1）求证：CE＝DF；
（2）求∠BOD的度数．
56．已知AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为H，CD＝24，BH＝8，点E在弧AD上，射线AE与射线CD相交于点F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图，若时，求AE的长．
57．如图，已知AB是⊙O的弦，点C是线段AB上，OC＝AC＝4，BC＝8．
（1）求⊙O的半径；
（2）P是⊙O上一动点，问P在何处时，以A，P，B为顶点的三角形面积最大？并求最大面积．
58．如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
59．如图，点P的坐标为（4，0），⊙P的半径为5，且⊙P与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，试求出点A，B，C，D的坐标．
60．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点．
（1）求OP的取值范围；
（2）若线段OP的长度为整数，则这样的点P有 个．中小学教育资源及组卷应用平台
《垂径定理》提升训练题（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共23小题）
1．如图，在⊙O中，①分别以弦AB的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则MN＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先根据尺规作图得出OM是AB的垂线，然后根据垂径定理求出BN的长，再根据勾股定理求出ON的长，进一步即可求出MN．
【解答】解：由作图可知OM⊥AB，
由垂径定理得：BN＝，
在Rt△ONB中，由勾股定理得：＝＝6，
∴MN＝OM﹣ON＝10﹣6＝4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，熟知垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．如图，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，PA＝4，PB＝2，，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【分析】过O作OH⊥AB于H，连接OA，由垂径定理得到AH＝AB＝3，由勾股定理求出OH＝＝4，OA＝＝5，得到圆的半径长．
【解答】解：过O作OH⊥AB于H，连接OA，
∴AH＝AB，
∵PA＝4，PB＝2，
∴AB＝4+2＝6，
∴AH＝3，
∴PH＝AP﹣AH＝4﹣3＝1，
∵，
∴OH＝＝4，
∴OA＝＝5．
∴⊙O的半径长是5．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理求出AH的长得到PH的长，由勾股定理求出OH的长，即可求出圆的半径的长．
3．如图，AB为半圆O的一条弦（非直径），连结OA、OB，分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点P，连结OP，交AB于点Q，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB⊥OQ B．AQ＝BQ
C．∠ABO＝60° D．∠AOB＝2∠AOQ
【分析】利用基本作图得到OQ⊥AB，则可对A选项进行判断；再根据垂径定理可对B选项进行判断；由于AB为任意一条弦，则△OAB不一定为等边三角形，所以∠ABO不一定为60°，于是可对C选项进行判断；利用等腰三角形的“三线合一”得到OQ平分∠AOB，从而可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得OQ⊥AB，所以A选项不符合题意；
∴AQ＝BQ，所以B选项不符合题意；
∵AB不一定等于OA，
∴△OAB不一定为等边三角形，
∴∠ABO不一定为60°，所以C选项符合题意；
∵OA＝OB，OQ⊥AB，
∴OQ平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOQ，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了基本作图．
4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）
A． cm B．9 cm C．cm D．cm
【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD＝OC，设AD＝a，则OD＝a，由勾股定理求出OA＝OB＝OE＝a，求出EF＝FC＝4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案．
【解答】解：
连接OA、OB、OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°，
∵在Rt△ADO和Rt△BCO中
∵，
∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL），
∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
设AD＝a cm，则OD＝OC＝DC＝AD＝a cm，
在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OE＝a cm，
∵小正方形EFCG的面积为16cm2，
∴EF＝FC＝4cm，
在△OFE中，由勾股定理得：＝42+，
解得：a＝﹣4（舍去），a＝8，
a＝4（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．
5．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（ ）
A．12 B． C．13 D．16
【分析】根据垂径定理可得AD＝AB＝12，∠ADO＝90°，设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8，再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝AB＝12，∠ADO＝90°，
设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，
∴x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13，
∴OA＝13．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
6．如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB＝30°，OD＝1，则AB的长为（ ）
A． B．4 C．2 D．6
【分析】连接OB，由垂径定理可知，AB＝2BD，由圆周角定理可得，∠COB＝60°，在Rt△DOB中，OD＝1，则BD＝1×tan60°＝，故AB＝2．
