2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. ， B.
C. ， D. ，
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
5.已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为、底面边长为的正三棱锥，后段是高为的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的渐近线与：交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，直线：，若，则实数可能的取值为( )
A. B. C. D.
10.关于成对数据统计分析的下列结论中，正确的是( )
A. 若两个变量与的相关系数，则这两个变量负相关
B. 若两个变量与的相关系数越大，则这两个变量的线性相关程度越强
C. 若两个变量与的相关系数，则这两个变量不具有相关关系
D. 对于两个变量与的经验回归方程，若决定系数越大，则经验回归方程的拟合效果越好
11.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 的最大值大于
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，且，则的值是______．
13.已知函数在上存在最小值，则的取值范围是______．
14.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别，，，且．
求；
若，试探究：的周长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．
16.本小题分
已知为等比数列，且，．
若，求；
设数列的前项和为，求．
17.本小题分
甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为每场单打比赛不考虑平局的情况．
求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队分的概率；
设比赛结束后甲队的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
如图，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使点到点处，平面平面．
证明：平面平面；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
已知函数．
设函数，讨论的单调性；
设，分别为的极大值点和极小值点，证明：．
参考答案
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15.解：，
，
，
，
，
，，
，；
又，所以由正弦定理可得，所以，，
则，
因为，
所以，当，即时，的周长取得最大值，且最大值为．
16.解：设等比数列的公比为则
，
由可得

17.解：设五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队分为事件，
则；
由题意可知的取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
，
随机变量的分布列为：
所以．
18.证明：在矩形中，由为中点，易得，又．
，即，
，
又平面平面平面平面，平面．
平面，
又面，，又，，，平面，
所以平面，因为平面，
平面平面．
解：取的中点，连接，则，
又平面平面，平面平面，
平面，
平面．
如图以为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则．
设平面的法向量为，
，令，则．
设平面与平面所成的角为．
则，所以
二面角的正弦值为．
19.解：，
，
当时，，，单调递减，，，单调递增，
当时，在上恒成立，则在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增．
证明：，
，分别是的极大值点和极小值点，
．
，
综上，要证，
只需证，
，
即证：，
设．
，
在上单调递增，．
成立．
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