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《等边三角形的性质》提升训练题（二）
一．选择题（共13小题）
1．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（ ）
A．120° B．110° C．108° D．106°
3．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45° B．39° C．29° D．21°
4．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．60°
5．如图，直线l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l1，l2之间，点A，D分别在l1，l2上，点B，C，E，F在同一直线上．若∠α＝53°，则∠β的度数为（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
6．如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
7．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D作BC边的平行线交AC于E点，则DE的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
9．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
10．如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹角为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
11．如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将△CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C′落到AB边上，当△C′BE为直角三角形时，∠FEC的度数为（ ）
A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
12．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
二．填空题（共3小题）
14．如图△ABC中，AB＝BC＝AC＝5，将△ABC沿边BC向右平移4个单位得到△A'B'C′，则四边形AA′C'B的周长为
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝ ．
16．如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝ ．
三．解答题（共32小题）
17．【阅读材料】
如图1，点B，C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P，则CP平分∠ECB．
【数学思考】
利用上述材料的结论解决下列问题：
如图2，在等边△ABC中，点M在边BC的延长线上，∠ACB＝∠NCM，点D在射线CN上（点D不与点C重合），AE平分∠CAD交射线CM于点E．
（1）求证：CN∥AB；
（2）当点D在射线CN上移动时，
①现给出关于∠ADC与∠AEC的数量关系的两个结论：
（i）∠ADC﹣∠AEC的值不变；
（ii）的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出这个不变的值；
②连结DE，试求∠AED的大小．
18．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，连接BD交AC于点O，且OA＝OC．
（1）如图①，求证：AC垂直平分BD；
（2）如图②，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，连接NB，ND，NM，且ND＝NM．求证：NB＝NM．
19．如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB＝DC，连接AD交BC于点E．
（1）求证：AD垂直平分BC；
（2）过点D作DF∥AB，AC＝5，FC＝2，求DF的长．
20．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
21．等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC．
（1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE．
①求证：BP∥DE；
②若BP⊥AC，求∠AED的度数；
（2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，则AD＝ ．
22．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB r1+AC r2＝AB h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值．
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由．
23．如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上．
（1）若 ， ，求证：CD＝CE．（请从信息“①BD＝ED，②D为AC的中点，③BD＝CE”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
（2）过点D作DM⊥BC于点M，在（1）的条件下，当MC＝1，求BE的长．
24．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE．求证：AD＝CE．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠A＝60°，CD＝26，BC＝24．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
26．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
27．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
28．如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．
29．如图，在等边三角形ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）求证△ODE 是等边三角形．
（2）线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．
30．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD．
（1）求∠E的度数；
（2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点；
（3）若MC＝1，求BE的长．
31．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且∠DEF＝60°．
（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）如图2，连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
32．如图，在△ABC中，∠B＝64°，∠BAC＝82°，D为BC边上一点，DE交AC于点F，且AB＝AD＝DE，连接AE，∠E＝60°．请判断AD与FD的数量关系，并说明理由．
33．如图，以等边△ABC的边AC为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A作AD⊥BE，交BC于点D，交EC的延长线于点F，设∠FAC＝α．
（1）∠ACE＝ （用含α的式子表示），∠F＝ ；
（2）当CF＝2，CE＝3，求AF的长．
34．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为D，点E在BC的延长线上，已知BC＝2CE，求∠E的度数．
35．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
36．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