【解答】解：连接OB，
∵AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB，
∴AD＝BD，即AB＝2BD，
∵∠CEB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OD＝1，
∴BD＝1×tan60°＝，
∴AB＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数及圆周角定理，作出合适的辅助线，运用三角函数是解答此题的关键．
7．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝4，
∴OA＝＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则⊙O的半径是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【分析】先连接OA，由垂径定理求出AE的长，根据CE：ED＝1：5可设CE＝x，则⊙O的半径＝3x，在Rt△OAE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出OA的长．
【解答】解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10cm，
∴AE＝AB＝×10＝5cm，
∵CE：ED＝1：5，
∴设CE＝x，则OA＝3x，OE＝2x，
在Rt△AOE中，
∵AE2+OE2＝OA2，即52+（2x）2＝（3x）2，解得x＝cm，
∴OA＝3x＝3cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．如图，在⊙O中，AB，AC为两条弦，BC是直径，OD⊥AB于点D，连接CD，若，AD＝2，则BC的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】由圆周角定理得到∠A＝90°，由勾股定理求出AC＝＝3，由垂径定理得到AB＝2AD＝4，由勾股定理即可求出BC．
【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠A＝90°，
∵CD＝，AD＝2，
∴AC＝＝＝3，
∵OD⊥AB于点D，
∴AB＝2AD＝4，
∴BC＝＝＝5．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出AC长，由垂径定理得到AB的长．
10．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm，AB＝8cm，CD＝6cm．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．10.2cm
【分析】作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+42＝（7﹣x）2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OD，OB，过点O作MN⊥AB于点N，交CD于点M，
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD，
∴MN＝7，
∵AB＝8cm，CD＝6cm．
∴，
设OM＝x，
∴ON＝MN﹣OM＝7﹣x，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+32＝（7﹣x）2+42
∴x＝4，
∴OM＝4，
∴，
∴纸杯的直径为5×2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形解决问题．
11．如图，⊙O的直径AB＝10，E在⊙O内，且OE＝4，则过E点所有弦中，最短弦为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD＝2CE，即可求出答案．
【解答】解：OC＝AB＝×10＝5，
在Rt△OEC中，CE＝＝＝3，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴CD＝2CE＝6，
即最短弦是6，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出CE长和得出CD＝2CE．
12．如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB＝13，AM＝4，则CM的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【分析】先根据垂径定理，得出AH＝BH＝6.5，MH＝6.5﹣4＝2.5，再结合勾股定理，列式MO2＝2.52+x2，BO2＝6.52+x2，代入MC2＝CO2﹣MO2＝BO2﹣MO2，即可作答．
【解答】解：如图：连接CO、BO以及过点O作OH⊥AB，
设OH＝x，
∵AB＝13，AM＝4，OH⊥AB，
∴AH＝BH＝6.5，MH＝6.5﹣4＝2.5，
则MO2＝MH2+OH2＝2.52+x2，
BO2＝BH2+OH2＝6.52+x2，
∴MC2＝CO2﹣MO2＝BO2﹣MO2＝6.52+x2﹣2.52﹣x2＝36，
∴MC＝6（负值已舍去），
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是垂径定理的熟练应用．
13．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（ ）
A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE
【分析】根据垂径定理分析即可．
【解答】解：根据垂径定理和等弧对等弦，得A、B、C正确，只有D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的弧．以及等弧对等弦的性质
14．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．OE＝BE D．CE＝DE
【分析】如图，对于选项B、A，D，由垂径定理证明，即可解决问题，C选项找不到关系，即可得答案．
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
∴弧BD＝弧BC，弧AC＝弧AD，CE＝DE，
∴选项A、B、D正确，不符合题意；
OE和BE的大小关系不能证明，故选项C符合题意；
故选：C．
【点评】该题主要考查了垂径定理、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握垂径定理、线段垂直平分线的性质等几何知识点．
15．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．＝
【分析】由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE＝BE，弧AD＝弧BD，不能得出OE＝DE，圆的半径都相等，故选B．
【解答】解：如图所示，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE，弧AD＝弧BD，
