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《等腰三角形》提升训练题（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共35小题）
1．已知一等腰三角形的周长为20，若其中一边长为6，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．6或8 B．6或7 C．6 D．8
【思路点拔】分6是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①6是腰长时，底边为：20﹣6×2＝8，
三角形的三边长分别为6、6、8，
∵6+6＞8，
∴能组成三角形，
②6是底边长时，腰长为：×（20﹣6）＝7，
三角形的三边长分别7、7、6，
∵6+7＞7，
能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是6或7．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
2．若一个等腰三角形两边的长分别为6和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B．
C．或 D．
【思路点拔】分6是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为6+6+2＝12+2．
（2）若2为腰长，6为底边长，
由于2+2＜6，则三角形不存在；
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
3．随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝100°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（ ）
A．36° B．50° C．54° D．72°
【思路点拔】根据三角形的外角的性质及等腰三角形的性质求得答案即可．
【解答】解：∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠BOD＝100°，
∴∠BOD＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝100°，
∴∠ODC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角的性质，解题的关键是了解等腰三角形的两底角相等，难度不大．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（ ）
A．100° B．115° C．130° D．145°
【思路点拔】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠B＝∠C＝＝25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，若BD＝4，则DC的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【思路点拔】根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD为BC边上的中线．
∵BD＝4，
∴DC＝BD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）．
6．如图，△ABC的周长是20cm，AB＝AC＝7cm，AD⊥BC于点D，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【思路点拔】根据“三线合一”可得BD＝CD，由题意求出BC的长，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴点D为BC的中点，BD＝CD，
∵△ABC的周长是20cm，AB＝AC＝7cm，
∴BC＝20﹣7﹣7＝6（cm），
∴，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，掌握三线合一是关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，BD⊥AC于点D，则∠DBC的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．48°
【思路点拔】由等腰三角形的性质得出∠C＝50°，由三角形内角和即可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝80°，
∴，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠C＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了加三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是关键．
8．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A．80° B．20° C．100° D．80°或20°
【思路点拔】根据题意外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分情况讨论，再结合三角形的内角和，可求出顶角的度数．
【解答】解：依题意，等腰三角形的一个外角等于100°
∴①若100°是顶角的外角，
则顶角＝180°﹣100°＝80°；
∴②若100°是底角的外角，
则底角＝180°﹣100°＝80°，
即顶角＝180°﹣2×80°＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和性质，解题的关键是要分情况讨论．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，连接AD、DE和BE，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6，DE＝2，则BC的长度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拔】延长AD交BC于点F，延长ED交BC于点G．根据等腰三角形的性质可得BF＝FC，进而根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解答】解：延长AD交BC于点F，延长ED交BC于点G．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AF⊥BC，BF＝FC，
∴∠DFC＝90°，
∵∠E＝∠EBC＝60°，
∴∠EGB＝60°，
∴EB＝EG＝BG＝6，
∵DE＝2，
∴DG＝4，
∵∠DFG＝90°，∠DGF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴，
∴BF＝BG﹣FG＝4，
∴BC＝2BF＝8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是关键．
10．一个等腰三角形的一边长3cm，一边长7cm，则这个三角形的周长是（ ）
A．13cm B．17cm
C．13cm或17cm D．无法确定
【思路点拔】分3cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解答】解：3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、7cm，
3+3＜7，
不能组成三角形，
3cm是底边时，三角形的三边分别为7cm、7cm、3cm，
能组成三角形，
周长为7+7+3＝17（cm），
综上所述，此三角形的周长是17cm．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是要分情况讨论．
11．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边长为（ ）
A．4 B．7 C．4或7 D．15或18
【思路点拔】本题没有明确说明已知的边长哪个是腰长，则有两种情况：①腰长为4；②腰长为7．再根据三角形的性质：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边判断是否满足．
【解答】解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则第三边长为4；
②腰长为7时，符合三角形三边关系，则第三边长为7．
所以第三边长为4或7．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解答本题的关键是分类讨论思想的运用．
