第一节 等式与不等式的性质
【课标解读】
【课程标准】
梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向考法 不等式的性质是高考的重点,常以选择题的形式出现.
预测 2025年备考特别要重视性质的运用,明确其成立的前提,灵活运用估值法,适当关注与实际问题的结合.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.两个实数比较大小的方法
作差法(a,b∈R)
2.等式的性质
性质1 对称性:如果a=b,那么 b=a ;
性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么 a=c ;
性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b b
a
传递性 a>b,b>c a>c ; a可加性 a>b a+c>b+c
移项法则 a+b>c a>c-b
可乘性 a>b,c>0 ac>bc ; a>b,c<0 ac同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d
同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd
同正可乘方性 a>b>0 an>bn (n∈N,n≥2)
微点拨(1)注意不等式成立的条件.
(2)注意不等式性质的单向与双向性,即是否具有可逆性.
常用结论
1.证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0,m>0,则<,>(b-m>0).
(2)若ab>0,则a>b <.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)a>b ac2>bc2.( × )
提示:(1)由不等式的性质,ac2>bc2 a>b;反之,c≠0时,a>b ac2>bc2,故(1)错.
(2)a=b ac=bc.( × )
提示: (2)由等式的性质,a=b ac=bc;反之,c≠0时,ac=bc a=b,故(2)错.
(3)若>1,则a>b.( × )
提示: (3)a=-3,b=-1,则>1,但a(4)02.(2022·上海高考)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是( )
A.a+d>b+c B.a+c>b+d
C.ac>bd D.ad>bc
【解析】选B.对于A,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误,
对于B,因为a>b>c>d,即a>b,c>d,
所以由不等式的可加性可得,a+c>b+d,故B正确,
对于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误,
对于D,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ad3.(必修第一册P43习题2.1T3(2)改形式)已知M=(x-3)2,N=(x-2)(x-4),则( )
A.MN C.M≤N D.M≥N
【解析】选B.因为M-N=(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0,
所以M>N.
4.(错用不等式的性质致误)已知1≤a≤4,-1≤b≤2,则3a-b的取值范围是( )
A.[-13,1] B.[-1,8] C.[-1,13] D.
【解析】选D.因为1≤a≤4,-1≤b≤2,
所以-2≤-b≤1,3≤3a≤12,所以1≤3a-b≤13.
【核心考点·分类突破】
考点一不等式的基本性质
1.(多选题)(2023·张家口模拟)若a>b,则下列不等式中正确的有( )
A.a-b>0 B.2a>2b C.ac>bc D.a2>b2
【解析】选AB.对于A,因为a>b,所以a-b>0,故A正确;
对于B,因为a>b,且指数函数y=2x在R上单调递增,所以2a>2b,故B正确;
对于C,若c<0,则ac对于D,当a=1,b=-2时,a22.(多选题)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是( )
A.xy>yz B.xy>xz C.xz>yz D.x|y|>|y|z
【解析】选ACD.因为x>y>z,x+y+z=0,
所以x>0,z<0,y的符号无法确定.
对于A,由题意得x>z,若y<0,则xy<0对于B,因为y>z,x>0,所以xy>xz,故B成立;
对于C,因为x>y,z<0,所以xz对于D,当|y|=0时,x|y|=|y|z,故D不成立.
3.已知实数a>b>c,abc≠0,则下列结论一定正确的是( )
A.> B.ab>bc C.< D.ab+bc>ac+b2
【解析】选D.由题可知,a≠0,b≠0,c≠0.对于A,若a>b>c>0,则<,故A错误;对于B,若a>0>b>c,则ab0>b>c,则>,故C错误;对于D,ab+bc>ac+b2 ab-ac>b2-bc a(b-c)>b(b-c),因为a>b,b-c>0,所以a(b-c)>b(b-c),故ab+bc>ac+b2,故D正确.
4.(多选题)已知a,b,c满足cA.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0
C.cb2ac
【解析】选BCD.因为c所以c<0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0,
所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2ac.
解题技法
解决此类题目常用的三种方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件;
(2)利用特殊值排除法;
(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考点二两个数(式)的比较大小
[例1](1)若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为( )
A.pq D.p≥q
【解析】选B.p-q=+-a-b=+=(b2-a2)·(-)
=
=,
因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.
若a=b,则p-q=0,故p=q;
若a≠b,则p-q<0,故p综上,p≤q.
(2)已知c>1,且x=-,y=-,则x,y的大小关系是( )
A.x>y B.x=y C.x【解析】选C.易知x>0,y>0,又===<1,所以x(3)若a=,b=,则a与b的大小关系是 .
【解析】因为a=>0,b=>0,
所以=·===log89>1,
所以a>b.
答案:a>b
解题技法
1.作差法比较大小的一般步骤:
(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.
2.作商法比较大小的一般步骤:
(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.注意作商前要先判断正负,一般要比较的两数(式)均为正数,可考虑使用作商法.