⊙O的半径都相等，那么AO＝CO，
不能得出OE＝DE．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC
【分析】先根据垂径定理得CM＝DM，，，得出BC＝BD，再根据圆周角定理得到∠ACD＝∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，，，
∴BC＝BD，∠ACD＝∠ADC．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键．
17．已知点C在⊙O的弦AB上，AC＝6，BC＝2，，则AB的弦心距为（ ）
A． B．3 C． D．2
【分析】作OD⊥AB于点D，则OD是AB的弦心距，根据垂径定理可以得到CD的长，然后根据勾股定理求解即可．
【解答】解：作OD⊥AB于点D，如图所示，则OD是AB的弦心距，
∴AD＝BD＝AB，
由题意可知：AC＝6，BC＝2，
∴AB＝AC+BC＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝BD﹣BC＝2，
在Rt△OCD中，OC＝，
OD＝＝＝3，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出CD的长．
18．下面说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．外心在三角形的内部
C．平分弦的直径垂直于弦
D．垂直于弦的直径平分弦
【分析】根据圆的有关定义作出判断即可．
【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点确定一个圆，故A错误；
B、直角三角形和钝角三角形的外心均不在三角形的内部，故B错误；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故C错误；
D、利用垂径定理可以得到垂直于弦的直径平分弦，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内的有关的定义及基础知识，是圆内的基础题，必须掌握．
19．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6m，OC⊥AB于点C，则OC的长度等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝6cm，
∴AC＝BC＝3cm，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：OC＝＝＝4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出AC的长度是解此题的关键．
20．如图，在⊙O中，弦AB＝12，半径OC⊥AB于点P，且P为OC的中点，则AC的长是（ ）
A． B．6 C．8 D．
【分析】连接OA，如图，设圆的半径为r，则OP＝CP＝r，根据垂径定理得到AP＝BP＝6，利用勾股定理得到（r）2+62＝r2，解方程求出r＝4，所以PC＝2，然后利用勾股定理计算AC的长．
【解答】解：连接OA，如图，设圆的半径为r，
∵P为OC的中点，
∴OP＝CP＝r，
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝6，
在Rt△OAP中，（r）2+62＝r2，解得r＝4，
∴PC＝2，
在Rt△APC中，AC＝＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
21．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（ ）
A．1 B． C． D．3
【分析】根据垂径定理和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵直径CD⊥AB，AB＝2，
∴AH＝AB＝1，
在Rt△AHO中，∠A＝45°，
∴AH＝OH＝1，
∴AO＝DO＝，
∴DH＝DO+OH＝+1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
22．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽AB＝8m，净高CD＝8m，则此圆的半径OA为（ ）
A． B．5m C． D．6m
【分析】设⊙O的半径是r米，由垂径定理，勾股定理，列出关于r的方程，即可求解．
【解答】解：设⊙O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴⊙O的半径OA是5米．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程．
23．如图，分别是以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若AB＝6，DE＝1，且AC＞3，则AC的长为（ ）
A．3+ B．4+ C．3+ D．4+
【分析】连接DA，DC，EO，BC．E是中点，推OE垂直平分AC，D是半圆中点，推FD垂直平分AC，D、E、F、O在同一条直线上，F是AC的中点，O是AB中点，推OF是△ABC的中位线，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC长．
【解答】解：连接DA，DC，EO，BC，OE交AC于点F，
∵E是中点，
∴OE垂直平分AC，
∴F是AC的中点．
∵AC为⊙F的直径，
∴∠ADC＝90°．
∵D是半圆中点，
∴FD垂直平分AC，
∴D、E、F、O在同一条直线上，DA＝DC，∠DFA＝90°，
∴∠DAF＝45°．
∴DF＝AF．
设EF＝x，DF＝AF＝CF＝x+1，OF＝×6﹣x＝3﹣x，
∴AC＝2x+2，
∵F是AC的中点，O是AB中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴BC＝2OF＝6﹣2x．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴62＝（2+2x）2+（6﹣2x）2，
∴x＝1±，
∵AC 3，
∴x＝1+，
∴AC＝2x+2＝4+．
故选：D．
【点评】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，作出合理的辅助线证明D、E、F、O在同一条直线上是解题的关键．
二．填空题（共19小题）
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，取AC的中点F，连接OF，已知，OF＝4，则⊙O的半径长为 8 ．
【分析】连接BC，由垂径定理得，再由中位线的性质得BC＝2OF＝8，从而利用解直角三角形即可得解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，，
∴，
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴BC＝2OF＝8，
∴，
∴∠B＝60°，则∠A＝30°，
∴，
∴，
