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《全等三角形常见模型》提升训练题
参考答案与试题解析
一．解答题（共26小题）
1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度．
【思路点拔】（1）根据SAS证明△ABC与△DCE全等即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴AB＝CD＝8，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣8＝4．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
2．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 2＜AD＜8 ；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，△ABC和△ADE中，AD＝DE，AB＝BC，∠EDA＝∠ABC＝90°，点M为EC的中点，点E在线段CA的延长线上．请判断线段DM与线段BM的关系，说明理由．
【思路点拔】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，BN，根据AD＝DE，AB＝BC，∠EDA＝∠ABC＝90°，可证∠E＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，由（1）可证△DEM≌△NCM（SAS），则DE＝NC，∠MCN＝∠E＝45°，可证AD＝CN，∠BCN＝90°，可证△BCN≌△BAD（SAS），则BN＝BD，可得∠DBN＝90°，根据DM＝NM，可得BM⊥DM，DM＝BM．
【解答】（1）解：如图①，延长AD到点E使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠BDE＝∠CDA，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，
即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8；
（2）证明：如图②，延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，
由（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+FC＞EF；
（3）解：DM＝BM，DM⊥BM，
理由：如图，延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，BN，
∵AD＝DE，AB＝BC，∠EDA＝∠ABC＝90°，
∴∠E＝∠BCM＝∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝180°﹣∠DAE﹣∠BAC＝90°，
由（1）可证△DEM≌△NCM（SAS），
∴DE＝NC，∠MCN＝∠E＝45°，
∴AD＝CN，∠BCN＝∠BCM+∠MCN＝90°，
在△BCN和△BAD中，
，
∴△BCN≌△BAD（SAS），
∴BN＝BD，∠DAB＝∠NBC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBN＝90°，
∵DM＝NM，
∴BM⊥DM，DM＝BM．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一等知识，熟虑掌握以上知识，正确作出辅助线是解题的关键．
3．已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
（1）求∠AFC的度数；
（2）若AD＝6，CE＝4，求AC的长．
【思路点拔】（1）由题意∠BAC+∠BCA＝120°，根据∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180﹣＝120°，即可解决问题；
（2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD＝∠AFG＝60°，∠GFC＝∠CFE＝60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG＝CE＝4，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，
∵∠B＝60°
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180°﹣×120°＝120°；
（2）在AC上截取AG＝AD＝6，连接FG．
∵AE、CD分别为△ABC的角平分线
∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE，
∵∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠CFE＝60°，
在△ADF和△AGF中，
，
∴△ADF≌△AGF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFG＝60°，
∴∠GFC＝∠CFE＝60°，
在△CGF和△CEF中，
，
∴△CGF≌△CEF（ASA），
∴CG＝CE＝4，
∴AC＝AG+GC＝10．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
4．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，DA＝DC，DM⊥BA交BA的延长线于点M，DN⊥AC于点N．
（1）求证：Rt△ADM≌Rt△CDN；
（2）若∠ABC＝60°，BD＝8，求四边形ABCD的面积．
【思路点拔】（1）根据角平分线的性质可得DM＝DN，利用“HL”可得结论；
（2）根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理可得DN和BN的长，进而求出△BDN的面积，由（1）知△ADM和△CDN的面积相等，因此，四边形ABCD的面积＝四边形BNDM的面积＝2△BDN的面积，进而得出四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，DM⊥BA，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL）；
（2）∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
在Rt△BDN中，
∵∠DBC＝30°，BD＝8，
∴DN＝4，BN＝＝＝4，
∴△BDN的面积＝＝＝8，
在Rt△BDM和Rt△BDN中，
∴Rt△BDM和≌Rt△BDN（HL），
∴四边形ABCD的面积＝四边形BNDM的面积＝2△BDN的面积＝2×8＝16．
【点评】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键，
5．已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC，作FA⊥AB于点A，且AF＝BD，连结DC、DF．
（1）自主探究：如图1，当点D在线段AB上，点F在点A右侧时，DF与DC的数量关系为 DF＝DC ，位置关系为 DF⊥DC ；
（2）思考拓展：如图2，当点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）能力提升：当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的 左 侧时，（1）中的两个结论依然成立，若此时BC＝2，AB＝1，则AF的长度为 3 ．
【思路点拔】（1）证△FAD≌△DBC（SAS），得DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，再证∠CDF＝90°，则DF⊥DC；
（2）同（1）得△FAD≌△DBC（SAS），则DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，再证∠CDF＝90°，则DF⊥DC；
（3）同（1）得：△FAD≌△DBC（SAS），得DF＝DC，AF＝BD，∠FDA＝∠DCB，再证∠CDF＝90°，则DF⊥DC，然后求出BD＝AD+AB＝3，得AF＝3即可．
【解答】解：（1）∵FA⊥AB，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DBC，
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
