2023-2024学年安徽省亳州二中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省亳州二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.设是公差不为的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.曲线在点的切线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
4.已知三个正数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，则它们的公比为( )
A. 或 B. 或 C. D. 或
5.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列：如果为数列的前项和，那么的概率为( )
A. B. C. D.
6.某大楼安装了个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为秒如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
7.若函数满足：对，，，，，均可作为一个三角形的边长，就称函数是区间上的“函数”则下列四个函数：，；，；，；，中，“函数”有个．
A. B. C. D.
8.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“--”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有个阴爻”，事件“取出的重卦中恰有个阳爻”则．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是( )
A. B. 为等差数列
C. D. 当时，有最大值
10.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知函数，则下列结论正确的有( )
A. 函数的值域为
B. 函数的图象关于点成中心对称图形
C. 函数的导函数的图象关于直线对称
D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则
11.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 除以所得的余数是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.长时间玩手机可能影响视力据调查，某学校大约的学生近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为现从该校每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为______．
13.的展开式中的系数为______．
14.已知函数的定义域为，为的导函数，若具有下列性质：的值域为；为奇函数；对任意的，，且，都有则的一个解析式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项等比数列中，，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
函数，．
若时，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
若，，若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．
节排器等级如表格所示
综合得分的范围 节排器等级
一级品
二级品
三级品
若把频率分布直方图中的频率视为概率，则
如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取件，然后从这件中随机抽取件，求至少有件一级品的概率；
如果从乙型号的节排器中随机抽取件，求其二级品数的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知在为常数且，，，中，有．
Ⅰ求的展开式中的常数项；
Ⅱ若它的展开式中的常数项是其各项系数中最大的项，求的最大值．
19.本小题分
经验表明，在室温下，开水冷至到温水饮用对身体更有益某研究人员每隔测量一次开水温度如表，经过后的温度为现给出以下个函数模型：；，其中为温度衰减比例，计算公式为：．
开水温度变化
时间
水温
请选择一个恰当的函数模型描述，之间的关系，并求出；
求值保留；
在室温下，开水至少大约放置多长时间单位：，保留整数才能冷至到对身体有益温度？参考数据：，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.解：设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
所以，得，
又，则，即，
化简整理得
显然，所以，解得
故数列的通项公式．
由知，
所以
则，
．
16.解：，，
，
，且的定义域为，
对恒成立，
，，，
当且仅当时，即时，取等号，
．
函数在上恰有两个不同的零点，
等价于方程在上恰有两个相异实根．
令，则，
当时，，
在上是单调递减函数，
当时，，
在上是单调递增函数，
，
又，，
，
只需，
故．
17.解：由已知及频率直方图中的信息得到：
甲型号的节排器中一级品的概率为，二级品的概率为，
用分层抽样方法抽取件，其中有件一级品，件二级品，
从这件节排器中随机抽取件，至少有件一级品的概率：
．
由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，
如果从乙型号的节排器中随机抽取件，则二级品数可能的值为，，，
又，
，
，
，
的分布列为
．
18.解：Ⅰ，
展开式通项为，
令，解得，
故，即的展开式中的常数项为；
Ⅱ它的展开式中的常数项是其各项系数中最大的项，
则，即，解得，
，当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为．
19.解：若选择，
把，代入，得，矛盾；
若选择，
把，代入，得，符号题意，
故应该选择，其中；
；
由知，，之间的关系为，
开水冷至到温水饮用对身体更有益，
，即，
则，
又，，
，
在室温下，开水至少大约放置才能冷至对身体有益温度．
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