一元二次方程 单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．方程x2﹣2x﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1
2．用配方法解方程x2+4x﹣7＝0，配方结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝23 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝11 D．（x+4）2＝9
3．2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
C． D．
4．受国际油价影响，某年六月底某地92号汽油的价格是8.19元/升，八月底的价格7.56元/升．已知该地92号汽油价格这两个月每月的平均下降率相同，设每月的平均下降率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．8.19（1+x）2＝7.56 B．8.19（1﹣x2）＝7.56
C．7.56（1+x）2＝8.19 D．8.19（1﹣x）2＝7.56
5．定义新运算a b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3 4＝3×42﹣3×4﹣1，则方程1 x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数股
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．1或﹣3
8．有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意，可列方程为（ ）
A．6×10﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．6×10﹣4x2＝32
9．一元二次方程x2﹣20x+100＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
10．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
11．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2+x1 x2的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣2 D．0
12．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
13．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
14．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
15．如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024m2，问道路应为多宽？若设道路宽为x m，则下列方程正确的是（ ）
A．40×60﹣40×2x﹣60x＝2024
B．40×60﹣（40﹣x）（60﹣2x）＝2024
C．（40﹣x）（60﹣2x）＝2024
D．40×60﹣40×2x﹣60x﹣2x2＝2024
二．填空题（共16小题）
16．已知关于x的一元二次方程x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
17．九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 ．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的两根分别是x1，x2，若，则m的值为 ．
19．关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣2，两根之积为1，则m+n的值为 ．
20．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为 ．
21．方程的解是 ．
22．某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到原来的64%，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为 ．
23．关于x的一元二次方程x2+kx+k+1＝0的两根分别为x1，x2，且x+x＝1，则k的值为 ．
24．方程x＝的根是 ．
25．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 ．
26．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，则α2+5α+2β＝ ．
27．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0；则有一个根为 ．若4a﹣2b+c＝0，则有一个根为 ．
28．设x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，则x1+x2＝1，则|x1﹣x2|＝ ．
29．代数式x2﹣4x+8的最小值为 ．
30．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ．
31．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 ．
三．解答题（共3小题）
32．已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0．
（1）若方程的一个实根是3．求实数m的值．
（2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根．
33．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
34．阅读下面的材料：
【材料一】若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
【材料二】“a≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：m2+8m+17＝m2+8m+16+1＝（m+4）2+1．
∵（m+4）2≥0，
∴（m+4）2+1≥1，
∴m2+8m+17≥1．
故m2+8m+17有一个最小值为1．
阅读材料，探究下列问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，求出它的最小值．一元二次方程 单元测试卷
一．选择题（共15小题）
1．方程x2﹣2x﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1
【思路点拔】用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
2．用配方法解方程x2+4x﹣7＝0，配方结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝23 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝11 D．（x+4）2＝9
【思路点拔】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x﹣7＝0，
x2+4x＝7，
x2+4x+4＝7+4，
（x+2）2＝11，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
3．2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
C． D．
【思路点拔】根据每两队之间都赛一场，设邀请x个球队参加比赛，则每一个球队都会比赛（x﹣1）场，剔除重复的一半，即可解题．
【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，
由题可知，，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系是解题的关键．
4．受国际油价影响，某年六月底某地92号汽油的价格是8.19元/升，八月底的价格7.56元/升．已知该地92号汽油价格这两个月每月的平均下降率相同，设每月的平均下降率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．8.19（1+x）2＝7.56 B．8.19（1﹣x2）＝7.56
C．7.56（1+x）2＝8.19 D．8.19（1﹣x）2＝7.56
【思路点拔】利用八月底该地92号汽油的价格＝六月底该地92号汽油的价格×（1﹣每月的平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：8.19（1﹣x）2＝7.56．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．定义新运算a b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3 4＝3×42﹣3×4﹣1，则方程1 x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数股
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【思路点拔】先根据新定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
【解答】解：根据题意，可得1 x＝x2﹣x﹣1，
∴方程1 x＝0可变形为x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题主要考查了新定义下的实数运算、一元二次方程的根的判别式等知识，理解并熟练新定义运算、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题的关键．
6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【思路点拔】如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据第二季度共生产零件182万个可得出方程．
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3或﹣1 D．1或﹣3