∴⊙O的半径长为，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的中位线性质、解直角三角形，垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（8，0），则OP的长为 5 ．
【分析】过P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，判定四边形MONP是矩形，得到PM＝ON，由垂径定理OM，ON，由勾股定理求出OP即可．
【解答】解：过P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
∵∠MON＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM＝ON，
∵A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
由垂径定理得：OM＝OB＝OB＝4，ON＝OA＝OA＝3，
∴PM＝ON＝3，
∴OP＝＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是由垂径定理求出OM、ON的长．
26．如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，弦CD与直径AB之间的距离为3，则AB＝ 10 ．
【分析】过O作OH⊥CD于H，由垂径定理得到CH＝CD＝4，由AB∥CD，得到OH⊥AB，因此OH＝3，由勾股定理求出OC＝＝5，即可得到AB＝2OC＝10．
【解答】解：过O作OH⊥CD于H，
∴CH＝CD＝×8＝4，
∵AB∥CD，
∴OH⊥AB，
∴OH＝3，
∴OC＝＝5，
∴AB＝2OC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出OC的长．
27．在⊙O中，弦AB∥CD，AB＝16，CD＝12，⊙O的直径为20，则弦AB，CD之间的距离为 2或14 ．
【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：①当AB、CD在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
由垂径定理可知AF＝AB＝×16＝8，CE＝CD＝×12＝6，
在Rt△AOF中，；
在Rt△COE中，，
故EF＝OE﹣OF＝8﹣6＝2；
②当AB、CD在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
同（一）可知：OE＝8，OF＝6，EF＝OE+OF＝8+6＝14；
故答案为：2或14．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题关键．
28．已知⊙O的半径为13cm，弦AB＝10cm，弦CD＝24cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为 17或7 cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：过O作OM⊥AB于M，OM交CD于N，连接OD，OB，
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，ON⊥CD，OM⊥AB，
∴BM＝AM＝12cm，DN＝CN＝5cm，
∵OB＝OD＝13cm，
由勾股定理得：OM＝＝＝5（cm），
ON＝＝＝12（cm），
∴MN＝12cm﹣5cm＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
MN＝OM+ON＝17cm，
所以AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故答案为：17或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．
29．已知：⊙O的半径为13，弦AB//弦CD，AB＝10，CD＝24，且两弦AB与CD位于圆心的同侧，则它们之间的距离为 7 ．
【分析】如图，过O点作OE⊥AB于E点，交CD于F点，连接OA、OC，先利用平行线的性质得到OE⊥CD，再根据垂径定理得到AE＝5，CF＝12，接着利用勾股定理分别计算出OE、OF，然后计算OE﹣OF即可．
【解答】解：如图，过O点作OE⊥AB于E点，交CD于F点，连接OA、OC，
∵AB//CD，
∴OE⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝5，CF＝DF＝CD＝12，
在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝5，
∴OE＝＝12，
在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝12，
∴OE＝＝5，
∴EF＝OE﹣OF＝12﹣5＝7，
∴弦AB与弦CD之间的距离为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
30．某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24米，净高CD＝18米，则此圆的半径OA的长为 13 ．
【分析】根据垂径定理可得，用半径表示出OD＝18﹣r，再根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：∵CD⊥AB且CD经过点O，
∴，
∵CD＝18，
∴OD＝18﹣r，
在Rt△ADO中根据勾股定理可得，
r2＝122+（18﹣r）2，
解得r＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是关键．
31．如图，⊙O的直径AB＝10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点P，且BP＝2，则CD的长是 8 ．
【分析】连接OC，由垂径定理推出CD＝2PC，求出OP＝5﹣2＝3，由勾股定理求出PC＝＝4，即可得到CD＝2PC＝8．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB于点P，
∴CD＝2PC，
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OC＝OB＝5，
∵BP＝2，
∴OP＝5﹣2＝3，
∴PC＝＝4，
∴CD＝2PC＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到CD＝2PC，由勾股定理 求出PC的长．
32．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，，则OA＝ 10 ．
【分析】根据得CD＝16，进而根据垂径定理得出CE＝8，连接OC，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣4，根据勾股定理得方程解答．
【解答】解：连接OC，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣4，
∵，
