2023-2024学年山东省青岛五十八中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省青岛五十八中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
2.正方体中，异面直线与所成角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取的学生进行调查，其中被抽取的小学生有人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，( )
A. 若，，则 B. 若，，，，则
C. 若，，，，则 D. 若，，，则
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.某同学投掷一枚骰子次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为，方差为，则点数出现的次数为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，面积为，且，若，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，满足，，则( )
A. B.
C. 在复平面内对应的向量为 D. 的最小值为
10.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为”，事件“两枚骰子出现点数和为”，则( )
A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立
11.如图，在四边形中，和是全等三角形，，，，下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥折法；将沿着折起，得到三棱锥，如图折法：将沿着折起，得到三棱锥，如图下列说法正确的是( )
A. 按照折法，三棱锥的外接球表面积恒为
B. 按照折法，存在满足
C. 按照折法，三棱锥体积的最大值为
D. 按照折法，存在满足平面，且此时与平面所成线面角正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前名的学生成绩依次是：，，，，，，，，，，这名同学数学成绩的分位数是______．
13.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足______选出正确的结论
；
与直线相交；
与直线相交．
14.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，中，是边长为的正方形，平面平面，若，分别是，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
16.本小题分
某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取人进行专项体能测试，得到如图频率分布直方图：
估计两组测试的平均成绩；
若测试成绩在分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出人参加学校代表队，再从这人中选出人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若点在边上，且，，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，分别为，的中点．
求证：；
若，求点到平面的距离：
直线上是否存在一点，使得，，，四点共面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
将平面直角坐标系中的一列点，，，，记为，设，其中为与轴正方向相同的单位向量．若对任意的正整数，都有，则称为点列．
Ⅰ判断是否为点列，并说明理由；
Ⅱ若为点列，且任取其中连续三点，，，证明为钝角三角形；
Ⅲ若为点列，对于正整数，，，比较与的大小，并说明理由．
参考答案
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15.证明：如图所示：
连接，交于点，则为的中点，又为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
因为，
所以，则，
又因为平面平面，平面平面，
且，平面，
所以平面，平面，
所以，
又，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
16.解：由田径队的频率分布直方图得：，
解得，同理可得，
其中“田径队”的平均成绩为：，
“足球队”的平均成绩为：．
“田径队”中分以上的有人，
“足球队”中分以上有人，
所以抽取的比例为，在“田径队”抽取人，记作，，，，
在“足球队”抽取人记作，，，
从中任选人包含的基本事件有：
，，，，，；，，，，；，，，；，，；，；，共个，
正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有，，，，，共个，
故正、副队长都来自“田径队”的概率为．
17.解：由余弦定理可得，
所以可变形为，
即，，
，即，
又，；
如图，设，，
，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得 ，
由可得，
即，
整理可得，即，
所以．
18.解：证明：连接，相交于，由于底面是菱形，所以，
又平面，平面，所以，
，，平面，所以平面，
平面，所以；
由题意可知：点到平面的距离即为点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
由于，平面，所以，
所以，
，
，
取中点为，连接，延长，使得，连接，
由于，均为中点，所以，且，
又，，，所以，且，
故四边形为平行四边形，故A，
由于是的中点，是中点，所以，
因此，所以，，，四点共面，故．
19.解：Ⅰ为点列．理由如下：
由题意可知，，
所以，
，
即，，，，
所以为点列；
Ⅱ由题意可知，，
所以，
因为为点列，
所以，，，，
又因为，所以，
所以对中连续三点，，，都有，，
又，
所以，
所以为的最大内角，
由余弦定理可得，
，
故为钝角，所以为钝角三角形；
Ⅲ由正整数，，满足，则，
因为为点列，由Ⅱ知，，，，
所以，
，
，
两边分别相加可得，
所以，
则，
所以，
又，
所以，
所以．
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