37．如图，直线m是线段AB的垂直平分线，与AB交于点C，以AC为边作等边三角形ACD，连接DB与直线m交于点E，连接AE．求证：∠EAC＝∠EDC．
38．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．
（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；
（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．
39．如图，AD是等边三角形ABC的中线，以AD为斜边作等腰直角三角形ADE，求∠EAC的度数．
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内部，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外部，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝4，求BC的长．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，且DC＝3，过点D作BC边的垂线交AC边于点E，求AE的长．
42．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE，∠ABC＝40°，∠BAE＝∠DBE．
（1）求∠BED的度数；
（2）若△ADC是等边三角形，求证：△ABE是等腰三角形．
43．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发（点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合），分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
44．已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，请直接写出图中所有与线段AC相等的线段（不包括AC本身）．
45．在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
46．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，以AC为边作等边三角形ACD，点E、F为BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求点F在何处时，AC⊥EF．
47．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．求证：△DEC是等腰三角形．
48．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，判断△OEF的形状，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
《等边三角形的性质》提升训练题（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【思路点拔】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．
2．如图，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，EF上，连接MN，若△EMN为等边三角形，则∠CFE的度数为（ ）
A．120° B．110° C．108° D．106°
【思路点拔】根据等边三角形性质及AB∥CD得∠EFD＝∠NEM＝60°，由此可得∠CFE的度数．
【解答】解：∵△EMN为等边三角形，
∴∠NEM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠NEM＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣∠EFD＝120°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
3．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45° B．39° C．29° D．21°
【思路点拔】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，过点A作AF∥l，
∵直线l∥m，
∴AF∥m，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AF∥l，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝21°，
∴∠BAF＝21°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，
∵AF∥m，
∴∠ACD＝∠CAF＝39°，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
4．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．60°
【思路点拔】设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，根据平行线性质得∠ADE＝∠1＝40°，再根据等边三角形性质得∠A＝60°，据此可得∠2的度数．
【解答】解：设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，如下图所示：
∵直线a∥b，∠1＝40°，
∴∠ADE＝∠1＝40°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠2＝180°﹣（∠A+∠ADE）＝180°﹣（60°+40°）＝80°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
5．如图，直线l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l1，l2之间，点A，D分别在l1，l2上，点B，C，E，F在同一直线上．若∠α＝53°，则∠β的度数为（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
【思路点拔】延长AC交l2于H，由平行线性质得∠CHD＝180°﹣∠α＝127°，由等腰直角三角形性质得∠ACB＝∠ECH＝45°，再由等边三角形性质得∠DEF＝∠EDF＝60°，则∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，再由四边形内角和等于360°得∠EDH＝68°，由此可得∠β的度数．
【解答】解：延长AC交l2于H，如下图所示：
∵l1∥l2，∠α＝53°，
∴∠CHD+∠α＝180°，
∠CHD＝180°﹣∠α＝180°﹣53°＝127°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠ECH＝45°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝∠EDF＝60°，
∴∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，
在四边形CEDH中，∠ECH+∠CHD+∠CED+∠EDH＝360°，
即45°+127°+120°+∠EDH＝360°，
∴∠EDH＝68°，
∴∠β＝180°﹣∠EDF﹣∠EDH＝180°﹣60°﹣68°＝52°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
6．如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【思路点拔】根据平移的性质易得AD＝BE＝2，那么四边形ABFD的周长即可求得．
【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD＝BE＝2，各等边三角形的边长均为3．
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+FE+DF＝13．
故选：A．
【点评】本题考查平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长．
7．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝4，则BD＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