∴CD＝16，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得，
82+（r﹣4）2＝r2，
解得r＝10，
即OA的长为10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
33．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝8，BE＝2，则CD＝ 8 ．
【分析】连接OC，根据题意求出OC、OE的长，根据勾股定理去CE，根据垂径定理得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵AE＝8，BE＝2，
∴OC＝5，OE＝4，
由勾股定理得，CE＝＝4，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE＝8，
故答案为：8
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
34．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 6 ．
【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC＝BC＝2，则利用勾股定理可计算出OC＝11，利用三角形三边的关系，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．
【解答】解：连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝2，
在Rt△OBC中，OC＝＝＝11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD＝＝5，
∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
35．⊙O的直径为10，弦AB平行弦CD，这两弦长分别为6和8，它们之间的距离为 1或7 ．
【分析】如图，过O点作OE⊥AB于E点，EO的延长线交CD于F点，，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质得到OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝BE＝3，CF＝DF＝4，再利用勾股定理计算出OE＝4，OF＝3，讨论：当AB、CD在圆心O的两旁，EF＝OE+OF；当AB、CD在圆心O的同旁，EF＝OE﹣OF．
【解答】解：如图，过O点作OE⊥AB于E点，EO的延长线交CD于F点，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝3，CF＝DF＝CD＝4，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝4，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝3，
当AB、CD在圆心O的两旁，EF＝OE+OF＝4+3＝7；
当AB、CD在圆心O的同旁，EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1．
综上所述，弦AB与弦CD之间的距离为1或7．
故答案为：1或7．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
36．如图，⊙M半径为2，圆心M坐标（2，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【分析】连接PO，连接OM，交⊙M于点P′，过点M作MQ⊥x轴于点Q，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2PO，结合题意可得当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，根据勾股定理求得，推得，即可求解．
【解答】解：连接PO，如图：连接OM，交⊙M于点P′，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
即当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
∵圆心M坐标（2，4），
则OQ＝2、MQ＝4，
∴，
又∵MP′＝r＝2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时，点P的位置是解题的关键．
37．如图，点O是半圆的圆心，D是以AB为直径的半圆上的一点，以OD为对角线作正方形OCDE，经过C，E的直线分别与半圆弧交于F，G．已知CE＝6，则FG的长为 ．
【分析】连接OD交FG于H，连接OF，由正方形的性质得到OD⊥CE，OD＝CE＝6，OD＝2OH，由垂径定理得到FG＝2FH，再利用勾股定理求出FH的长即可得到答案．
【解答】解：如图所示，连接OD交FG于H，连接OF，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OD⊥CE，OD＝CE＝6，OD＝2OH，
∴FG＝2FH，OH＝3，OF＝OD＝6，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
38．如图，PA交⊙O于点B，PB＝4，AB＝4，⊙O的半径为5，则OP的长为 ．
【分析】利用垂径定理，构造直角三角形，再运用勾股定理解题．
【解答】解：过O点作OC⊥PA于P，连接OA，OP，
则，PC＝6，
在Rt△OAC中，，
在Rt△OPC中，OP＝．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
39．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点M，已知AM＝5，BM＝1，∠CMB＝60°，则CD的长为 2 ．
【分析】连接OD，过点O作OE⊥CD，根据题意先求出OM，再由∠CMB＝60°，得∠MOE＝30°，再根据勾股定理求得OE，DE，由垂径定理得出CD的长．
【解答】解：连接OD，过点O作OE⊥CD，
∵∠CMB＝60°，∴∠MOE＝30°，
∵AM＝5，BM＝1，∴OB＝3，OE＝，
∴DE＝，
∴CD＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是基础知识比较简单．
40．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB⊥AC，且AB＝8，AC＝6，则⊙O的半径等于 5 ．
【分析】作OM⊥AB，ON⊥AC于点M、N．连接OA，则四边形ONAM是矩形，利用垂径定理求得OM和AM的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC于点M、N．连接OA．
则AM＝AB＝4，AN＝AC＝3，四边形ONAM是矩形．
∴OM＝AN＝3，
在直角△OAM中，AM＝＝＝5．
故答案为：5．
【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