12．如图，△ABC的面积为36，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DE长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【思路点拔】连接AD，过点C作CG⊥AB，垂足为G，根据三角形的面积可得CG＝4.5，然后根据△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积，可得DE+DF＝18，再根据已知DF＝2DE，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AD，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵△ABC的面积为36，AB＝AC＝8，
∴AB CG＝36，
∴CG＝9，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积，
∴AB DE+AC DF＝AB CG，
∴DE+DF＝CG＝9，
∵DF＝2DE，
∴DE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
【思路点拔】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；
②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．
故选：D．
【点评】根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．
14．如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．100°
【思路点拔】先根据邻补角的定义可得∠BCF＝120°，再根据三角形内角和定理可得∠BFC＝10°，再由角平分线的定义可得∠DFB＝∠CFB、∠CFD＝20°；然后证明△FCB≌△FDB（SAS）可得∠D＝∠BCF＝120°，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵∠CBF＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝10°
∵FB为∠CFD的角平分线，
∴，即∠CFD＝2∠CFB＝20°，
在△FCB和△FDB中，
，
∴△FCB≌△FDB（SAS），
∴∠D＝∠BCF＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠D﹣∠CFB＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．△ABC中，AB＝AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（ ）
A．70° B．40° C．40°或70° D．70°或20°
【思路点拔】由于△ABC的形状不能确定，故应分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．
【解答】解：如图①，当AB的中垂线与线段AC相交时，则可得∠ADE＝50°，
∵∠AED＝90°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴；
如图②，当AB的中垂线与线段CA的延长线相交时，则可得∠ADE＝50°，
∵∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝140°，
∵AB＝AC，
∴．
∴∠B为70°或20°．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
16．如图，点D，E为△ABC的边BC上的点，且满足DA＝DB，EA＝EC，若∠B＝30°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
【思路点拔】根据∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE，只要求出∠BAC，∠DAB，∠CAE即可解决问题．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB＝30°，∠C＝∠EAC＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE＝110°﹣30°﹣40°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，在△ABC中，若AB＝AC，AB的垂直平分线与BC交于点D，连接AD，若∠CAD＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【思路点拔】设∠C＝α，根据AB＝AC得∠B＝∠C＝α，根据线段垂直平分线性质得AD＝BD，则∠BAD＝∠B＝α，由此得∠BAD＝180°﹣2α，然后根据三角形的外角定理得∠BDA＝∠C+∠CAD，则180°﹣2α＝α+30°，由此解出α即可得出，∠C的度数．
【解答】解：设∠C＝α，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝α，
∵AB的垂直平分线与BC交于点D，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝α，
∴∠BAD＝180°﹣（∠BAD+∠B）＝180°﹣2α，
又∵∠BDA＝∠C+∠CAD，∠CAD＝30°，
∴180°﹣2α＝α+30°，
解得：α＝50°，
∴∠C＝α＝50°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行角度的计算是解决问题的关键．
18．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ACD为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】分两种情况确定AC，由三角形三边关系可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∵AB＝2，BC＝3，
∴1＜AC＜5，
∵△ACD为等腰三角形，
当AC＝CD＝5时，不符合题意，舍去；
当AC＝AD＝4时，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，求出AC的取值范围是解答本题的关键．
19．如图，在△ABD中，∠D＝20°，CE垂直平分AD，交BD于点C，交AD于点E，连接AC，若AB＝AC，则∠BAD的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．150°
【思路点拔】根据线段垂直平分线的性质得到AC＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠D＝20°，求得∠ACB＝∠CAD+∠D＝40°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CE垂直平分AD，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝20°，
∴∠ACB＝∠CAD+∠D＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，CD＝5，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．10 B．12 C． D．
【思路点拔】通过AB＝AC＝13，CD＝5，AD⊥BC，算出AD的长度；再利用面积法求出点C到直线AB的距离．
【解答】解：∵AB＝AC＝13，CD＝5，AD⊥BC，
∴AD＝12，BC＝10，
设点C到直线AB的距离为h，
∴，
∴10×12＝13h，
∴h＝，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用等面积法得出点C到直线AB的距离是解题的关键．
21．已知等腰△ABC的周长为16厘米，边AB＝6cm，则边BC的长是（ ）
A．4cm或10cm B．4cm或6cm
C．4cm或5cm D．4cm或5cm或6cm
【思路点拔】当边AB为腰时，则AC为腰，BC为底，根据等腰△ABC的周长计算即可；当边AB为底边时，则腰为AC和BC，根据等腰△ABC的周长计算即可．
【解答】解：当边AB为腰时，则AC为腰，BC为底或BC为腰，AC为底，
当AB、AC为腰，BC为底时AC＝AB＝6cm，
∵等腰△ABC的周长为16厘米，
∴底边BC的长为：16﹣6﹣6＝4cm，
而6+6＞4，能构成三角形，适合题意；
当AB、BC为腰，AC为底时，BC＝AB＝6cm，
∵等腰△ABC的周长为16厘米，
∴底边AC的长为：16﹣6﹣6＝4cm，
而6+6＞4，能构成三角形，适合题意；
当边AB为底边时，则腰为AC和BC，
∵等腰△ABC的周长为16厘米，AB＝6cm，
∴BC的长为：＝5cm，
而5+5＞6，能构成三角形，适合题意；
综上，BC的长为4cm或5cm或6cm，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．