【思路点拔】先根据等边三角形的性质和及三角形外角性质求出∠E＝∠DBE，再判断出△BDE是等腰三角形即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，
∴∠ACB＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E．
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝30°＝∠DBE，
∴DE＝BD＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．
8．已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D作BC边的平行线交AC于E点，则DE的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【思路点拔】证明出△ADE是等边三角形，并求出AD的长即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的周长为12，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝CA＝4，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠B＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∴DE＝2，
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
9．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【思路点拔】根据等边三角形性质得∠ABC＝∠BAC＝60°，再根据BD⊥BC得∠DAB＝∠CBD﹣∠ABC＝30°，然后根据平行线性质得∠EAB＝180°﹣∠DAB＝150°，最后根据周角的定义可得出∠EAC的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠DAB＝∠CBD﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∵AE∥BD，
∴∠EAB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°，
∴∠EAC＝360°﹣∠EAB﹣∠BAC＝360°﹣150°﹣60°＝150°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
10．如图，△ABC为等边三角形，△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，则直线BC与直线AD的夹角为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【思路点拔】延长AD与BC交于点E，根据等边三角形和等腰直角三角形性质得∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAD＝45°，进而得∠BAD＝105°，然后根据三角形内角和定理求出∠E即可．
【解答】解：延长AD与BC交于点E，如下图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
又∵△ACD为等腰直角三角形，AC＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+45°＝105°，
∴∠E＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝180°﹣（60°+105°）＝15°．
即直线BC与直线AD的夹角为15°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了据等边三角形和等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
11．如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将△CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C′落到AB边上，当△C′BE为直角三角形时，∠FEC的度数为（ ）
A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
【思路点拔】先根据等边三角形性质得∠B＝60，因此当△C'BE为直角三角形时，有以下两种情况：①当∠C′EB＝90时，则∠C'EC＝90°，由折叠的性质可得出∠FEC的度数；②当∠BC'E为直角时，则∠C'EB＝30°，进而得∠C'EC＝150，由折叠的性质可得出∠FEC的度数，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60，
∴当△C'BE为直角三角形时，有以下两种情况：
①当∠C′EB＝90时，如图1所示：
则∠C'EC＝180﹣∠C'EB＝90°，
由折叠的性质得：∠FEC＝1/2∠C'EC＝45°，
②当∠BC'E为直角时，如图2所示：
则∠C'EB＝90﹣∠B＝30°，
∴∠C'EC＝180﹣∠C'EB＝150，
由折叠的性质得：∠FEC＝1/2∠C'EC＝75°，
综上所述：∠FEC的度数为 45°或75°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠及其性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
12．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝1，
∴DE＝．
故选：B．
【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【思路点拔】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定与性质，利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
14．如图△ABC中，AB＝BC＝AC＝5，将△ABC沿边BC向右平移4个单位得到△A'B'C′，则四边形AA′C'B的周长为 23
【思路点拔】根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出AA′、BB′，然后求出BC′，再根据周长的定义解答即可．
【解答】解：∵平移距离是4个单位，
∴AA′＝BB′＝4，
∵等边△ABC的边长为5，
∴B′C′＝BC＝5，
∴BC′＝BB′+B′C′＝4+5＝9，
∵四边形AA′C′B的周长＝4+5+9+5＝23．
故答案为：23
【点评】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点的距离等于平移距离，需熟记．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝ 7.8． ．
【思路点拔】过点C作CP⊥AB于P，根据∠ABC＝60°得∠BAC+∠BCA＝120°，再根据等边三角形性质得AC＝CD，∠ACD＝60°，则∠DCE+∠BCA＝120°，由此得∠BAC＝∠DCE，据此可依据“AAS”判定△APC和△CED全等，从而得AP＝CE＝3，则BP＝AB﹣AP＝2.4，进而在根据直角三角形性质得BC＝2BP＝4.8，据此可得BE的长．
【解答】解：过点C作CP⊥AB于P，如下图所示：
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵△ACD为等边三角形，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∵∠DCE+∠BCA＝180°﹣∠ACD＝120°，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵CP⊥AB，DE⊥BC，
∴∠APC＝∠CED＝90°，
在△APC和△CED中，
，
∴△APC≌△CED（AAS），
∴AP＝CE＝3，
∴BP＝AB﹣AP＝5.4﹣3＝2.4，
在Rt△BCP中，∠ABC＝60°，
∴∠BCP＝30°，
∴BC＝2BP＝2×2.4＝4.8，
∴BE＝BC+CE＝4.8+3＝7.8．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键．
16．如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝ 84° ．
