2023-2024学年湖南省部分学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从道题中随机选道，若某道题被选中的概率为，则( )
A. B. C. D.
2.若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为( )
A. B. C. D.
3.已知点，，，在同一平面内，，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，若是的充要条件，则整数( )
A. B. C. D.
5.从，，，这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为，则的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知在三棱锥中，，，，且为等边三角形，则二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，，是函数的图象与直线的两个交点，且点在轴上，若，则的最小正周期为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数据，，，，，，，，，的第百分位数、第百分位数、第百分位数分别为，，，平均数为，则( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，角，的始边均与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，，则( )
A. B.
C. D. 是第三象限角
11.已知直三棱柱的各顶点及动点都在球的球面上，，则( )
A.
B. 球的半径为
C. 三棱柱的表面积为
D. 点到平面的距离的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，，则 ______．
13.已知正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，则几何体的体积为______．
14.已知函数，若存在唯一的，使得，则当时，的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，，．
若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；不需写出作法和证明过程
证明：平面平面．
16.本小题分
现有一批零件，一质检员从中随机抽取件进行合格性检验，实际尺寸与标准尺寸的差值为，现对进行整理，分组区间为，，，，，得到如图所示的频率分布直方图规定：的为优质品，的为合格品，的为劣质品．
求的值，并计算的平均值；每组数据用该组所在区间的中点值作代表
估计该批零件中优质品、合格品、劣质品的数量之比；
质检部门规定：若抽检的零件中劣质品数量不超过件，则这批零件通过抽检，否则，不能通过抽检问：这批零件能否通过抽检？
17.本小题分
一个质地均匀的正方体的个面为黄色，个面为绿色，个面为红色连续抛掷该正方体次，观察落地时朝上的面的颜色．
求第次、第次、第次朝上的面的颜色依次为红色、绿色、黄色的概率；
求朝上的面的颜色恰有次相同的概率．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，且．
求的值；
若，求及的值．
19.本小题分
已知函数，满足，其中为偶函数，为奇函数．
求，的解析式；
求函数的值域；
设，若对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：取的中点，的中点，的中点，的中点，的中点，顺次连接，
则六边形即为所作的截面，
理由如下：因为为的中位线，所以，
同理可得，，，，，
而，，，
故GF，，，
因为平面，平面，
所以面，同理平面，
因为，且，平面，
所以平面平面，
故六边形即为所作的截面，
证明：设，则，
因为，所以，
又，故四边形为菱形，故A，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面C.
16.解：由频率分布直方图中各组概率之和为得，
，解得，
平均值为；
由频率分布直方图得件样品中，
优质品的数量为件，
合格品的数量为件，
劣质品的数量为件，
所以优质品：合格品：劣质品：：；
由知，样本中劣质品的数量为件，已经超过件，
所以这批零件不能通过抽检．
17.解：设第次、第次、第次朝上的面的颜色依次为红色、绿色、黄色为事件，
；
设朝上的面的颜色恰有次相同为事件，
可以是次相同的黄色或次相同的绿色或次相同的红色，
所以．
18.解：由于，，所以，
又，
故，因此．
由余弦定理得，
，化简得，解得负值舍去，
进而，故，所以为锐角，故，
故，
．
19.解：根据题意，由于为偶函数，为奇函数，且，
故，
两式相加可得，
进而可得：，
，
令，，则，
故值域为；
由于，均为单调递减函数，故为单调递减函数，
故当时，，即，
故在上的最小值为，
，当且仅当时等号成立，
故在上的最小值为，
若对任意的，都存在，使得成立，
只需要，
又，故，解得，
故的取值范围为
第1页，共1页