【思路点拔】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1 x2的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1 x2＝m2+2，
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴x1 x2+x1+x2+1＝8，即x1 x2+（x1+x2）﹣7＝0，
∴m2+2+2（m+1）﹣7＝0，
∴（m﹣1）（m+3）＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣3．
检验：当m＝1时，原方程可化为x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝16﹣4×1×3＝16﹣12＝4＞0，
∴方程有实数根，符合题意；
当m＝﹣3时，原方程可化为x2+4x+11＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×11＝16﹣44＝﹣28＜0，
∴方程无实数根，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．
8．有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意，可列方程为（ ）
A．6×10﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．6×10﹣4x2＝32
【思路点拔】设剪去的小正方形边长是x cm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去的小正方形边长是x cm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．
9．一元二次方程x2﹣20x+100＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
【思路点拔】利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×100＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据判别式的结果来判断根的情况．
10．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【思路点拔】求出Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，只要说明这个式子的值的符号，问题可求解．根据三角形的三边关系即可判断．
【解答】解：∵Δ＝（2c）2﹣4（a+b）2＝4[c2﹣（a+b）2]＝4（a+b+c）（c﹣a﹣b），
根据三角形三边关系，得a+b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴Δ＜0，
∴该方程没有实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．
11．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2+x1 x2的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【思路点拔】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到x1+x2和x1 x2的值，整体代入即可．
【解答】解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1 x2＝﹣1，
所以x1+x2+x1 x2＝﹣2+（﹣1）＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键．
12．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【思路点拔】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得x1＝m+2，x2＝m﹣2．
13．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【思路点拔】证明Δ＞0，可得结论．
【解答】解：∵Δ＝22﹣4（﹣m2+）
＝4m2+1＞0，
∴方程有不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
14．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【思路点拔】设每件售价应定为x元，根据按每件60元销售，每天可卖出20件．每降低1元，日销售量增加2件．日利润保持不变．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设每件售价应定为x元，
根据题意得：（x﹣40）[20+2（60﹣x）]＝（60﹣40）×20，
解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去），
即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024m2，问道路应为多宽？若设道路宽为x m，则下列方程正确的是（ ）
A．40×60﹣40×2x﹣60x＝2024
B．40×60﹣（40﹣x）（60﹣2x）＝2024
C．（40﹣x）（60﹣2x）＝2024
D．40×60﹣40×2x﹣60x﹣2x2＝2024
【思路点拔】设道路宽x m，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为2024m2，列方程即可．
【解答】解：由题意得，（40﹣x）（60﹣2x）＝2024．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
二．填空题（共16小题）
16．已知关于x的一元二次方程x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【思路点拔】先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m＝0，然后解方程和不等式得到m的值．
【解答】解：方程化为一般式为mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
根据题意得m≠0且Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m＝0，
解得m＝，
即m的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
17．九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 x（x﹣1）＝1560 ．
【思路点拔】如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程．
【解答】解：全班有x名学生，那么每名学生送照片（x﹣1）张，
∴全班应该送照片x（x﹣1），
则可列方程为：x（x﹣1）＝1560．
故答案为：x（x﹣1）＝1560．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是列出方程；弄清每名同学送出的照片是（x﹣1）本是解决本题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的两根分别是x1，x2，若，则m的值为 ﹣2 ．
【思路点拔】由一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系可知，，代入可计算出m．
【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的两根分别是x1，x2
那么a＝1，b＝﹣m，c＝﹣2
∴，
∴
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．
19．关于x的方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣2，两根之积为1，则m+n的值为 ．
【思路点拔】根据根与系数的关系x1+x2＝﹣，x1 x2＝得出﹣m＝﹣2，﹣2n＝1，求出m与n的值，然后计算即可得出答案．
【解答】解：∵方程x2+mx﹣2n＝0的两根之和为﹣2，两根之积为1，
∴﹣m＝﹣2，﹣2n＝1，
∴m＝2，n＝﹣，
∴m+n＝2﹣＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝是解题的关键．
20．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为 12 ．
【思路点拔】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
21．方程的解是 x＝﹣2 ．
【思路点拔】移项后方程两边平方得出方程3+x＝1，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解：﹣1＝0，
移项，得＝1，
方程两边平方得：3+x＝1，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是原方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
22．某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到原来的64%，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为 20% ．
【思路点拔】设初始价格为a，平均每个月降低的百分率为x，经过了两次变化，价格变为 a（1﹣x）（1﹣x），最终价格为初始价格的64%，从而可列方程求解．
【解答】解：设初始价格为a，平均每个月降低的百分率为x，
则根据题意可得，a（1﹣x）（1﹣x）＝a×64%，
即（1﹣x）2＝0.64，
解得 x1＝0.2，x2＝1.8，
∵x为下降率，故0＜x＜1，
∴x＝0.2，即20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