【思路点拔】首先根据等边三角形的性质得∠B＝60°，再根据∠GEC＝36°得∠BEG＝144°，由翻折的性质得∠BED＝∠GED＝∠BEG＝72°，∠BDE＝∠FDE，然后根据三角形的内角和定理可得∠BDE＝∠FDE＝48°，则∠BDF＝96°，最后根据邻补角的定义可得∠ADF的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠GEC＝36°，
∴∠BEG＝180°﹣∠GEC＝180°﹣36°＝144°，
由翻折的性质得：∠BED＝∠GED，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BED＝∠BEG＝×144°＝72°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
∴∠BDE＝∠FDE＝48°，
∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝96°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝180°﹣96°＝84°．
故答案为：84°．
【点评】此题主要考查了图形的翻折及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的翻折及其性质，理解等边三角形的三个内角都等于60°是解决问题的关键．
三．解答题（共32小题）
17．【阅读材料】
如图1，点B，C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P，则CP平分∠ECB．
【数学思考】
利用上述材料的结论解决下列问题：
如图2，在等边△ABC中，点M在边BC的延长线上，∠ACB＝∠NCM，点D在射线CN上（点D不与点C重合），AE平分∠CAD交射线CM于点E．
（1）求证：CN∥AB；
（2）当点D在射线CN上移动时，
①现给出关于∠ADC与∠AEC的数量关系的两个结论：
（i）∠ADC﹣∠AEC的值不变；
（ii）的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出这个不变的值；
②连结DE，试求∠AED的大小．
【思路点拔】【阅读材料】过点P作直线AB，BC，AC的垂线，垂足分别为Q，R，T，根据角平分线性质得PT＝PQ，PR＝PQ，则PT＝PR，由此可得出结论；
【数学思考】（1）根据等边三角形性质得∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，再根据∠ACB＝∠NCM得∠B＝∠NCM＝60°，由此可得出结论；
（2）①根据AE平分∠CAD得∠CAE＝∠DAE＝∠DAC，∠DAC＝2∠DAE，则∠AEC＝∠ACB﹣∠CAE＝60°﹣∠DAE，根据CN∥AB得∠ACD＝∠BAC＝60°，则∠ADC＝180°﹣（∠ACD+∠DAC）＝120°﹣2∠DAE，进而可得的值；
②分别延长AD，AC到点H，G，先证明CM平分∠NCG，再由AE平分∠CAD，根据阅读材料的结论得DE平分∠CDH，再根据CN∥AB得∠EDH＝∠CDH＝∠BAH＝30°+∠DAE，然后由∠EDH＝∠DAE+∠AED可得出∠AED的大小．
【解答】【阅读材料】证明：过点P作直线AB，BC，AC的垂线，垂足分别为Q，R，T，如图1所示：
∵∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P，
∴PT＝PQ，PR＝PQ，
∴PT＝PR，
∴点P在∠ECB的平分线上，
∴CP平分∠ECB；
【数学思考】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠NCM，
∴∠B＝∠NCM＝60°，
∴CN∥AB；
（2）①解：结论（ii）正确，＝2；理由如下：
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE＝∠DAC，∠DAC＝2∠DAE，
∵∠ACB＝∠CAE+∠AEC，
∴∠AEC＝∠ACB﹣∠CAE＝60°﹣∠DAE，
∵CN∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°，
∵∠ACD+∠DAC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠ACD+∠DAC）＝180°﹣（60°+2∠DAE）＝120°﹣2∠DAE，
∴＝＝2；
②解：分别延长AD，AC到点H，G，如图2所示：
∵∠ACB＝∠NCM，∠ACB＝∠MCG，
∴∠NCM＝∠MCG，
∴CM平分∠NCG，
∵AE平分∠CAD，
由阅读材料的结论得：DE平分∠CDH，
∴∠EDH＝∠CDH，
∵CN∥AB，
∴∠CDH＝∠BAH＝∠BAC+∠CAD＝60°+2∠DAE，
∴∠EDH＝∠CDH＝30°+∠DAE，
∵∠EDH＝∠DAE+∠AED，
∴∠AED＝∠EDH﹣∠DAE＝30°+∠DAE﹣∠DAE＝30°．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理和外角性质进行角的计算是解决问题的关键．
18．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，连接BD交AC于点O，且OA＝OC．
（1）如图①，求证：AC垂直平分BD；
（2）如图②，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，连接NB，ND，NM，且ND＝NM．求证：NB＝NM．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质证明即可；
（2）可得NB＝ND，由ND＝NM，则NB＝NM．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵CD∥AB，且CD＝AB，
∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴BO＝DO，CO⊥BD，
∴AC垂直平分BD；
（2）由（1）知AC垂直平分BD，
∴NB＝ND，
∵ND＝NM，
∴NB＝NM．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，解决此题的关键是掌握等边三角形的相关性质并灵活的应用．
19．如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB＝DC，连接AD交BC于点E．
（1）求证：AD垂直平分BC；
（2）过点D作DF∥AB，AC＝5，FC＝2，求DF的长．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）由（1）证得∠CAD＝30°，进而根据平行线的性质证得∠CFD＝∠BAC＝60°，再利用外角的性质求出∠ADF＝30°，利用等角对等边求出DF．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵DB＝DC，
∴AD垂直平分BC；
（2）解：△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，
∴，
∵DF∥AB，
∴∠CFD＝∠BAC＝60°，
∴∠ADF＝∠CFD﹣∠CAD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ADF＝∠CAD＝30°，
∴AE＝FC，
∵AF＝AC﹣FC＝5﹣2＝3．
∴DF＝3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的相关性质．
20．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
【思路点拔】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；
（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
21．等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD＝PC．
（1）如图1，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，DE．
①求证：BP∥DE；
②若BP⊥AC，求∠AED的度数；
（2）如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP＝1，则AD＝ ．
【思路点拔】（1）①证明△DEC和△PBC全等得∠DEC＝∠PBC，再根据平行线的判定可得出结论；