∴∠CDF＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥DC，
故答案为：DF＝DC，DF⊥DC；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝180°﹣90°＝90°，
同（1）得：△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC；
（3）如图3，当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的两个结论依然成立，理由如下：
同（1）得：△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，AF＝BD，∠FDA＝∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB＝90°，
∴∠BDC+∠FDA＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC，
∵AD＝BC＝2，AB＝1，
∴BD＝AD+AB＝2+1＝3，
∴AF＝3，
故答案为：左，3．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
6．如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，AF⊥OM于F，BE⊥OM于E．小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OAF＝α，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OBE＝β．已知C，M，D三点共线，α与β互余，且OA＝OB，AF＝8m，ME＝3m，求办公楼的高度OM．
【思路点拔】根据余角的定义可得∠OAF+∠OBE＝90°，再根据垂直定义可得∠AFO＝∠OEB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠OAF+∠AOF＝90°，进而可得∠AOF＝∠OBE，然后利用AAS证明△AFO≌△OEB，从而利用全等三角形的性质可得OE＝AF＝8m，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵a与β互余，
∴∠OAF+∠OBE＝90°，
∵AF⊥OM，BE⊥OM，
∴∠AFO＝∠OEB＝90°，
∴∠OAF+∠AOF＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE，
在△AFO和△OEB中，
，
∴△AFO≌△OEB（AAS），
∴OE＝AF＝8m，
∵ME＝3m，
∴OM＝OE+EM＝AF+EM＝8+3＝11（m），
∴办公楼的高度OM为11m．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角和补角，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，求证：CD＝BE；
（2）当C、B、E三点在一条直线上时，
①如图2，已知∠BDC＝60°，求∠DBE的度数；
②如图3，过A作AF⊥BD交BD于点F，若AF＝4，△AEC的面积为13，求BD的长．
【思路点拔】（1）证明△CAD≌△BAE（SAS），即可得出CD＝BE；
（2）①通过△CAD≌△BAE（SAS），得出相等的角，通过角度换算和三角形内角和得出∠DBE的度数；②通过底相等，高两倍得出S△BCD＝2SABE＝2a，再通过面积换算得出△ABD的面积，从而求出BD的长度．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）①同理（1）可得：△CAD≌△BAE，
∴∠ADC＝∠AEB，
∵∠BDC＝60°，
∴∠ADC+∠ADB＝∠AEB+∠ADB＝60°，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠AED+∠ADE＝90°，
∴∠AEB+∠BED+∠ADB+∠BDE＝90°，
∴∠BED+∠BDE＝30°，
∴∠DBE＝150°；
②过点A作AH⊥BC于点H，
∵△CAD≌△BAE，
∴∠ADC＝∠AEB，S△CAD＝S△BAE，
∴∠DCE＝DAE＝90°，
令S△CAD＝S△BAE＝a，S△ABC＝b，
∵，，
∴S△BCD＝2SABE＝2a，
∵△AEC的面积为13，
∴a+b＝13，
∵四边形ABDC的面积＝S△CAD+S△ABD＝S△ABC+S△BCD＝2a+b，
∴a+S△ABD＝2a+b，
∴S△ABD＝a+b＝13，
∴，
∵AF＝4，
∴BD＝．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积的求解，掌握手拉手全等模型是解题的关键．
8．某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求两堵木墙之间的距离．
（2）如图2，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E，当线段DC＝2时，请证明△ABD≌△DCE．
【思路点拔】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质进行解答；
（2）由“ASA”可证△ABD≌△DCE．
【解答】（1）解：由题意得：AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE，
∴∠BED＝∠ACB＝90°．
∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠DBE+∠ABC＝90°，
∴∠BDE＝∠ABC．
在△ACB和△BED中，
，
∴△ACB≌△BED（AAS）．
∴DE＝BC，BE＝AC．
由题意得：AC＝5×3＝15（cm），DE＝7×5＝35（cm），
∴DE＝DC+CE＝50（cm）．
答：两堵木墙之间的距离为50cm．
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE．
理由：∵AB＝2，DC＝2，
∴AB＝DC．
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°．
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC．
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．还考查了勾股定理．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点，DE⊥AB于E，作∠EDC的平分线交AC于点F，过点E作DF的垂线交DF于点G，交BC于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：DH＝BE；
（3）判断线段FD、HC与BE之间的数量关系，并证明．
【思路点拔】（1）根据题意补全图形即可；
（2）易通过ASA证明△EDG≌△HDG，得到DE＝DH，根据题意易得∠B＝45°，由DE⊥AB，可得△BDE为等腰直角三角形，于是BE＝DE＝DH；
（3）过点F作FG⊥CD于点G，易得DE为△ABC的中位线，则BD＝CD，根据三角形内角和定理求得∠CDF＝∠CFD＝67.5°，于是CD＝CF＝BD，进而CG＝FG＝BE＝DE＝DH，以此得出CD﹣DH＝CD﹣CG，即CH＝DG，在Rt△DFG中，利用勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：补全图形如图所示．
（2）证明：∵DF平分∠EDC，
∴∠EDG＝∠HDG，
∵DH⊥DF，
∴∠EGD＝∠HGD＝90°，
在△EDG和△HDG中，
∠EGD＝∠HGD，DG＝DG，∠EDG＝∠HDG，
∴△EDG≌△HDG（ASA），
∴DE＝DH，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE＝DE＝DH．
（3）解：HC2+BE2＝FD2，证明如下：
如图，过点F作FG⊥CD于点G，
则△CFG为等腰直角三角形，
∵∠DEB＝∠CAB＝90°，
∴DE∥AC，
又∵点D为BC边中点，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝45°，
∴∠CDE＝135°，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠CDF＝67.5°，