23．关于x的一元二次方程x2+kx+k+1＝0的两根分别为x1，x2，且x+x＝1，则k的值为 ﹣1 ．
【思路点拔】先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1 x2的值，由x+x＝1变形后得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝1，可把x1+x2，x1 x2的值代入，进而可求出k．
【解答】解：根据题意可得，x1+x2＝﹣k，x1x2＝k+1，
∵x+x＝1，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝1，即k2﹣2k﹣2＝1，
∴（k﹣3）（k+1）＝0，
∴k＝3或k＝﹣1．
∵当k＝3时，方程为x2+3x+4＝0无实数根，
∴k的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．
24．方程x＝的根是 x＝1 ．
【思路点拔】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．
【解答】解：x＝两边平方，得
x2＝4﹣3x，
解得，x＝1或x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4不是原方程的根，
故原无理方程的解是x＝1，
故答案为：x＝1
【点评】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要检验．
25．若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为 5 ．
【思路点拔】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出a+b＝5，a2＝5a+2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，
∴a+b＝5，a2﹣5a﹣2＝0，即：a2＝5a+2，
∴，
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，x1 x2＝．也考查了一元二次方程的解．
26．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，则α2+5α+2β＝ 11 ．
【思路点拔】由α、β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，可得α+β＝﹣3、α2+3α＝17，把α2+5α+2β变形为α2+3α+2（α+β），接下来将α+β＝﹣3，α2+3α＝17代入即可求出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣17＝0的两个根，
∴α2+3α﹣17＝0，α+β＝﹣3，
∴α2+3α＝17，
∴α2+5α+2β＝（α2+3α）+2（α+β）＝17﹣6＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
27．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0；则有一个根为 1 ．若4a﹣2b+c＝0，则有一个根为 ﹣2 ．
【思路点拔】根据a+b+c＝0可得b＝﹣（a+c），原方程可化为ax2﹣（a+c）x+c＝0，利用因式分解法解方程即可得答案，同理可得4a﹣2b+c＝0时方程的一个根．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣（a+c），
∴原方程可化为ax2﹣（a+c）x+c＝0，
∴（ax﹣c）（x﹣1）＝0，
∵a≠0，
∴，x2＝1，
∴满足a+b+c＝0时，有一个根为1．
∵4a﹣2b+c＝0，
∴，
原方程可化为，
∴，
∵a≠0，
∴，x2＝﹣2，
∴满足4a﹣2b+c＝0时，有一个根为﹣2．
故答案为：1，﹣2．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键．
28．设x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，则x1+x2＝1，则|x1﹣x2|＝ 5 ．
【思路点拔】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，将其代入∴|x1﹣x2|＝中即可求出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，
∴x1+x2＝m＝1，x1x2＝﹣6，
∴|x1﹣x2|＝＝＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
29．代数式x2﹣4x+8的最小值为 4 ．
【思路点拔】根据完全平方公式求解．
【解答】解：∵x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4≥4，
∴x2﹣4x+8的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
30．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 （25﹣x）×（100+5x）＝1500 ．
【思路点拔】利润＝售价﹣进价，由每降价1元，每天可多卖出5件，可知每件售价降低x元，每天可多卖出5x件，从而列出方程即可．
【解答】解：原来售价为每件50元，进价为每件25元，利润为每件25元，又每件售价降价x元后，利润为每件（25﹣x）元．
每降价1元，每星期可多卖出5件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出5x件，现在的销量为（100+5x）．
根据题意得：（25﹣x）×（100+5x）＝1500，
故答案为：（25﹣x）×（100+5x）＝1500．
【点评】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
31．如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 1m ．
【思路点拔】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224，
整理得：x2﹣24x+23＝0，
解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去），
即图中x的值为1m，
故答案为：1m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
32．已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0．
（1）若方程的一个实根是3．求实数m的值．
（2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根．
【思路点拔】（1）将x＝3代入列出关于m的方程，解关于m的方程求得m的值；
（2）若方程有相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac≥0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；
【解答】（1）解：当x＝3时，9﹣6（3﹣m）+5﹣2m＝0．
解得m＝1，
∴m的值为1．
（2）证明：∵Δ＝[﹣2（3﹣m）]2﹣4（5﹣2m）＝4（m﹣2）2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有实数根．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0方程没有实数根．
33．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 （100+10x） 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
【思路点拔】（1）由题意即可求出结论；
（2）根据公式“每件的销售利润×每天的销售数量＝销售利润”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可知，每天的销售量为（100+10x）本．
故答案为：（100+10x）．
（2）由题意可得，
（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，
整理得x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵要求每本售价不低于55元，
∴x＝4符合题意．
故每本画册应降价4元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34．阅读下面的材料：
【材料一】若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
【材料二】“a≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：m2+8m+17＝m2+8m+16+1＝（m+4）2+1．
∵（m+4）2≥0，
∴（m+4）2+1≥1，
∴m2+8m+17≥1．
故m2+8m+17有一个最小值为1．
阅读材料，探究下列问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，求出它的最小值．
【思路点拔】（1）仿照阅读材料中解题思路，把2y2拆成y2+y2，然后配成两个完全平方式即可解答；
（2）仿照阅读材料中解题思路，将m2+6m+13变形为（m+3）2+4即可求解．
【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，即：x2﹣2xy+y2+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
解得：y＝﹣3，x＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9；
（2）m2+6m+13＝m2+6m+9+4＝（m+3）2+4．
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2+4≥4，
∴m2+8m+17≥4．
故无论m取何值，m2+6m+17有一个最小值为4．
【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式进行配方是解题的关键．