②延长AC交ED的延长线于F，根据等边三角形性质得BC＝AC，∠ACB＝60°，进而可求出∠CAE＝∠CEA＝30°，再由①BP∥DE，BP⊥AC得DE⊥AC，由此得∠CED＝30°，据此可得∠AED的度数；
（2）延长BC到E是CE＝BC，连接AE，DE，先求出∠BAE＝90°，BE＝4，由勾股定理得AE＝，根据△DEC≌△PBC得BP＝DE＝1，再根据BP⊥AD，BP∥DE得DE⊥AD，然后由勾股定理即可求出AD的长．
【解答】（1）①证明：在△DEC和△PBC中，
，
∴△DEC≌△PBC（SAS），
∴∠DEC＝∠PBC，
∴BP∥DE；
②解：延长AC交ED的延长线于F，如图1所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
又∵CE＝BC，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵∠CAE+∠CEA＝∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝∠CEA＝30°，
由①可知：BP∥DE，
∵BP⊥AC，
∴DE⊥AC，即∠F＝90°，
又∵∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝90°﹣∠ECF＝30°，
∴∠AED＝∠CEA+∠CED＝30°+30°＝60°；
（2）延长BC到E是CE＝BC，连接AE，DE，如图2所示：
由（1）②可知：∠CAE＝30°，
∵△ABC为等边三角形，且边长为2，
∴AB＝BC＝AC＝CE＝2，∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，BE＝BC+CE＝4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝，
由（1）①可知：△DEC≌△PBC，
∴BP＝DE＝1，
又∵BP⊥AD，BP∥DE，
∴DE⊥AD，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
22．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB r1+AC r2＝AB h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值．
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）连接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC计算即可；
（2）连接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC计算即可．
【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下：
连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，
∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC＝BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，
∴，
∴，
∴PE+PF+PM＝BG；
（2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下：
连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC，
∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC＝BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，
∴，
∴，
∴PE+PF﹣PM＝BG．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解决此题的关键．
23．如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上．
（1）若 BD＝ED ， D为AC的中点 ，求证：CD＝CE．（请从信息“①BD＝ED，②D为AC的中点，③BD＝CE”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
（2）过点D作DM⊥BC于点M，在（1）的条件下，当MC＝1，求BE的长．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形性质和直角三角形的性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）若BD＝ED，D为AC的中点，求证：CD＝CE，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∵∠ACB＝∠CED+∠CDE，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴CD＝CE，
故答案为：BD＝ED，D为AC的中点；
（2）∵DM⊥BC，
∴∠DMC＝90°，
∵∠DCM＝60°，
∴CD＝2CM＝2，
∵CE＝CD＝2，
∴EM＝3，
∵BD＝DE，
∴BE＝2ME＝6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
24．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE．求证：AD＝CE．
【思路点拔】在等边△ABC中，AC＝BA，∠EAC＝∠DBA，且BD＝AE则可得出△CAE≌△ABD从而得出AD＝CE．
【解答】证明：在△ABC中CA＝AB，∠CAE＝∠ABD，
又∵AE＝BD，
在△CAE和△ABD中，，
∴△CAE≌△ABD（SAS）．
∴AD＝CE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠A＝60°，CD＝26，BC＝24．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【思路点拔】（1）连接BD，根据AB＝AD＝10，∠A＝60°，得出△ABD是等边三角形，求得BD＝10，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC是直角三角形，从而求得∠ABC＝150°；
（2）根据四边形的面积等于三角形ABD和三角形BCD的和即可求得．
【解答】解：（1）连接BD，
∵AB＝AD＝2，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝10，∠ABD＝60°，
∵BC＝24，CD＝26，
则BD2+BC2＝102+242＝676，CD2＝262＝676，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝150°；
（2）S＝S△ABD+S△BDC＝AD AD+BD DC＝×10××10+×10×24＝120+25．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，把不规则的图形转化成规则的三角形求得面积等．
26．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数．
【思路点拔】根据等边三角形的性质得出∠CAD＝30°，再利用等式的性质进行解答即可．
【解答】解：∵在等边三角形ABC中，
∴AB＝AC（等边三角形的意义），AD⊥BC（已知），
∴∠CAD＝∠BAC（等腰三角形三线合一），
∵∠BAC＝60°（等边三角形的性质），
∴∠CAD＝30°（等量代换），
∵AD＝AC（已知），
∴∠ACD＝∠ADC（等边对等角），
∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠ACD＝75°（等式的性质），
∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E＝180°（三角形的内角和等于180度），
∴∠E＝45°（等式的性质）．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三边相等和三线合一的性质分析．
27．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【思路点拔】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
28．如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．