∵∠C＝45°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠C＝67.5°，即∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF＝BD，
∴CG＝FG＝BE＝DE＝DH，
∴CD﹣DH＝CD﹣CG，即CH＝DG，
在Rt△DFG中，由勾股定理得DG2+FG2＝DF2，
∴HC2+BE2＝FD2．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾股定理解决问题．
10．如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，并且AC＝BD，AE＝BF，连接CE．
（1）求证：AE∥FB；
（2）若DC＝DE，∠A＝25°，求∠AEC的度数．
（3）若DC＝DE，∠A＝α，则∠AEC＝ 45°﹣α （用含α的式子表示）．
（4）若∠A＝30°，DE＝m，则BF＝ 2m （用含m的式子表示）．
【思路点拔】（1）根据HL证明Rt△ADE和Rt△BCF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据垂直的定义解答即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角性质解答即可；
（4）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC．
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）．
∴∠A＝∠B．
∴AE∥FB．
（2）解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°．
∵∠A＝25°，
∴∠AED＝65°．
∵DC＝DE，
∴∠CED＝45°．
∴∠AEC＝∠AED—∠CED＝65°—45°＝20°；
（3）解：∵∠ADE＝90°，DE＝DC，
∴∠ECD＝45°，
∵∠A＝α，
∴∠AEC＝∠ECD﹣∠A＝45°﹣α；
故答案为：45°﹣α；
（4）解：∵∠A＝30°，∠ADE＝90°，
∴AE＝2DE＝2m，
∵Rt△ADE≌Rt△BCF，
∴BF＝AE＝2m，
故答案为：2m．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
11．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m，乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于点C，点A到地面的距离AE＝1.8m（AE＝CD），当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．求A′到BD的距离．
解：作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
在Rt△A'FB中，∠1+∠ 3 ＝90°，
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠ 2 ＝90°，
∴∠ 3 ＝∠ 2 ，
在△ACB和△BFA′中，
，
∴△ACB≌△BFA' AAS ，
∴A'F＝BC 全等三角形的对应边相等 ，
∵BC＝BD﹣CD＝3﹣1.8＝1.2m，
∴A'F＝1.2m，
即A'到BD的距离是1.2m．
【思路点拔】作A'F⊥BD，垂足为F，根据垂直定义可得∠ACB＝∠A'FB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠1+∠3＝90°，再根据垂直定义可得∠1+∠2＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠3＝∠2，然后利用AAS证明△ACB≌△BFA'，从而利用全等三角形的性质可得A'F＝BC，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°，
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△ACB和△BFA′中，
∴△ACB≌△BFA'（AAS），
∴A'F＝BC（全等三角形的对应边相等），．
∵BC＝BD﹣CD＝3﹣1.8＝1.2m，
∴A'F＝1.2m，
即A'到BD的距离是1.2m，
故答案为：3；2；3；2；∠3；∠2，AAS；全等三角形的对应边相等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角构造全等模型是解题的关键．
12．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：．
分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E；
【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数．
【思路点拔】（1）利用倍长中线BD，证明三角形ADE≌三角形BDC，得AE＝BC，J进而证明三角形ABE≌三角形ABC得AC＝BE即可得证；
（2）连接CD，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到CD＝BD＝AD，再证明三角形CDE与三角形BDC是等腰三角形可得∠CDE＝∠E，利用三角形外角的性质可得结论；
（3）作DH⊥AB，利用含30°角的直角三角形的性质可得CB＝CD＝DH，证明三角形DCH是等边三角形，求出∠ACH＝15°，进而可得AH＝DH，根据等腰三角形的性质可得的结论．
【解答】解：（1）如图所示：
延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE．
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE＝BC，∠AED＝∠CBD，
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∠ABC+∠BAE＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
在△ABE和△BAC中，
，
∴△ABE≌△CBA（SAS），
∴AC＝EB．
，
（2）证明：连接CD．
∵∠ACB＝90°，且D为AB的中点，
，
∠B＝∠DCB，
，
∴CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∴∠DCB＝2∠E，
∴∠B＝2∠E；
（3）解：如图所示，过D作DH⊥AB于H，连接CH．
∵∠DHB＝90°，且CD＝BC，
HC＝BC＝CD．
∴∠CHB＝∠B．
∠B＝30°．
∠CHB＝30°，
∠CHD＝60°，
∴△HCD为等边三角形．
∴CH＝DH，∠HCD＝60°，
∠ACD＝∠B+∠BAC＝45°．
∴∠ACH＝∠HCD﹣∠ACD＝15°，
∴∠ACH＝∠CAH．
∴AH＝CH＝DH．
∴△AHD为等腰直角三角形．
∠HDA＝45°，
∠ADB＝∠ADH+∠BDH＝105°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定．
13．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E． 求证：PD＝PE． 分析： 图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE．
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明PD＝PE的过程．
【类比探究】
（1）如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；
（2）如图③，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为 18 ．
【思路点拔】【问题解决】利用AAS定理证明△OPE≌△OPD，根据全等三角形的性质证明结论；
【类比探究】（1）过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，根据角平分线的性质得到PE＝PF，证明△PME≌△PNF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得EO＝DO，OF＝DO，然后再利用面积的计算方法可得答案．
【解答】【问题解决】证明：在△OPE和△OPD中，
，
∴△OPE≌△OPD（AAS），
∴PD＝PE；
【类比探究】（1）证明：如图②，过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PE＝PF，