22．如图，在等腰△ABC中，顶角∠A＝20°，点D为AC边上的一点，∠ABD＝30°，点E为AB上一点，∠ECB＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【思路点拔】先根据等腰三角形的性质求出∠ACB＝∠ABC＝80°，再由三角形内角和定理得∠BDC＝50°，可得BC＝DC，再由三角形内角和定理求出∠CEB＝80°，∠ACE＝60°，得EC＝BC＝CD，即可得△DCE是等边三角形，可求出∠CDE＝60°，从而可得结论．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，顶角∠A＝20°，
∴AB＝AC，
∴，
∵∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝50°，
∵∠BDC+∠ACB+∠DBC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∴∠DBC＝∠BDC＝50°，
∴BC＝DC，
∵∠ACB＝∠ABC＝80°，∠BCE＝20°，
∴∠CEB＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝80°，∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝60°，
∴∠CEB＝∠EBC，
∴EC＝BC，
∴EC＝DC，
∵∠ACE＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠EDC＝60°，
∴∠BDE＝∠EDC﹣∠BDC＝60°﹣50°＝10°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，掌握三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB，交AC于点D，交AB于点E，若∠A＝50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【思路点拔】利用等腰三角形的性质求得底角的度数，然后利用垂直平分线的性质及等腰三角形的判定求得∠DBA的度数，从而求得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣50°）＝65°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是求得等腰三角形的底角的度数，难度不大．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，EG垂直平分AB，AG平分∠BAC，DF垂直平分CG，∠FDC＝42°，则∠AGE的度数为（ ）
A．68° B．69° C．72° D．74°
【思路点拔】连接BG，根据线段垂直平分线性质求出AG＝BG，根据SAS证明△ABG≌△ACG，则BG＝CG，∠BGA＝∠CGA，∠CBG＝∠BCG＝48°，可得∠BGC＝84°，根据周角的定义即可求出答案．
【解答】解：连接BG，
∵DF垂直平分CG，∠FDC＝42°，
∴∠BCF＝48°，
∵EG垂直平分AB，AG平分∠BAC，
∴AG＝BG，∠BAG＝∠CAG，
在△ABG和△ACG中，
，
∴△ABG≌△ACG（SAS），
∴BG＝CG，∠BGA＝∠CGA，
∴∠CBG＝∠BCG＝48°，
∴∠BGC＝84°，
∴∠BGA＝∠CGA＝＝138°，
∵EG垂直平分AB，AG＝BG，
∴∠AGE＝BGE＝∠BGA＝69°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质等知识点，掌握相关知识是解此题的关键．
25．如图，△ABC中，AB＝AC．∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD＝BD＝BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【思路点拔】首先，由图中的已知条件，找出所需要的各个角的角度．注意此题中的三角形比较特殊，顶角A为36°，两个底角是72°；可利用这些特殊条件进行求解．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°；
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，即BD是∠ABC的角平分线；
因此（1）正确．
在△BDC中，∵∠DBC＝36°，∠C＝72°；
∴∠BDC＝∠C＝72°；
∴BD＝BC＝AD；
因此（2）正确．
∵AD＝BD＝BC，
∴BD+BC+CD＝AD+CD+BC＝AC+BC＝AB+BC；
因此（3）正确．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；解决此题后，要特别注意此图的特殊性，顶角36°，两个底角是72°，则底角的平分线可以将此三角形再分成两个等腰三角形．
26．在△ABC中，∠B＝30°，小豪作图过程如下：
（1）以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于点D，连结AD；
（2）分别以C，D为圆心，大于作弧交于点E1；
（3）作射线AE交CD于点F．
则下列结论正确的是（ ）
A．∠B＝∠BAD B．CD＝BD C．AC+CF＝BF D．AF⊥BC
【思路点拔】根据作图的方法即可得到结论．
【解答】解：由作图知，AF⊥BC，AD＝AC，
∴DF＝CF，
但BD不一定等于AD，CD不一定等于BD，
∴AC+CF＝AD+DF不一定等于BF，故选项A，B，C不符合题意；选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．
27．等腰三角形一个角等于50°，则它的底角的度数是（ ）
A．70°或40° B．65°或70° C．50°或65° D．50°
【思路点拔】分顶角为50°和底角为50°两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角．
【解答】解：当顶角为50°时，则底角为，
当底角为50°时，则底角为50°；
综上所述，它的底角是50°或65°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题．
28．如图，在△ABC中，△ABC为等腰三角形，且AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
【思路点拔】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A＝∠ABD＝30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD＝45°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC＝60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．
29．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．70° C．65° D．50°
【思路点拔】由“SAS”证△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性质得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
∴∠B＝∠FDE＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，证明△BFD≌△CDE是解题的关键．
30．如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC＝14°，延长AC到D，使得CD＝CB，连接BD．则∠D的度数为（ ）
A．48° B．54° C．59° D．62°
【思路点拔】根据三角形内角和定理求出∠ACB＝118°，根据等腰三角形的性质求出∠D＝∠CBD，再根据三角形外角性质求解即可．
【解答】解：∵∠A＝48°，∠ABC＝14°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝118°，
∵CD＝CB，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠ACB＝∠D+∠CBD，
∴∠D＝59°，
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质等知识，熟记“等边对等角”是解题的关键．
31．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，BA＝BE，若∠C＝32°，则∠A的度数（ ）
A．72° B．74° C．76° D．78°