41．若⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，OP＝5，则AB＝ 10 ．
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得AB的长．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，
∵OC⊥AB，
∴，
设CP＝x，
在Rt△OCP中，OC2+CP2＝OP2，即OC2+x2＝52，
在Rt△OCA中，OC2+AC2＝OA2，即OC2+（x+4）2＝72，
两式消去OC2得52﹣x2＝72﹣（x+4）2，
解得：x＝1，
∴CA＝1+4＝5，AB＝2CA＝2×5＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
42．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 2 ．
【分析】连接BE，先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE＝2r，连接BE，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，由三角形中位线定理得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中由勾股定理可求出CE．
【解答】解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
三．解答题（共18小题）
43．如图，在直角坐标系中，直线y＝x﹣4与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的⊙E与该直线相交于点C，连结OE，OE＝2.5．
（1）求点E到x轴的距离．
（2）连结OC，求OC的长．
【分析】（1）过点E作EH⊥x轴于点H，如图，先确定A（4，0），再根据垂径定理得到OH＝2，然后利用勾股定理计算出EH即可；
（2）连结OC，CE，如图，先求出B（0，﹣4），则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°，再根据圆周角定理得到∠OEC＝90°，所以△OCE为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出OC的长．
【解答】解：（1）过点E作EH⊥x轴于点H，如图，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝4，
∴A（4，0），
∵EH⊥OA，
∴OH＝AH＝OA＝2，
在Rt△OHE中，EH＝＝＝，
∴点E到x轴的距离为；
（2）连结OC，CE，如图，
当x＝0时，y＝x﹣4＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
∵OA＝OB＝4，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∴∠OEC＝2∠OAB＝90°，
△OEC为等腰直角三角形，
∴OC＝OE＝．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征．
44．已知A，B为圆O：x2+y2＝4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点．
（1）若弦MN的长度等于2，求直线l的方程；
（2）若M，N都不与A，B重合时，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点恒在直线m上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设MN与x轴交于点K，作OH垂直MN，连接ON，分MN在y轴左侧和右侧进行讨论即可；
（2）求出直线AN的表达式为y＝x+2、直线BM的表达式为，得到，进而求解．
【解答】解：（1）如图，当直线MN在y轴左侧时，
对于x2+y2＝4，令y＝0，则x2+0＝4，解得x＝2或﹣2，
故点A、B的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），则圆O的半径为2，
过点O作OH⊥MN于点H，连接ON，设直线MN交x轴于点K，
在Rt△OHN中，MH＝NH＝MN＝，ON＝2，
OH＝＝＝1，
在Rt△OKP中，sin∠HPO＝＝，则tan∠HPO＝，
则tan∠PKO＝，
故设直线l的表达式为y＝x+t，
将点P的坐标代入上式得：4＝t，
故直线l的表达式为y＝x+4，
当直线MN在y轴左侧时，
同理可得，直线l的表达式为y＝﹣x+4；
故直线l的表达式为y＝±x+4；
（2）存在，理由：
设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），
∵直线MN过点P（0，4），
故设直线MN的表达式为y＝kx+4，
则y1＝kx1+4，y2＝kx2+4，
联立并整理得：（1+k2）x2+8kx+12＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝．
∴x1x2＝﹣（x1+x2），
设直线AN的表达式为y＝sx+t，则，解得，
故直线AN的表达式为y＝x+2，
∴x＝①，
同理可得，直线BM的表达式为，
∴x＝②，
联立①②得，＝，
∴（3x1﹣2x2）y＝2kx1x2+6x1+x2＝2k×[﹣（x1+x2）]＝3x1﹣2x2，
∴y＝1，
故直线m的表达式为y＝1．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、根和系数的关系、垂径定理、解直角三角形等，其中（1），要分类求解，避免遗漏．
45．如图，在直径为10cm的⊙O中，OM⊥AB，垂足为点M，且OM＝4cm，求弦AB的长．
【分析】由垂径定理得到AB＝2AM，由勾股定理求出AM＝＝3cm，即可得到AB得到长．
【解答】解：∵OM⊥AB，
∴AB＝2AM，
∵⊙O直径是10cm，
∴OA＝×10＝5（cm），
∵OM＝4cm，
∴AM＝＝3cm，
∴AB＝2AM＝6cm．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到AB＝2AM，由勾股定理求出AM的长．
46．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．
（1）求CE的长度；
（2）求OC的长度．
【分析】（1）由垂径定理得到CE＝CD＝4；
（2）由勾股定理求出OC＝＝5．
【解答】解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×8＝4；
（2）∵∠OEC＝90°，OE＝3，CE＝4，
∴OC＝＝5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到CE＝CD；由勾股定理求出OC长．
47．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交于点D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）AB是⊙O的直径，则AB所对的圆周角是直角，BC是弦，OD⊥BC于E，则满足垂径定理的结论；