对点训练
1.若a,b∈[0,+∞),A=+,B=,则A,B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B C.AB
【解析】选B.由题意,得B2-A2=-2≤0,所以B2≤A2.又A≥0,B≥0,所以A≥B.
2.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为 .
【解析】==()π-e,
又0<<1,0<π-e<1,
所以()π-e<1,即<1,
即eπ·πe答案:eπ·πe考点三不等式性质的应用
考向 求代数式的取值范围
[例2](1)(2023·杭州模拟)若实数x,y满足则2x+y的取值范围为( )
A.[1,+∞) B.[3,+∞) C.[4,+∞) D.[9,+∞)
【解析】选A.设2x+y=m(x+y)+n(5x+2y),则解得m=n=,故2x+y=(x+y)+(5x+2y),由得(x+y)≥,(5x+2y)≥,所以2x+y≥1.
(2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是 .
【解析】因为a>b>c,2a+b+c=0,
所以a>0,c<0,b=-2a-c.
因为a>b>c,所以-2a-c即3a>-c,解得>-3,
将b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,
即c<-a,得<-1,所以-3<<-1.
答案:(-3,-1)
解题技法
根据不等式的性质求取值范围的策略
(1)严格运用不等式的性质,注意其成立的条件.
(2)建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.
提醒:同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围.
对点训练
1.已知a∈(-3,-2),b∈(2,4),则的取值范围是 .
【解析】因为a∈(-3,-2),
所以∈(-,-),故<-<,
又因为2则-2<<-.
答案: (-2,-)
2.已知12【解析】因为15答案:(-60,30) (,8)第一节 等式与不等式的性质
【课标解读】
【课程标准】
梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向考法 不等式的性质是高考的重点,常以选择题的形式出现.
预测 2025年备考特别要重视性质的运用,明确其成立的前提,灵活运用估值法,适当关注与实际问题的结合.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.两个实数比较大小的方法
作差法(a,b∈R)
2.等式的性质
性质1 对称性:如果a=b,那么 b=a ;
性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么 a=c ;
性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b ba
传递性 a>b,b>c a>c ; a可加性 a>b a+c>b+c
移项法则 a+b>c a>c-b
可乘性 a>b,c>0 ac>bc ; a>b,c<0 ac同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d
同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd
同正可乘方性 a>b>0 an>bn (n∈N,n≥2)
微点拨(1)注意不等式成立的条件.
(2)注意不等式性质的单向与双向性,即是否具有可逆性.
常用结论
1.证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0,m>0,则<,>(b-m>0).
(2)若ab>0,则a>b <.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)a>b ac2>bc2.( )
(2)a=b ac=bc.( )
(3)若>1,则a>b.( )
(4)02.(2022·上海高考)若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是( )
A.a+d>b+c B.a+c>b+d
C.ac>bd D.ad>bc
3.(必修第一册P43习题2.1T3(2)改形式)已知M=(x-3)2,N=(x-2)(x-4),则( )
A.MN C.M≤N D.M≥N
4.(错用不等式的性质致误)已知1≤a≤4,-1≤b≤2,则3a-b的取值范围是( )
A.[-13,1] B.[-1,8] C.[-1,13] D.
【核心考点·分类突破】
考点一不等式的基本性质
1.(多选题)(2023·张家口模拟)若a>b,则下列不等式中正确的有( )
A.a-b>0 B.2a>2b C.ac>bc D.a2>b2
2.(多选题)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是( )
A.xy>yz B.xy>xz C.xz>yz D.x|y|>|y|z
3.已知实数a>b>c,abc≠0,则下列结论一定正确的是( )
A.> B.ab>bc C.< D.ab+bc>ac+b2
4.(多选题)已知a,b,c满足cA.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0
C.cb2ac
解题技法
解决此类题目常用的三种方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件;
(2)利用特殊值排除法;
(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考点二两个数(式)的比较大小
[例1](1)若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为( )
A.pq D.p≥q
(2)已知c>1,且x=-,y=-,则x,y的大小关系是( )
A.x>y B.x=y C.x(3)若a=,b=,则a与b的大小关系是 .
解题技法
1.作差法比较大小的一般步骤:
(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.
2.作商法比较大小的一般步骤:
(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.注意作商前要先判断正负,一般要比较的两数(式)均为正数,可考虑使用作商法.
对点训练
1.若a,b∈[0,+∞),A=+,B=,则A,B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B C.AB
2.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为 .
考点三不等式性质的应用
考向 求代数式的取值范围
[例2](1)(2023·杭州模拟)若实数x,y满足则2x+y的取值范围为( )
A.[1,+∞) B.[3,+∞) C.[4,+∞) D.[9,+∞)
(2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是 .
解题技法
根据不等式的性质求取值范围的策略
(1)严格运用不等式的性质,注意其成立的条件.
(2)建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围.
提醒:同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围.
对点训练
1.已知a∈(-3,-2),b∈(2,4),则的取值范围是 .
2.已知12
