2023-2024学年辽宁省本溪市县级重点高中协作体高二下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年本溪市县级重点高中协作体高二下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，命题，则( )
A. 和均为真命题 B. 和均为真命题
C. 和均为真命题 D. 和均为真命题
3.已知幂函数在第一象限内单调递减，则( )
A. B. C. D.
4.已知甲正确解出不等式的解集为，乙正确解出不等式的解集为，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知一种物质的某种能量与时间的关系为，其中是正常数，是大于的正整数，若经过时间，该物质的能量由减少到，再经过时间，该物质的能量由减少到，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知分别是函数与的零点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，则( )
A. 与具有相同的最小值 B. 与在上具有相同的单调性
C. 与都是 轴对称图形 D. 与在上具有相反的单调性
10.已知数列满足，则( )
A. B. 为递减数列
C. 的最小值为 D. 当时，的最大值为
11.已知函数，则( )
A. 是的极值点 B. 当时，
C. 当时， D. 当时，的图象关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则 ．
13.已知函数满足，则 ．
14.已知是边长为的等边三角形，取的中点分別为，沿剪去，得到四边形，记其面积为；在中，取的中点分别为，沿剪去，得到四边形，记其面积为，则 ；以此类推，____ _____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
当时，的图像在处的切线与两坐标轴围成图形的面积为，求的值；
当时，在的最小值小于，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若在上单调递减，求的取值范围；
当时，证明：的图像为轴对称图形；
若关于的方程在上有解，求的最小值．
18.本小题分
已知函数的导函数为．
若，求的取值范围；
若有两个极值点，证明：．
19.本小题分
在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，，，其中表示数列中最小的项．
若数列中各项均不相等，只有项，，且，请写出的所有“次生数列”；
若满足，且为等比数列，的“次生数列”为．
求的值；
求的前项和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
又，所以，
当时，，
当时，，解得，
所以，
故的通项公式为．
由可知，
所以，
故．

16.解：易知，
又，
所以，
所以的图像在处的切线方程为，
令，得，
由切线与两坐标轴围成图形的面积为，
得，
解得或．
当时，，
则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以在的最小值为，
由题意得，即，
又，所以．
设，
则，
所以在上单调递减，
又，所以解不等式得，
故的取值范围为．

17.解：因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
则
解得，
故的取值范围为．
证明：当时，的定义域为，
因为，
所以的图像关于直线对称，
故的图像为轴对称图形．
由方程在上有解，得方程在上有解且，
即在上有解，
，
当且仅当时取得等号，
又当时，在上恒成立，
所以的最小值为．

18.解：易知的定义域为，
，
由，得在上恒成立．
设，
则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递
减，所以，
所以，
故的取值范围为．
证明：由题意可知有两个零点，
即，
不妨设，则，
要证，即证，
即证，
即证，
即证，
令，则，只需证．
设，则，
所以在上单调递增，
则，则，
故．

19.解：因为，，中各项均不相等，
所以，
若，此时“次生数列”为，
若，此时“次生数列”为，
若，此时“次生数列”为，
所以“次生数列”的定义可知有个，
分别为或或．
设数列的公比为，
因为为等比数列，且，
所以，即，解得，
所以，则．
由“次生数列”的定义，可知，
，
故．
由可知当为偶数时，，
，
由得
，
所以．
当时，，
当为奇数且时，为偶数，
则
，
显然当时，也符合上式，
故

第1页，共1页