【思路点拔】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝32°，CD＝CE，得∠A＝∠BEA，再根据三角形内角和定理得，∠A+∠ABC+∠BEA＝180°，即32°+2∠A＝180°，从而求出∠A．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝32°，
又∵BA＝BE，
∴∠A＝∠BEA，
∵∠A+∠ABC+∠BEA＝180°，
即32°+2∠A＝180°，
∴∠A＝74°．
故选：B．
【点评】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，解题的关键是熟记等腰三角形的性质．
32．已知等腰△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．24cm
C．30cm D．24cm或30cm
【思路点拔】分两种情况讨论：当等腰三角形的腰长为6cm，底边长为12cm；当等腰三角形的腰长为12cm，底边长为6cm；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况讨论：
当等腰三角形的腰长为6cm，底边长为12cm，
∵6+6＝12，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为12cm，底边长为6cm，
∴△ABC的周长＝12+12+6＝30（cm）；
综上所述：△ABC的周长为30cm，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
33．在△ABC中，∠B＝∠C，AC＝5，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】根据等腰三角形的性质直接写出答案即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AC＝5，
∴AB＝5，
故选：D．
【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形等角对等边的性质，难度不大．
34．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A等于（ ）
A．25° B．50° C．65° D．115°
【思路点拔】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝65°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键．
35．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（ ）
A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10
【思路点拔】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可求解．
【解答】解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去；
当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，注意分两种情况讨论求解．
二．填空题（共4小题）
36．等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是4cm，则它的周长是 24 cm．
【思路点拔】本题应分为两种情况：4cm是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：4cm是腰长时，三角形的三边长分别为4cm、4cm、10cm，
不能组成三角形；
4cm是底边长时，三角形的三边长分别为4cm、10cm、10cm，
能组成三角形，
它的周长＝4+10+10＝24（cm），
故答案为：24．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
37．在等腰△ABC中，如果两边长分别为5、10，则第三边的长为 10 ．
【思路点拔】分两种情况：当等腰三角形的腰长为5，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为5时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为5，底边长为10时，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为10，底边长为5时，
∵5+10＝15＞10，
∴能组成三角形；
综上所述：第三边的长为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
38．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为52°，则顶角∠A的大小为 38°或142° ．
【思路点拔】首先根据题意作图，然后由AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为52°，即可得∠ADE＝52°，∠AED＝90°，然后直角三角形的两锐角互余，①当三角形是锐角三角形时，即可求得∠A的度数，
②当三角形是钝角三角形时，可得∠A的邻补角的度数；又由AB＝AC，根据等边对等角与三角形内角和的定理，即可求得底角B的大小，进而解答即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为52°，
即∠ADE＝52°，∠AED＝90°，
①如图1，当△ABC是锐角三角形时，
∠A＝38°，
②如图2，当△ABC是钝角三角形时，∠BAC＝∠ADE+∠AED＝52°+90°＝142°，
综上所述，顶角A的度数是38°或142°．
故答案为：38°或142°．
【点评】此题考查了等腰三角形与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，要注意分情况讨论．
39．已知实数x，y满足，则分别以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 18或21 ．
【思路点拔】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得，x﹣5＝0，y﹣8＝0，
解得x＝5，y＝8，
①5是腰长时，三角形的三边长分别为5、5、8，
所以，三角形的周长为5+5+8＝18；
②5是底边长时，三角形的三边长分别为5、8、8，
所以，三角形的周长为21．
故答案为：18或21．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，三角形三边关系，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键．
三．解答题（共21小题）
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE//BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CDE＝34°，求∠A的度数．
【思路点拔】（1）利用角平分线的作法和平行线的性质以及等角对等边证明即可．
（2）求出∠ABC，∠ACB即可解决问题．
【解答】（1）证明：由作图可知，CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE；
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC，∠CDE＝34°
∴∠ECD＝34°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝68°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝68°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣68°﹣68°＝44°．
【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，关键是掌握等边对等角、等角对等边．
41．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，点D是AC边的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接CE．
（1）求∠A的度数；
（2）AE＝2，求△ABC的面积．
【思路点拔】（1）设∠A的度数为x，则∠ACB＝4∠A＝4x，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠A＝x，根据三角形的内角和定理得出x+x+4x＝180°，再求出x即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，求出∠ECA＝∠A＝30°，求出∠BCE，再根据直角三角形的性质和三角形面积的计算公式得出即可．
【解答】（1）解：设∠A的度数为x，则∠ACB＝4∠A＝4x，