（2）OD⊥BC，则BE＝CE＝BC＝4，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到关于半径的方程，可以求出半径；
【解答】解：（1）不同类型的正确结论有：
①BE＝CE；
②弧BD＝弧DC；
③∠BED＝90°；
④∠BOD＝∠A；
⑤AC∥OD；
⑥AC⊥BC；
⑦OE2+BE2＝OB2；
⑧S△ABC＝BC OE；
⑨△BOD是等腰三角形；
⑩△BOE∽△BAC…
（2）∵OD⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝4，
设⊙O的半径为R，则OE＝OD﹣DE＝R﹣2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，即（R﹣2）2+42＝R2，
解得R＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题主要考查了垂径定理，求圆的弦，半径，弦心距的长问题可以转化为解直角三角形的问题．
48．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E．若⊙O的半径为5．CD的长为8，求线段AE的长．
【分析】连接OC，由垂径定理得到CE＝CD＝4，由勾股定理求出OE＝＝3，即可得到AE＝AO﹣OE＝5﹣3＝2．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝CD＝×8＝4，
∵OC＝5，
∴OE＝＝3，
∴AE＝AO﹣OE＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由垂径定理求出CE的长，由勾股定理求出OE的长．
49．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝16cm，CD＝6cm．
（1）求AC的长；
（2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径．
【分析】（1）根据垂径定理及线段的和差求解即可；
（2）根据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）作OE⊥AB，垂足为E，
由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点，
∴cm，cm，
∴AC＝AE﹣CE＝8﹣3＝5cm；
（2）连接OA，OC，
在Rt△AOE中，AE＝8cm，OA＝10cm，
∴，
在Rt△OCE中，CE＝3cm，OE＝6cm，
∴．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键．
50．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）由垂径定理得CF＝DF，根据等腰三角形的性质可得AF＝BF，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接OC，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF2，
∴r2＝22+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
51．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为的中点，OE交弦AC于点D．若AC＝16，AB＝20，求DE的长．
【分析】由E是弧AC的中点，可得OE⊥AC．根据垂径定理得：AD＝AC＝8，在Rt△OAD中，运用勾股定理可将OD的长求出，由DE＝OE﹣OD即可求解．
【解答】解：∵E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴AD＝AC＝8，
∵AB为半圆O的直径，AB＝20，
∴OA＝OE＝10，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
∴102＝OD2+82，
解得：OD＝6，
∴DE＝OE﹣OD＝4，
∴DE的长为4．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
52．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；
（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE＝，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．
【解答】（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是结合勾股定理和全等三角形证明垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
53．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．求BF的长度．
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理计算，得到答案；
（2）根据勾股定理求出BC，根据垂径定理即可求出BF．
【解答】解：连接OB，设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2，
∵OA⊥BD，
∴BE＝ED＝BD＝4，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，
即x2＝（x﹣2）2+42，
解得，x＝5，
即⊙O的半径为5；
在Rt△CEB中，BC＝＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝BC＝2．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
54．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．
【分析】（1）欲证明AC＝CG，利用圆周角定理的推论和三角形的内角和证明∠A＝∠G即可得解；
（2）由垂径定理得出DE＝EC＝4，再由勾股定理得出半径为5，在Rt△DBE中，利用勾股定理构建方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，DF⊥CG，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠EBD＝∠FBG，
∴∠CDF＝∠G，
.∵∠A＝∠CDF，
∴∠A＝∠G，
∴CA＝CG；
（2）解：连接OD．
设圆的半径为r，则OE＝8﹣r．
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴DE＝EC＝4．
在Rt△OED中，由勾股定理得：
42+（8﹣r）2＝r2，
解得r＝5．
∴EB＝r﹣OE＝2．
在Rt△DBE中，由勾股定理得：