∵∠PMO+∠PME＝180°，∠PMO+∠PNO＝180°，
∴∠PME＝∠PNO，
在△PME和△PNF中，
，
∴△PME≌△PNF（AAS），
∴PM＝PN；
（2）解：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO＝DO，OF＝DO，
∵OD＝3，
∴EO＝FO＝3，
∵△ABC的周长是12，
∴AB+BC+AC＝12，
∴△ABC的面积：AB EO+AC FO+CB DO＝（AB+AC+BC）＝×12＝18，
故答案为：18．
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长．
【思路点拔】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．
【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴AD+BE＝DE；
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3．
【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
15．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．
（1）如图1，当AB＝AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF ＝ DF（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：CE＝2AF
（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【思路点拔】（1）①根据SAS证△BAF≌△DAF，即可得出BF＝DF；
②根据等腰三角形的性质得出，CE＝2CH，再根据AAS证△AFB≌△CHA，得出AF＝CH，即可得证结论；
（2）作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，根据AAS证△AMB≌△CHA，再根据AAS证△AND≌△EHA，同理证△BMF≌△DNF，根据线段的等量关系即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，
∴AC＝AE，
∵AH⊥CE，
∴∠CAH＝∠EAH，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAF，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
故答案为：＝；
②∵AC＝AE，AH⊥CE，
∴CH＝EH＝CE，
∴CE＝2CH，
∵∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，
∴∠BAF＝∠ACH，
∵△BAF≌△DAF，
∴∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFB＝∠CHA，
在△AFB和△CHA中，
，
∴△AFB≌△CHA（AAS），
∴AF＝CH，
∴CE＝2AF；
（2）成立，证明如下：
作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，
∴∠BMA＝∠N＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，
∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，
∵AH⊥CE，
∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，
在△AMB和△CHA中，
，
∴△AMB≌△CHA（AAS），
∴MB＝AH，
同理可证△AND≌△EHA（AAS），
∴DN＝AH，
∴BM＝DN，
在△BMF和△DNF中，
，
∴△BMF≌△DNF（AAS），
∴BF＝DF，MF＝NF，
∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，
∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，
∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，
∴AM＝CH，AN＝EH，
∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，
∵CE＝CH+EH，
∴CE＝2AF，
即BF＝DF，CE＝2AF．
【点评】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．【模型熟悉】
（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE；
【模型运用】
（2）如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，连接AD．若∠DAN＝30°，求证：CM＝2BN；
【能力提升】
（3）如图3，等边△ABC的面积是25，AB＝6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程．
【思路点拔】（1）证△ABC≌△CED即可得证；
（2）在AB上截取AF＝DF构造△FDN≌△BNM（AAS），从而证出FD＝BN＝AF，FN＝BM，再用线段和差即可得证；
（3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明BE平分∠ABC，即可得出点E的运动轨迹，再利用面积法求出BN的长度即可．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ACD，∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴BC＝DE．
（2）证明：在AB上截取AF＝DF，连接DF，
∵∠DAN＝30°，
∴∠DAN＝∠ADF＝30°，
∴∠DFN＝60°＝∠B，
∵∠ANM＝∠AND+∠DNM＝∠PMN+∠B，且∠DNM＝∠B＝60°，
∴∠AND＝∠BMN，
在△FDN和△BNM中，
，
∴△FDN≌△BNM（AAS），
∴FD＝BN，FN＝BM，
∴AF＝BN，
∵AB＝BC，
∴AB﹣NF＝BC﹣BM，即AF+BN＝CM，
∴CM＝2BN．
（3）解：如图，在BC上截取BM＝CF，连接EM，
∵AD＝2CF＝BM+CF，且AC＝BC，
∴CD＝FM，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝EF，∠DFE＝60°，
∵∠DFM＝∠CDF+∠C＝∠MFE+∠DFE，且∠C＝∠DFE＝60°，
∴∠CDF＝∠MFE，
∴△DFC≌△FEM（SAS），
∴∠FME＝∠C＝60°，EM＝CF，
∵BM＝CF，
∴BM＝EM，
∴∠EBM＝30°，
∴BE平分∠ABC，
∴如图所示，点E在△ABC的内角∠ABC的角平分线上BN上运动．
∴点E的运动路程也就是BN的长度，
∵△ABC是等边三角形，BN是角平分线，
∴BN⊥AC，
∴S△ABC＝AC BN＝25，
∵AC＝6，
∴BN＝，
即点E的运动路程为．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键．
17．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是线段BC上的一个动点．
（1）如图，若M与C重合，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE与CD的数量关系，并说明理由．
（2）若M在线段BC上且不与B，C重合，D在线段AB上，且，过B作BE⊥MD，垂足E在MD的延长线上，则BE与DM的数量关系是什么？画图并说明理由．
【思路点拔】（1）延长CA交BE延长线于N点，根据∠1＝∠2，CE⊥CN，可得BE＝EN＝CN再证明△BAN≌△CAD可得CD＝CN即可解决；
（2）过M作MN∥AC交BE延长线于N点，交AB于Q点，证明△BQN≌△MQD，方法与（1）类似．
【解答】解：（1）2BE＝CD，
理由：延长CA交BE延长线于N点，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAN＝90°，∠1+∠5＝90°，
∴∠BAN＝∠BAC＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠4+∠3＝90°，
∵∠4＝∠5，
∴∠1＝∠3，
∵AB＝AC，
∴△BAN≌△CAD（ASA），
∴CD＝CN，