∵CA＝CB，
∴∠B＝∠A＝x，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴x+x+4x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°；
（2）证明：∵点D是AC边的中点，DE⊥AC，AE＝2，
∴AE＝CE＝2，
∴∠ECA＝∠A＝30°，
又∵∠ACB＝4∠A＝120°，
∴∠BCE＝120°﹣30°＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BE＝2CE＝4，
∴根据勾股定理得：，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴，
∴S△ABC＝S△BCE+S△ACE
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
42．如图，AB＝AC，点P在△ABC的内部，满足PB＝PC．求证：AP⊥BC．
【思路点拔】先依据“SSS”判定△ABP和△ACP全等得∠BAP＝∠CAD，再根据等腰三角形三线合一定理即可得出结论．
【解答】证明：在△ABP和△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠BAP＝∠CAP，
根据等腰三角形三线合一定理得：AP⊥BC．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
43．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数
（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长．
【思路点拔】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP＝BP，根据等边对等角可得∠A＝∠ABP，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）求出△PBC的周长＝AB+BC，代入数据计算即可得解．
【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴AP＝BP，
∴∠A＝∠ABP＝35°，
∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°；
（2）△PBC的周长＝BP+PC+BC，
＝AP+PC+BC，
＝AC+BC，
＝AB+BC，
∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴△PBC的周长＝5+3＝8cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
44．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求∠ADE的度数．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝50°，即可求解；
（2）根据题意证明∠ADB＝90°，通过角度和差计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴，
∵BD＝BE，
∴；
（2）∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝25°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一”是解决问题的关键．
45．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．
（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．
【思路点拔】（1）先利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EC，从而可得∠C＝∠CAE＝40°，然后利用三角形的外角性质可得∠AEB＝80°，从而利用等腰三角形的性质可得∠AEB＝∠B＝80°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；
（2）先利用线段垂直平分线的性质可得AC＝2CF＝8，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得DE＝BD，再利用等量代换可得CE＝AB，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠CAE＝40°，
∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠B＝80°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°，
∴∠BAE的度数为20°；
（2）∵EF是AC的垂直平分线，
∴AC＝2CF＝8，
∵AE＝AB，AD⊥BE，
∴DE＝BD，
∵AE＝CE，
∴CE＝AB，
∵CD＝5，
∴CE+DE＝5，
∴AB+BD＝5，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC
＝8+AB+BD+DE+CE
＝8+5+5
＝18，
即△ABC的周长为18．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
46．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上（不与端点重合），连接BE，CD．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： AD＝AE ，使得CD＝BE，并说明理由；
（2）如图2，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，若∠BAC＝40°，BE平分∠ABC，求∠F的度数．
【思路点拔】（1）证△ABE≌△ACD（SAS），再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）利用三角形内角和对了求得∠ABC＝∠ACB＝70°，由BE平分∠ABC，得出∠ABF＝∠CBF＝35°，利用平行线的性质即可证得∠F＝∠CBF＝35°．
【解答】解：（1）添加条件AD＝AE，
证明如下：∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD＝BE；
故答案为：AD＝AE；
（2）在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝35°，
∵AF∥BC，
∴∠F＝∠CBF＝35°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．
47．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【思路点拔】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．
48．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AD＝AE，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．
【思路点拔】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后再利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝75°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的是中点，
∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，
∴∠EDC的度数为15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
49．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，再由∠B＝36°得∠BAD＝54°，由此可得∠CAD的度数；
（2）根等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，再根据EF∥AB得∠F＝∠BAD，由此得∠F＝∠CAD，然后根据等腰三角形的判定进而得出结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°，
∴∠CAD＝54°；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∴AE＝EF．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解平行线的性质是解决问题的关键．