【思路点拔】利用ASA证明△ABP≌△ACQ得到AP＝AQ，再证明∠BAC＝∠PAQ＝60°即可证明△APQ是等边三角形．
【解答】解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵△ACB是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在△ABP与△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP＝AQ，
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，即∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关键．
29．如图，在等边三角形ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）求证△ODE 是等边三角形．
（2）线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．
【思路点拔】（1）在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，因为OD∥AB，可得∠ABC＝∠ODE＝60°，同理得∠ACB＝∠OED＝60°即可解答；
（2）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．
【解答】（1）证明：在等边三角形ABC中，
AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
又∵OD∥AB，
∴∠ABC＝∠ODE＝60°，
同理，∵OE∥AC，
∴∠ACB＝∠OED＝60°
∴△ODE是等边三角形．
（2）解：BD＝DE＝EC；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴OD＝DE＝OE，
∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴DB＝DO，
同理，EC＝EO，
∵DE＝OD＝OE，
∴BD＝DE＝EC．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．
30．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD．
（1）求∠E的度数；
（2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点；
（3）若MC＝1，求BE的长．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°，因为∠ACB＝∠E+∠CDE，即可解答；
（2）要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证；
（3）根据含30°的直角三角形的性质得到CE＝CD＝4，然后根据BE＝2EM即可得到结果．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°；
（2）证明：连接BD，
∵AB＝AC＝BC，D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DB＝DE，
又∵DM⊥BE，
∴M是BE的中点；
（3）解：∵DM⊥BE，∠ACB＝60°，
∴∠MDC＝30°，
∴DC＝2MC＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴BE＝2ME＝2×（1+2）＝6．
【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．
31．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且∠DEF＝60°．
（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）如图2，连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角形的内角和和平角的定义以及平行线的性质解答即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）证明：∵∠B+∠1＝∠DEF+∠2，
又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，
∴∠1＝∠2，
∵DF∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
【点评】此题考查等边三角形的性质，平行线的判定，关键是根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答．
32．如图，在△ABC中，∠B＝64°，∠BAC＝82°，D为BC边上一点，DE交AC于点F，且AB＝AD＝DE，连接AE，∠E＝60°．请判断AD与FD的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】首先利用三角形内角和定理可得∠C＝34°，由等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B＝∠ADB＝64°，再证明△ADE为等边三角形，易知∠ADF＝60°，△ADF为直角三角形，然后由“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”即可获得答案．
【解答】解：AD＝2FD，理由如下：
∵∠B＝64°，∠BAC＝82°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣82°＝34°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝64°，
∴∠DAF＝∠ADB﹣∠C＝64°﹣34°＝30°，
∵AD＝DE，∠E＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADF＝60°，
∴∠AFD＝180°﹣∠DAF﹣∠ADF＝90°，
在Rt△ADF中，AD＝2FD．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，熟练掌握形灵活运用相关知识是解题关键．
33．如图，以等边△ABC的边AC为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A作AD⊥BE，交BC于点D，交EC的延长线于点F，设∠FAC＝α．
（1）∠ACE＝ 60°+α （用含α的式子表示），∠F＝ 60° ；
（2）当CF＝2，CE＝3，求AF的长．
【思路点拔】（1）由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，则∠BAD＝60°﹣α，再证明AB＝AE，由三线合一定理可得∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α，则∠CAE＝60°﹣2α，由等边对等角和三角形内角和定理求出∠ACE＝60°+α，则由三角形外角的性质可得∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°；
（2）如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF、CG，则△CFG是等边三角形，得到CG＝CF，∠GCF＝60°，证明△ACG≌△BCF，得到AG＝BF，再证明AF是BE的垂直平分线，得到BF＝EF＝CE+CF＝5，则AF＝AG+FG＝BF+CF＝7．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵∠FAC＝α，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠FAC＝60°﹣α，
∵AE＝AC，
∴AB＝AE，
∵AD⊥BE，
∴∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α，
∴∠CAE＝∠EAD﹣∠FAC＝60°﹣2α，
∴，
∴∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°，
故答案为：60°+α，60°；
（2）如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF、CG，