∵∠1＝∠2，CE⊥CN，
∴BE＝EN＝CN，
∴CN＝2BE，
∴CD＝2BE；
（2）2BE＝DM，
理由：过M作MN∥AC交BE延长线于N点，交AB于Q点，
∴∠ACB＝∠BMN，∠BAC＝∠BQM＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠B＝BMQ，
∴BQ＝QM，
∵，
∴＝，，
∴∠BMD＝∠NMQ，
同理可得：∠NBQ＝∠NMD，
∵∠BQN＝∠MQD＝90°，
∴△BQN≌△MQD（ASA），
∴DM＝BN，
∵∠BMD＝∠NMQ，ME⊥BN，
∴BE＝NE＝BN，
∴BN＝2BE，
∴DM＝2EB．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定合性质，属于综合题，中考常考题型．
18．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： EF＝BE+FD ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE ．
【思路点拔】（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题；
（2）如图2，同理可得：EF＝BE+DF；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【解答】解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（3）当（1）结论EF＝BE+FD成立，
当图三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
同理可得：∴EG＝EF
∵EG＝BG﹣BE
∴EF＝FD﹣BE．
故答案为：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出AF＝AG是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出EF＝EG，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题．
19．实践与探究
操作一：如图①，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠B＝30°，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，折痕为AD，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，且DE∥AC，则∠DAF＝ 45 度；
操作二：如图②，将△DFE沿DF继续折叠，点E的对应点为点G，DG与AF交于点M，DG与AC交于点N，则图②中度数为30°的角共有 7 个．
根据以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）求证：△AMN≌△△DMF；
（2）若BC＝3，则线段MN的长为 ．
【思路点拔】操作一：根据折叠可得∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAD，再根据平行得∠E＝∠EAC，进而求得∠DAF＝45°；
分别求出符合条件的角的度数，即可判断；
操作二：（1）根据折叠和已知条件得出全等的条件；
（2）利用直角三角形的知识，算出各线段的长度．
【解答】操作一：
解：由折叠可得：△ABD≌△AED，
∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAD，
∵∠B＝30°，AB＝AC，
∴∠EAC＝180°﹣∠B﹣∠C﹣2∠DAE＝120°﹣2∠DAE，
∵DE∥AC，
∴∠E＝∠EAC，
∴120°﹣2∠DAE＝30°，
∴∠DAE＝45°．
∴∠DAF＝45°．
操作二：
解：由题意可得：△ABD≌△AED，△DEF≌△DGF，
∴∠B＝∠E，∠E＝∠G，
∴∠B＝∠E＝∠G＝∠C＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠E＝∠EAC＝30°，
∴∠AFC＝180°﹣∠C﹣∠EAC＝120°，
∴∠DFE＝120°，
∴∠EDF＝180°﹣∠E﹣∠DFE＝30°，
∵△DEF≌△DGF，
∴∠EDF＝∠FDG＝30°．
故答案为：7．
（1）证明：∵∠MAN＝∠MDF＝30°，∠MFD＝60°，
∴∠DMF＝180°﹣∠MDF﹣∠MFD＝90°，
∴∠DMF＝∠AMN＝90°，
∵∠DAF＝45°，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴AM＝DM，
在△AMN和△DMF中，
，
∴△AMN≌△DMF（AAS）．
（2）解设MN＝x，由（1）可知；MF＝x，
在Rt△AMN中，∠MAN＝30°，
∴AM＝，
∵△ADM等腰直角三角形，
∴DM＝，AD＝，
在Rt△DMF，∠MDF＝30°，
∴DF＝2x，MF＝x，
∴AF＝，
∵∠FAC＝∠C＝30°，
∴FC＝，
∵∠FDE＝∠FED＝30°，
∴DF＝EF＝2x，
∴，
∴，
∴BC＝BD+DF+FC＝3，
∴，
∴，
∴MN＝．
【点评】本题主要考查了翻折的知识、全等三角形的判定知识、直角三角形的知识，有一定的难度，需认真分析．
20．在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF．
【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 BE＝CF ，∠BDC的度数为 30° ．
【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．
【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
（3）利用SAS证明△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，再由等腰直角三角形的性质可得AM＝EM＝FM，即EF＝2AM，根据BF＝BE+EF，等量代换可得BF＝CF+2AM．
【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，
理由如下：如图1所示，设AC与BD交于点O，
∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，
∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACF+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°．
故答案为：BE＝CF，30°；
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，
理由如下：如图2，
∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；
（3）【拓展延伸】BF＝CF+2AM，
理由如下：如图3，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∵AE＝AF，∠EAF＝90°，AM⊥EF，
∴AM＝EM＝FM，即EF＝2AM，
∵BF＝BE+EF，
∴BF＝CF+2AM．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
21．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．
（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝ 60 °；
（2）过D点作DG⊥AE，垂足为G．
①填空：△DEG≌△ EFA ；
②求证：AE＝AF+BC；
（3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．
【思路点拔】（1）先由∠AEF＝20°、∠DEF＝90°得到∠DEA＝70°，然后由∠ADE＝50°得到∠DAE＝60°，再结合∠EAB＝90°得到∠BAC＝30°，最后由∠ACB＝90°得到∠ABC＝60°；
（2）①先由DG⊥AE得到∠DEG+∠EDG＝90°，然后由∠DEF＝90°得到∠DEG+∠AEF＝90°，从而得到∠EDG＝∠FEA，再结合DE＝EF、∠DGE＝∠EAF＝90°得证△DEG≌△EFA；
②先由∠GDA+∠GAD＝90°和∠GAD+∠BAC＝90°得到∠GDA＝∠BAC，再结合AD＝AB、∠DGA＝∠C＝90°得证△GDA≌△CAB，进而得到BC＝AC，最后由△DEG≌△EFA得到EC＝AF，最后得证AE＝AF+BC；