50．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB＝∠DAC．
【思路点拔】由等腰三角形的判定定理得出AB＝AC，由HL证明Rt△AEC≌Rt△ADB，根据全等三角形的性质得∠EAC＝∠DAB，即可即可得出结论．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BD，AE⊥CE，
∴∠D＝∠E＝90°，
即△AEC和△ADB是直角三角形，
在Rt△AEC和Rt△ADB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL），
∴∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC﹣∠BAC＝∠DAB﹣∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理、直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
51．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°，求∠CED的度数．
【思路点拔】先利用SSS判定△ABD≌△EBD得出∠A＝∠DEB＝80°，从而得出∠CED＝100°．
【解答】解：在△ABD与△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SSS）
∴∠A＝∠DEB＝80°
∴∠CED＝180°﹣80°＝100°．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．
52．已知：在△ABC中，AB＝AC，△ABC 的周长为21．
（1）AB的取值范围是 ＜x＜ ；
（2）若AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和6，求AB的长．
【思路点拔】（1）设AB＝AC＝x，则BC＝21﹣2x，然后利用三角形的三边关系可得，进行计算即可解答；
（2）BD是AC的中线，则D是AC的中点．因为已知条件给出的15和6两部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
【解答】解：（1）设AB＝AC＝x，
∵△ABC的周长为21，
∴BC＝21﹣（AB+AC）＝21﹣2x，
∴，
解得：＜x＜，
故答案为：＜x＜；
（2）设AB＝AC＝x，BC＝y，
∵BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝．
当AB+AD＝15时，则，
解得，
∴三边长分别为10，10，1；
当AB+AD＝6时，则，
解得，
∴三边长分别为4，4，13，
∵4+4＜13，
∴不符合三角形的三边关系，
综上所述，AB的长为10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知已知没有明确给出哪一部分长时一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形是解题的关键．
53．在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的腰长．
【思路点拔】设AB＝AC＝2x cm，BC＝y cm，根据题意可的AD＝CD＝x cm，然后分当AB+AD＝15cm、BC+CD＝6cm和AB+AD＝6cm、BC+CD＝15cm两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案．
【解答】解：设AB＝AC＝2x cm，BC＝y cm，
∵BD为一腰上的中线，
∴AD＝CD＝x cm，
∵中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，
∴有两种情况：
①当AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm时，则有
，解得，
∴三边长分别为10cm，10cm，1cm，且10+1＞10，
∴等腰三角形的腰长为10cm；
②当AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm时，则有
，解得，
此时两腰之和4+4＝8＜13，
故这种情况不存在．
综上所述，这个等腰三角形的腰长为10cm．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线、二元一次方程组的应用、三角形三边关系等知识，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏．
54．等腰三角形的周长为21cm．
（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；
（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．
【思路点拔】（1）设底边BC＝a cm，则AC＝AB＝3a cm，代入求出即可；
（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
【解答】解：（1）如图，设底边BC＝a cm，则AC＝AB＝3a cm，
∵等腰三角形的周长是21cm，
∴3a+3a+a＝21，
∴a＝3，
∴3a＝9，
∴等腰三角形的三边长是3cm，9cm，9cm；
（2）①当等腰三角形的底边长为6cm时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm）；
则等腰三角形的三边长为6cm、7.5cm、7.5cm，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为6cm时，底边长＝21﹣2×6＝9；
则等腰三角形的三边长为6cm，6cm、9cm，能构成三角形．
故等腰三角形其他两边的长为7.5cm，7.5cm或6cm、9cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
55．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．
【思路点拔】根据三角形的中线定义可得AD＝CD＝AC，从而可得AD＝CD＝AB，然后设AD＝CD＝x cm，BC＝y cm，分两种情况：当时，当时，进行计算即可解答．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝CD＝AB，
设AD＝CD＝x cm，BC＝y cm，
分两种情况：
当时，
即，
解得：，
∴△ABC的各边长为10cm，10cm，7cm；
当时，
即，
解得：，
∴△ABC的各边长为14cm，14cm，11cm；
综上所述：△ABC各边的长为10cm，10cm，7cm或14cm，14cm，11cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键．
56．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
【思路点拔】已知腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，而没有说明哪部分是15，哪部分是6；所以应该分两种情况进行讨论：第一种AB+AD＝15，第二种AB+AD＝6；分别求出其腰长及底边长，然后根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去．
【解答】解：如图，
解：设AD＝x，
∵BD是△ABC的中线，
∴CD＝AD＝AC＝x，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝2x，
又∵中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，
①当AD+AB＝15时，有2x+x＝15，得x＝5，即AB＝10，
∴BC+CD＝6，即5+BC＝6，得BC＝1，
∴等腰△ABC的腰为10，底边为1；
②当AD+AB＝6时，有2x+x＝6，得x＝2，即AB＝4，
∴BC+CD＝15，即BC+2＝15，得BC＝13，
又∵4+4＜13，
∴此种情况不能构成三角形．
∴综上所述：等腰△ABC的腰为10，底边为1．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意方程思想与分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键．
57．一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的1.5倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
【思路点拔】（1）设底边长为x cm，则腰长是1.5x cm，代入求出即可；
（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形．