∵FG＝FC，∠F＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CG＝CF，∠GCF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB﹣∠BCG＝∠CFG﹣∠BCG，即∠ACG＝∠BCF，
∴△ACG≌△BCF（SAS），
∴AG＝BF，
∵AE＝AB，AF⊥BE，
∴AF是BE的垂直平分线，
∴BF＝EF＝CE+CF＝5，
∴AF＝AG+FG＝BF+CF＝7．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
34．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为D，点E在BC的延长线上，已知BC＝2CE，求∠E的度数．
【思路点拔】首先根据等边三角形的性质得BC＝AC，∠ACB＝60°，再根据BD⊥AC得AC＝2CD，进而得BC＝2CD，结合已知BC＝2CE可得出CE＝CD，进而根据等腰三角形的性质得∠E＝∠CDE，然后三角形的外角定理得∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，据此可求出∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
又∵BD⊥AC，
∴AC＝2CD，
∴BC＝2CD，
又∵BC＝2CE，
∴CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角定理等，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
35．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
【思路点拔】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；
（2）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
36．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
【思路点拔】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
（2）根据ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，可得∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，由此得出CM＝MF＝BF＝BC，最后根据AB＝12即可求得BF的长．
【解答】解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠MDF＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD＝DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM＝BE，
∴CD＝BE；
（2）∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，
∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，
∴BE＝BF，DM＝FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF＝BF，
∴CM＝MF＝BF，
又∵AB＝BC＝12，
∴CM＝MF＝BF＝4．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．
37．如图，直线m是线段AB的垂直平分线，与AB交于点C，以AC为边作等边三角形ACD，连接DB与直线m交于点E，连接AE．求证：∠EAC＝∠EDC．
【思路点拔】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EB，AC＝BC，从而得到∠EAC＝∠B，再由等边三角形的性质可得AC＝CD，从而得到BC＝CD，进而得到∠EDC＝∠B，即可．
【解答】证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝EB，AC＝BC，
∴∠EAC＝∠B．
∵三角形ACD是等边三角形，
∴AC＝CD，
∴BC＝CD，
∴∠EDC＝∠B，
∴∠EAC＝∠EDC．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
38．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．
（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；
（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．
【思路点拔】（1）EC＝BD，理由为：由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB＝∠DAC＝60°，AE＝AB，AD＝AC，利用等式的性质得到∠EAC＝∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：由三角形ADC为等边三角形，得到∠ADC＝∠ACD＝60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠ADB，由∠EOD为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠EOD＝∠ADC+∠ACD，可求出∠EOD的度数，利用邻补角定义求出∠DOC的度数，即为BD与CE的夹角．
【解答】解：（1）EC＝BD，理由为：
∵△ABE和△ACD都为等边三角形，
∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AE＝AB，AD＝AC，
∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△AEC和△ABD中，
，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴EC＝BD；
（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：
∵△ADC为等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵△AEC≌△ABD，
∴∠ACE＝∠ADB，
∵∠EOD为△COD的外角，
∴∠EOD＝∠ODC+∠OCD＝∠ODC+∠ACD+∠ACE＝∠ODC+∠ADB+∠ACD＝∠ADC+∠ACD＝120°，即∠DOC＝60°，
则BD和CE的夹角大小为60°．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
39．如图，AD是等边三角形ABC的中线，以AD为斜边作等腰直角三角形ADE，求∠EAC的度数．
【思路点拔】根据等边三角形的性质得∠CAD＝30°，根据等腰直角三角形的性质得∠EAD＝45°，结合图形计算即可．
【解答】解：∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵以AD为斜边作等腰直角三角形ADE，
∴∠EAD＝45°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝15°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内部，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外部，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝4，求BC的长．
【思路点拔】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题．
（2）只要证明△ABD≌△EBC得到AB＝BE即可证明△ABE是等边三角形；
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，进而利用勾股定理求出CD的长，则由等边三角形的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∴．
（2）△ABE是等边三角形，证明如下：
∵∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB＝BE，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
（3）如图所示，连接DE，