DB2＝42+22＝20，
解得．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理的推论，三角形内角和，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
55．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点F，连接DO并延长交AC于点E，且DE⊥AC
（1）求证：CE＝DF；
（2）求∠BOD的度数．
【分析】（1）连接AD，由垂径定理可知DE是AC的垂直平分线，故可得出AD＝CD，同理可得AC＝AD，故AC＝AD＝CD，进而可得出结论；
（2）由（1）知△ACD是等边三角形，再由垂径定理可知＝，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵DE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴AD＝CD，
同理可得AC＝AD，
∴AC＝AD＝CD，
∴AC＝CD，即CE＝DF；
（2）∵由（1）知△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∵直径AB⊥CD于点F，
∴＝，∠DAB＝30°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝60°．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
56．已知AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为H，CD＝24，BH＝8，点E在弧AD上，射线AE与射线CD相交于点F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图，若时，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理求出DH＝CD＝12，根据勾股定理求解即可；
（2）过点O作OG⊥AE，根据垂径定理求出AG＝AE，根据勾股定理求出AF＝18，根据学生三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，CD＝24，
∴DH＝CD＝12，
设⊙O的半径为r，
∵BH＝8，
∴OH＝r﹣8，
在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，
∴r2＝（r﹣8）2+122，
∴r＝13，
即⊙O的半径为13；
（2）如图，过点O作OG⊥AE，
∴AG＝AE，
∵DF＝HD，
∴DF＝6，DH＝12，
∴FH＝DF+DH＝18，
∵OH＝13﹣8＝5，
∴AH＝OA+OH＝18，
∴AF＝＝18，
∵∠GAO＝∠HAF，∠AGO＝∠AHF＝90°，
∴△AGO∽△AHF，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝，
∴AE＝13．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出半径是解题的关键．
57．如图，已知AB是⊙O的弦，点C是线段AB上，OC＝AC＝4，BC＝8．
（1）求⊙O的半径；
（2）P是⊙O上一动点，问P在何处时，以A，P，B为顶点的三角形面积最大？并求最大面积．
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，连结OB，根据垂径定理求出AM、CM的长，再根据勾股定理求出OM的长，最后根据勾股定理求出OB的长即可；
（2）当点P在线段AB的中垂线与⊙O的交点，且在AB上方时，△APB的面积最大，根据面积公式算出面积即可．
【解答】解：（1）过点O作OM⊥AB，连结OB，
∵AC＝4，BC＝8，∴AB＝12，∵OM⊥AB，∴AM＝BM＝6，∵OC＝4，CM＝AM﹣AC＝2，∴，∴；
（2）如图所示，当点P在线段AB的中垂线与⊙O的交点，且在AB上方时，△APB的面积最大，
由（1）得，AB＝12，，∴．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，利用勾股定理解三角形，作出合适的辅助线是解题的关键．
58．如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
【分析】根据垂径定理得到AB⊥CD，则＝，根据圆周角定理得到∠B＝∠F，根据平行线的性质得出∠AGF＝∠B，等量代换得到∠AGF＝∠F，再根据等角对等边即可得解．
【解答】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴＝，
∴∠B＝∠F，
∵CF∥BD，
∴∠AGF＝∠B，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
59．如图，点P的坐标为（4，0），⊙P的半径为5，且⊙P与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，试求出点A，B，C，D的坐标．
【分析】连接PC，由AB垂直于CD，利用垂径定理得到O为CD的中点，在直角三角形CPO中，利用勾股定理求出OC的长，确定出OD的长，进而求出C与D的坐标，由AP﹣OP求出OA的长，由OP+PB求出OB的长，进而求出A与B的坐标．
【解答】解：连接PC，
∵AB⊥CD，
∴O为CD的中点，
在Rt△COP中，CP＝5，OP＝4，
根据勾股定理得：OC＝＝3，即C（0，3），
∴OD＝3，即D（0，﹣3），
∴OA＝AP﹣OP＝5﹣4＝1，即A（﹣1，0），
OB＝OP+PB＝4+5＝9，即B（9，0）．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及坐标与图形性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
60．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点．
（1）求OP的取值范围；
（2）若线段OP的长度为整数，则这样的点P有 5 个．
【分析】（1）过O点作OC⊥AB于C点，连接OA，如图，根据垂径定理得到AC＝BC＝4，再利用勾股定理得到OC＝3，根据垂线段最短得到OP的最小值为3，从而得到OP的取值范围；
（2）根据题意得到OP＝3或4或5，由于OP＝3时，P点只有1个；OP＝4时，利用对称性得到P点有2个；OP＝5时，利用对称性得到P点有2个．
【解答】解：（1）过O点作OC⊥AB于C点，连接OA，如图，则AC＝BC＝AB＝4，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝3，
∵OP为半径时最长，OP为垂线段最短，
∴OP的取值范围为3≤OP≤5；
（2）∵OP的取值范围为3≤OP≤5，
而线段OP的长度为整数，
∴OP＝3或4或5，
∵OP＝3时，P点只有1个；OP＝4时，P点有2个；OP＝5时，P点有2个，
∴满足条件的P点有5个．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