（3）过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°，先由AE⊥AB，得到∠EAF＝∠DGE＝90°，然后由△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形得到∠DEF＝90°，DE＝EF，从而得证△GDE≌△AEF，因此有GE＝AF，再由∠DGE＝∠EAF＝90°得到∠GDA＝∠CAB，然后证明△GDA≌△CAB，最后得到BC＝EG+AE＝AF+AE．
【解答】（1）解：∵∠AEF＝20°，∠DEF＝90°，
∴∠DEA＝70°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠DAE＝60°，
∵∠EAB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
故答案为，60．
（2）①解：∵DG⊥AE，
∴∠DEG+∠EDG＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEG+∠AEF＝90°，
∴∠EDG＝∠FEA，
在△DEG和△EFA中，
，
∴△DEG≌△EFA（AAS），
故答案为：EFA．
②证明：∵∠GDA+∠GAD＝90°，∠GAD+∠BAC＝90°，
∴∠GDA＝∠BAC，
∵AD＝AB，∠DGA＝∠C＝90°，
∴△GDA≌△CAB（AAS），
∴BC＝AG，
∵△DEG≌△EFA，
∴EC＝AF，
∴AE＝AG+GE＝AF+BC．
（3）解：BC＝AE+AF，理由如下，
如图2，过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°，
∵AE⊥AB，
∴∠EAF＝∠DGE＝90°，
∵△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠GDE+∠GED＝∠GED+∠AEF＝90°，
∴∠GDE＝∠AEF，
∴△GDE≌△AEF（AAS），
∴GE＝AF，
∵∠DGE＝∠EAF＝90°，
∴DG∥AB，
∴∠GDA＝∠CAB，
在△GDA和△CAB中，
，
∴△GDA≌△CAB（AAS），
∴BC＝AG，
∴BC＝EG+AE＝AF+AE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握一线三等角模型证明三角形全等．
22．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 2＜AD＜8 ．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）由题意得：AE在△ABE中，由三角形三边关系可得到AE的取值范围，AD＝AE，即可求得AD的取值范围；
（2）由“SAS”可证△EDF≌△EBA，可得∠ADC＝∠ADF，由“SAS”可证△AFD≌△ACD（SAS），可得AC＝AF＝2AE；
（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ABE中，AB＝6，BE＝AC＝10，由三角形三边关系可得：AE﹣AB＝4＜AE＜AB+BE＝16，即AE到取值范围为4＜AE＜16，
∵AD＝，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；
（2）如图2，延长AE至点F，使得EF＝AE，连接DF，则AF＝EF+AE＝2AE，
∵E是BD中点，
∴DE＝BE，
在△EDF和△EBA中，
，
∴△EDF≌△EBA（SAS），
∴DF＝AB＝CD，∠B＝∠EDF，∠F＝∠EAB，
∵∠CDA＝∠B+∠BAD，∠ADF＝∠BDA+∠EDF，∠BDA＝∠BAD，
∴∠ADC＝∠ADF，
在△AFD和△ACD中，
，
∴△AFD≌△ACD（SAS），
∴AC＝AF，
∴AC＝2AE；
（3）EF＝2AD，EF⊥AD，
理由：如图3，延长DA交EF于点P，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，∠M＝∠CAD，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）可知，AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵AE⊥AB、AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，∠BAM＝∠E，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∴EF＝2AD，
∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE，
∴∠APE＝∠BAE＝90°，
∴EF⊥AD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
23．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 AC＝BM ，位置关系是 AC∥BM ；
【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）
【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
【思路点拔】（1）证△ADC≌△MDB（SAS），得AC＝BM，∠CAD＝∠M，再由平行线的判定即可得出AC∥BM，
（2）延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），得BM＝AC＝8，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM，∠CAD＝∠M，
∴AC∥BM，
故答案为：AC＝BM，AC∥BM；
（2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝8，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴12﹣8＜AM＜12+8，
即4＜2AD＜20，
∴2＜AD＜10，
即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10；
（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下：
如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）可知，AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵AE⊥AB、AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，∠BAM＝∠E，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∴EF＝2AD，
∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE，
∴∠APE＝∠BAE＝90°，
∴EF⊥AD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD，线段AC、BD交于E．
（1）如图1，若点F在线段AD上，AE＝AF，∠CAD＝56°，求∠ACF的度数；
（2）如图2，若点F在线段AD的延长线上，且CF∥AB，CE＝2，CF＝5，求DF的长；
（3）如图3，若点F在△ECD内部，且∠FCB＝∠ADC，DF＝CE，求∠CFD﹣∠ABD的度数．
【思路点拔】（1）证△ACF≌△ADE得∠ACF＝∠ADE，再利用等腰三角形求出∠ADE的度数即可；
（2）由题干条件可猜测CF＝CE+DF，这样就转化成截长补短证三角形全等了，AG⊥AD，且AG＝AD，连接CG交AD于点M，交BD于点N，先证△ABD≌△ACG，得到CF＝MF，再证△ACM≌△ADE，得出AE＝AM，即可证出CF＝CE+DF，即可得证；
（3）构造全等三角形证∠PEC＝∠CFD即可求解．
【解答】解：（1）在△ACF和△ADE中，
，
∴△ACF≌△ADE（SAS），
∴∠ACF＝∠ADE，
∵∠BAC＝90°，∠CAD＝56°，
∴∠BAD＝146°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝17°，
∴∠ACF＝17°．
（2）如图作AG⊥AD，且AG＝AD，连接CG交AD于点M，交BD于点N，
∵AB＝AC＝AD，
∴AB＝AC＝AD＝AG，
∵∠BAD＝∠CAG＝90°+∠CAD，
∴△ABD≌△ACG（SAS），
∴∠AGC＝∠ADB，
又∵∠AMG＝∠DMN，