【解答】解：（1）设底边长为x cm，则腰长是1.5x cm，
x+1.5x+1.5x＝28，
解得：x＝7，所以1.5x＝10.5（cm），
故，该等腰三角形的各边长为：7cm，10.5cm，10.5cm；
（2）若底边长为6cm，设腰长为y cm，
则：6+2y＝28，
得：y＝11，所以三边长分别为：6cm，11cm，11cm，
若腰长为6cm，设底边长为a cm，
则：6+6+a＝28，得a＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去，
综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm，11cm，11cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
58．回答下列问题：
（1）一个等腰三角形的周长是20cm，若它的一条边长为6cm，求它的另两条边长．
（2）一个等腰三角形的一边长是4，另一边长是9，求这个等腰三角形的周长．
【思路点拔】（1）等腰三角形有一条边长为6cm，没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
（2）分4是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）∵当腰为6cm时，底边长＝20﹣6﹣6＝8（cm），
当底为6cm时，三角形的腰＝×（20﹣6）＝7（cm），
∴其他两边长为6cm，8cm或7cm，7cm．
（2）4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，
∵4+4＝8＜9，
∴不能组成三角形；
4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，
能组成三角形，
周长＝4+9+9＝22，
综上所述，这个等腰三角形的周长为22．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
59．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：EA＝EG；
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长．
【思路点拔】（1）根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCG，然后利用等角的余角相等可得∠BAD＝∠DGC，再根据对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠BAD＝∠AGE，最后利用等角对等边即可解答；
（2）过点E作EF⊥AG，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得AG＝2FG，再根据线段中点的定义可得EG＝GC＝EC＝5，然后利用AAS证明△EFG≌△CDG，从而利用全等三角形的性质可得FG＝DG，最后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出DG的长，从而求出FG的长，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，
∵EB＝EC，
∴∠B＝∠DCG，
∴∠BAD＝∠DGC，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠BAD＝∠AGE，
∴EA＝EG；
（2）解：过点E作EF⊥AG，垂足为F，
∴∠EFG＝90°，
∵EA＝EG，EF⊥AG，
∴AG＝2FG，
∵G为CE中点，
∴EG＝GC＝EC，
∵EB＝EC＝10，
∴GC＝EC＝5，
∵∠EFG＝∠CDG＝90°，∠EGF＝∠CGD，
∴△EFG≌△CDG（AAS），
∴FG＝DG，
在Rt△CDG中，CD＝3，
∴DG＝＝＝4，
∴FG＝DG＝4，
∴AG＝2FG＝8，
∴AG的长为8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
60．已知，△ABC的三边长为4，7，x．
（1）求x的取值范围；
（2）当△ABC为等腰三角形时，求x的值．
【思路点拔】（1）根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可；
（2）分腰长为4，腰长为7两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC的三边长为4，7，x，
∴7﹣4＜x＜7+4，
∴3＜x＜11；
（2）当腰长为4时，则x＝4，此时符合3＜x＜11；
当腰长为7时，则x＝7，此时符合3＜x＜11；
综上所述，x的值为4或7．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握三角形三边的关系是关键．中小学教育资源及组卷应用平台
《等腰三角形》提升训练题（一）
一．选择题（共35小题）
1．已知一等腰三角形的周长为20，若其中一边长为6，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．6或8 B．6或7 C．6 D．8
2．若一个等腰三角形两边的长分别为6和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B．
C．或 D．
3．随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝100°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（ ）
A．36° B．50° C．54° D．72°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（ ）
A．100° B．115° C．130° D．145°
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，若BD＝4，则DC的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．8
6．如图，△ABC的周长是20cm，AB＝AC＝7cm，AD⊥BC于点D，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，BD⊥AC于点D，则∠DBC的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．48°
8．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A．80° B．20° C．100° D．80°或20°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，连接AD、DE和BE，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6，DE＝2，则BC的长度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．一个等腰三角形的一边长3cm，一边长7cm，则这个三角形的周长是（ ）
A．13cm B．17cm
C．13cm或17cm D．无法确定
11．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边长为（ ）
A．4 B．7 C．4或7 D．15或18
12．如图，△ABC的面积为36，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DE长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
13．若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
14．如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．100°
15．△ABC中，AB＝AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（ ）
A．70° B．40° C．40°或70° D．70°或20°
16．如图，点D，E为△ABC的边BC上的点，且满足DA＝DB，EA＝EC，若∠B＝30°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
17．如图，在△ABC中，若AB＝AC，AB的垂直平分线与BC交于点D，连接AD，若∠CAD＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
18．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ACD为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