∵△DBC是等边三角形，
∴∠DCB＝60°，BC＝CD，
∵∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，且DC＝3，过点D作BC边的垂线交AC边于点E，求AE的长．
【思路点拔】运用含30°角的直角三角形的性质得CE＝2CD＝6，从而得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠C＝60°，
∵CD＝3，
∴CE＝2CD＝6，
∵AC＝10，
∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
42．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE，∠ABC＝40°，∠BAE＝∠DBE．
（1）求∠BED的度数；
（2）若△ADC是等边三角形，求证：△ABE是等腰三角形．
【思路点拔】（1）根据∠BED＝∠BAE+∠ABE解答即可；
（2）由△ADC是等边三角形，得∠ADC＝60°，计算出∠BAE和∠ABE的度数即可解答．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝40°，
∴∠ADE+∠DBE＝40，
∵∠BAE＝∠DBE，
∴∠ADE+∠BAE＝40°，
∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝40°；
（2）证明：∵△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BAD＝20°，
∵∠DBE＝∠BAE＝20°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣20°＝20°，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴△ABE是等腰三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
43．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发（点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合），分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【思路点拔】根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，分∠BQP＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
由题意得：AP＝t cm，BQ＝t cm，
则BP＝（3﹣t）cm，
当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，
则BP＝2BQ，即3﹣t＝2t，
解得：t＝1，
当∠BPQ＝90°时，∠BQP＝30°，
则BP＝BQ，即3﹣t＝t×，
解得：t＝2，
综上所述，当t＝1或2时，△PBQ是直角三角形．
【点评】本题考查的是直角三角形、等边三角形，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
44．已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，请直接写出图中所有与线段AC相等的线段（不包括AC本身）．
【思路点拔】（1）由BD是中线得出∠DBC＝30°，进而判断出AE＝DB；
（2）利用等边三角形的性质判断即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是中线，
∴∠ABC＝∠A∠C＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBE，
∴BD＝DE．
（2）与线段AC相等的线段有：AB，BC，EF．
理由：如图2中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵FD⊥DE，
∴∠FDE＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠DFC＝∠DCF＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DC＝CF＝EC，
∴EF＝2CD＝AC，
∴与线段AC相等的线段有：AB，BC，EF．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
45．在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
【思路点拔】（1）结合图1，由等边三角形的内角均等于60°及∠AOD＝30°，则∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD，将相关度数代入计算即可；
（2）结合图2，方法同（1）；
（3）结合图3，由等边三角形的内角均等于60°及∠AOD＝10°，则∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD，将相关度数代入计算即可；
（4）分三种情况计算即可：当∠AOD是两个角的重叠的角；当∠AOD是两个角的相离时的角；当∠AOD是两个角的相离时的角．
【解答】解：（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣30°
＝90°；
（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣15°
＝105°；
（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD
＝60°+60°+10°
＝130°；
（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．
【点评】本题考查了利用等边三角形的性质进行角度的计算，属于基础知识的考查，难度不大．
46．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，以AC为边作等边三角形ACD，点E、F为BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求点F在何处时，AC⊥EF．
【思路点拔】（1）根据ASA证明△CAE≌△DAF，即可证得结论；
（2）当F点是CD的中点时，AC⊥EF，只要证明AE＝AF，CE＝CF即可；
【解答】（1）证明：∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ADC＝60°，AC＝AD
∵∠DAC＝∠EAF＝60°，
∴∠DAC﹣∠CAF＝∠EAF﹣∠CAF，
∴∠EAC＝∠DAF，
∵在△CAE和△DAF中，
，
∴△CAE≌△DAF（ASA），
∴AE＝AF．
（2）解：当F点是CD的中点时，AC⊥EF．
理由：∵△CAE≌△DAF．
∴AE＝AF，CE＝DF，
∵DF＝CF，
∴CE＝CF，
∴AC⊥EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
47．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．求证：△DEC是等腰三角形．
【思路点拔】根据等边三角形的性质，即可证明结论．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定．
48．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，判断△OEF的形状，并说明理由．
【思路点拔】根据等边三角形角平分线的性质，可得∠OBC＝∠OCB＝30°，由BC的垂直平分线，可知BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，∠OEF＝60°，再证，∠OFE＝60°，得出△OEF为等边三角形．
【解答】解：△OEF是等边三角形，
∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC＝30°，
∴BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，
∴∠OEF＝∠EBO+∠EOB＝60°，
同理，∠OFE＝∠FCO+∠FOC＝60°，
∴△OEF为等边三角形，
【点评】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，题中根据垂直平分线的性质解答是解题的关键．