∴∠DNM＝∠GAM＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ACF＝∠CAB＝90°，
∵∠MCF＝90°﹣∠ACG，∠DMC＝90°﹣∠ADB，且∠ADB＝∠AGC＝∠ACG，
∴∠MCF＝∠DMC，
∴CF＝MF，
∵∠CAM＝∠DAE，AC＝AD，∠ACG＝∠ADB，
∴△ACM≌△ADE（ASA），
∴AE＝AM，
∴CE＝DM，
∴CF＝MF＝DM+DF＝CE+DF，
∵CF＝5，CE＝2，
∴DF＝CF﹣CE＝3．
（3）∠CFD﹣∠ABD＝90°，
理由：延长CF交BD于点M，交AD于点N，
∵∠FCB＝∠ADC＝ACD，
∴∠FCD＝∠ACB＝45°，
设∠ABD＝x，则∠ADB＝x，∠AED＝90°+x，
∴∠EAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB﹣∠BAC＝90°﹣2x，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝45°+x，
∴∠ACN＝x，∠MDC＝45°＝∠MCD，
∴MC＝MD，
∴△ECM≌△NDM（AAS），
∴DN＝CE＝DF，
∵∠DMN＝90°，∠MDN＝x，
∴∠DNM＝∠DFM＝90°﹣x，
∴∠CFD＝90°+x，
∴∠CFD﹣∠ABD＝90°+x﹣x＝90°
【点评】本题主要考查了全等三角形得判定和性质、三角形内角和、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°，D为AC边上的一点，连接BD，E为BD上的一点，连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂足G．AG交ED于点F．
（1）判断AF与AD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若AC＝CE，D为AC的中点，AB与AC相等吗？为什么？
【思路点拔】（1）利用三角形的内角和定理，构建关系式解决问题即可．
（2）证明△ABF≌△CED（AAS）即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：AF＝AD．
理由：如图1中，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABD，
∵AG⊥CE，
∴∠FGE＝90°，
∴∠EFG＝∠AFD＝90°﹣∠CED，
∵∠CED＝∠ABD，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD．
（2）结论：AB＝AC．
理由：如图2中，
∵∠AFD＝90°﹣∠CED，∠ADB＝90°﹣∠ABD，∠CED＝∠ABD，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，∠BFA＝180°﹣∠AFD＝180°﹣∠ADF＝∠CDE，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AF，
∴△ABF≌△CED（AAS），
∴AB＝CE，
∵CE＝AC，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，连接BC、AD，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180°．则△ACD的面积为 ．
【思路点拔】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG（SAS），可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF（SAS），可得EF＝FG，即可解题；
（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
（3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．证明四边形AHDK是正方形即可解决问题．
【解答】解：延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD．
理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
（3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．
∵AB：AC：BC＝3：4：5，
∴可以假设AB＝3k，AC＝4k，BC＝5k，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵∠H＝∠K＝90°，
∴四边形AHDK是矩形，
∴∠HDK＝90°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BDH+∠CDK＝45°，
∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠ABD+∠DBH＝180°，
∴∠DBH＝∠DBC，
∵∠H＝∠DJB＝90°，DB＝DB，
∴△BDH≌△BDJ（AAS），
∴DH＝DJ，∠BDH＝∠BDJ，BH＝BJ，
∵∠BDJ+∠CDJ＝45°，∠BHH+∠CDK＝∠BDJ+∠CDK＝45°，
∴∠CDJ＝∠CDK，
∵∠K＝∠DJC＝90°，CD＝CD，
∴△CDK≌△CDJ（AAS），
∴DJ＝DK，CJ＝CK，
∴DH＝DK，
∴四边形AHDK是正方形，
∴BH+CK＝BJ+CJ＝5k，
∴AH+AK＝12k，
∴AK＝KD＝6k，
∵AD＝4，
∴AK＝DK＝2＝6k，
∴k＝，
∴AC＝，
∴S△ACD＝ AC DK＝ ×2＝．
故答案为．
【点评】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
《全等三角形常见模型》提升训练题
一．解答题（共26小题）
1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长度．
2．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，△ABC和△ADE中，AD＝DE，AB＝BC，∠EDA＝∠ABC＝90°，点M为EC的中点，点E在线段CA的延长线上．请判断线段DM与线段BM的关系，说明理由．
3．已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．
（1）求∠AFC的度数；
（2）若AD＝6，CE＝4，求AC的长．
4．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，DA＝DC，DM⊥BA交BA的延长线于点M，DN⊥AC于点N．
（1）求证：Rt△ADM≌Rt△CDN；
（2）若∠ABC＝60°，BD＝8，求四边形ABCD的面积．
5．已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC，作FA⊥AB于点A，且AF＝BD，连结DC、DF．
（1）自主探究：如图1，当点D在线段AB上，点F在点A右侧时，DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）思考拓展：如图2，当点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）能力提升：当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的 侧时，（1）中的两个结论依然成立，若此时BC＝2，AB＝1，则AF的长度为 ．
6．如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，AF⊥OM于F，BE⊥OM于E．小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OAF＝α，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OBE＝β．已知C，M，D三点共线，α与β互余，且OA＝OB，AF＝8m，ME＝3m，求办公楼的高度OM．
7．如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，求证：CD＝BE；
（2）当C、B、E三点在一条直线上时，
①如图2，已知∠BDC＝60°，求∠DBE的度数；
②如图3，过A作AF⊥BD交BD于点F，若AF＝4，△AEC的面积为13，求BD的长．
8．某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求两堵木墙之间的距离．