19．如图，在△ABD中，∠D＝20°，CE垂直平分AD，交BD于点C，交AD于点E，连接AC，若AB＝AC，则∠BAD的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．150°
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，CD＝5，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．10 B．12 C． D．
21．已知等腰△ABC的周长为16厘米，边AB＝6cm，则边BC的长是（ ）
A．4cm或10cm B．4cm或6cm
C．4cm或5cm D．4cm或5cm或6cm
22．如图，在等腰△ABC中，顶角∠A＝20°，点D为AC边上的一点，∠ABD＝30°，点E为AB上一点，∠ECB＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
23．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB，交AC于点D，交AB于点E，若∠A＝50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，EG垂直平分AB，AG平分∠BAC，DF垂直平分CG，∠FDC＝42°，则∠AGE的度数为（ ）
A．68° B．69° C．72° D．74°
25．如图，△ABC中，AB＝AC．∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD＝BD＝BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
26．在△ABC中，∠B＝30°，小豪作图过程如下：
（1）以A为圆心，AC长为半径作弧交BC于点D，连结AD；
（2）分别以C，D为圆心，大于作弧交于点E1；
（3）作射线AE交CD于点F．
则下列结论正确的是（ ）
A．∠B＝∠BAD B．CD＝BD C．AC+CF＝BF D．AF⊥BC
27．等腰三角形一个角等于50°，则它的底角的度数是（ ）
A．70°或40° B．65°或70° C．50°或65° D．50°
28．如图，在△ABC中，△ABC为等腰三角形，且AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
29．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．70° C．65° D．50°
30．如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC＝14°，延长AC到D，使得CD＝CB，连接BD．则∠D的度数为（ ）
A．48° B．54° C．59° D．62°
31．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，BA＝BE，若∠C＝32°，则∠A的度数（ ）
A．72° B．74° C．76° D．78°
32．已知等腰△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．24cm
C．30cm D．24cm或30cm
33．在△ABC中，∠B＝∠C，AC＝5，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
34．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A等于（ ）
A．25° B．50° C．65° D．115°
35．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（ ）
A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10
二．填空题（共4小题）
36．等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是4cm，则它的周长是 cm．
37．在等腰△ABC中，如果两边长分别为5、10，则第三边的长为 ．
38．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为52°，则顶角∠A的大小为 ．
39．已知实数x，y满足，则分别以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
三．解答题（共21小题）
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE//BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CDE＝34°，求∠A的度数．
41．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，点D是AC边的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接CE．
（1）求∠A的度数；
（2）AE＝2，求△ABC的面积．
42．如图，AB＝AC，点P在△ABC的内部，满足PB＝PC．求证：AP⊥BC．
43．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数
（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长．
44．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求∠ADE的度数．
45．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，AE＝AB．
（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周长．
46．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上（不与端点重合），连接BE，CD．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使得CD＝BE，并说明理由；
（2）如图2，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，若∠BAC＝40°，BE平分∠ABC，求∠F的度数．
47．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
48．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AD＝AE，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．
49．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．
50．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB＝∠DAC．
51．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°，求∠CED的度数．
52．已知：在△ABC中，AB＝AC，△ABC 的周长为21．
（1）AB的取值范围是 ；
（2）若AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和6，求AB的长．
53．在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的腰长．
54．等腰三角形的周长为21cm．
（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；
（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．
55．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．
56．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
57．一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的1.5倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
58．回答下列问题：
（1）一个等腰三角形的周长是20cm，若它的一条边长为6cm，求它的另两条边长．
（2）一个等腰三角形的一边长是4，另一边长是9，求这个等腰三角形的周长．
59．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：EA＝EG；
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长．
60．已知，△ABC的三边长为4，7，x．
（1）求x的取值范围；
（2）当△ABC为等腰三角形时，求x的值．