（2）如图2，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E，当线段DC＝2时，请证明△ABD≌△DCE．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点，DE⊥AB于E，作∠EDC的平分线交AC于点F，过点E作DF的垂线交DF于点G，交BC于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：DH＝BE；
（3）判断线段FD、HC与BE之间的数量关系，并证明．
10．如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，并且AC＝BD，AE＝BF，连接CE．
（1）求证：AE∥FB；
（2）若DC＝DE，∠A＝25°，求∠AEC的度数．
（3）若DC＝DE，∠A＝α，则∠AEC＝ （用含α的式子表示）．
（4）若∠A＝30°，DE＝m，则BF＝ （用含m的式子表示）．
11．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m，乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于点C，点A到地面的距离AE＝1.8m（AE＝CD），当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．求A′到BD的距离．
解：作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
在Rt△A'FB中，∠1+∠ ＝90°，
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠ ＝90°，
∴∠ ＝∠ ，
在△ACB和△BFA′中，
，
∴△ACB≌△BFA' ，
∴A'F＝BC ，
∵BC＝BD﹣CD＝3﹣1.8＝1.2m，
∴A'F＝1.2m，
即A'到BD的距离是1.2m．
12．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：．
分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE，可证△ADE≌△CDB，再证明△ABE≌△BAC，最后得到：．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC到E，使得，D是AB边的中点，连接ED，求证：∠B＝2∠E；
【模型构造】如图4，在△ABC中，∠B＝30°，延长BC到D，使得CD＝BC，连接AD，求∠D的度数．
13．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E． 求证：PD＝PE． 分析： 图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE．
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明PD＝PE的过程．
【类比探究】
（1）如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；
（2）如图③，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为 ．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长．
15．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．
（1）如图1，当AB＝AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF（填“＞”、“＜”、“＝”）
②求证：CE＝2AF
（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
16．【模型熟悉】
（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE；
【模型运用】
（2）如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，连接AD．若∠DAN＝30°，求证：CM＝2BN；
【能力提升】
（3）如图3，等边△ABC的面积是25，AB＝6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程．
17．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是线段BC上的一个动点．
（1）如图，若M与C重合，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE与CD的数量关系，并说明理由．
（2）若M在线段BC上且不与B，C重合，D在线段AB上，且，过B作BE⊥MD，垂足E在MD的延长线上，则BE与DM的数量关系是什么？画图并说明理由．
18．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ．
19．实践与探究
操作一：如图①，已知三角形纸片ABC，AB＝AC，∠B＝30°，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，折痕为AD，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，且DE∥AC，则∠DAF＝ 度；
操作二：如图②，将△DFE沿DF继续折叠，点E的对应点为点G，DG与AF交于点M，DG与AC交于点N，则图②中度数为30°的角共有 个．
根据以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）求证：△AMN≌△△DMF；
（2）若BC＝3，则线段MN的长为 ．
20．在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF．
【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 ，∠BDC的度数为 ．
【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．
【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由．
21．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．
（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝ °；
（2）过D点作DG⊥AE，垂足为G．
①填空：△DEG≌△ ；
②求证：AE＝AF+BC；
（3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．
22．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 ．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE；
【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由．
23．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）
【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD，线段AC、BD交于E．
（1）如图1，若点F在线段AD上，AE＝AF，∠CAD＝56°，求∠ACF的度数；
（2）如图2，若点F在线段AD的延长线上，且CF∥AB，CE＝2，CF＝5，求DF的长；
（3）如图3，若点F在△ECD内部，且∠FCB＝∠ADC，DF＝CE，求∠CFD﹣∠ABD的度数．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°，D为AC边上的一点，连接BD，E为BD上的一点，连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂足G．AG交ED于点F．
（1）判断AF与AD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若AC＝CE，D为AC的中点，AB与AC相等吗？为什么？
26．（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，连接BC、AD，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180°．则△ACD的面积为 ．
