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《直角三角形的性质与判定》提升训练题
一．选择题（共14小题）
1．在直角三角形ABC中，一个锐角为20°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
2．如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．54° D．64°
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠2
B．∠1和∠B都是∠A的余角
C．∠1＝∠2
D．图中有3个直角三角形
4．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，下列条件能判定DE⊥AC的是（ ）
A．∠ABE＝∠CBE B．∠CBE＝∠BED C．∠ADE＝∠BEC D．∠ABE＝∠DEB
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，则∠CFB＝（ ）
A．α+90° B．α+45° C．105°﹣α D．180°﹣α
7．如图，CD是△ABC 的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（ ）
A．55° B．35° C．30° D．50°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
9．在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，下列结论中正确的有（ ）
①∠ACD＝∠B；
②∠A＝∠B；
③∠A＝∠DCB；
④∠ACD＝∠DCB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④
12．在下列条件中：①∠A﹣∠B＝90°；②∠A＝∠B﹣∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，不能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（ ）
①∠CFE＝∠CEF；②∠FCB＝∠FBC，③∠A＝∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
二．填空题（共26小题）
15．直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 度．
16．在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有 ．
17．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多10°，这个锐角的度数为 °．
18．如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝ 度．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD＝15°，则∠ABE的度数为 ．
20．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝ 度．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
22．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 °．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠CAD＝40°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝ ．
24．如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 ．
25．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 ．
26．如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，D是AB边上一动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，当ED平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的度数为 ．
27．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°，∠A＝30°）沿DE向下折叠，点A落在点A'处，使EA′∥BC，则∠1＝ 度．
28．如图，三角形ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°．点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，∠ADG＝ ．
29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为 ．
30．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B、C分别在直线n、m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝50°．则∠2的度数为 ．
31．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，则∠ADE＝ ．
32．如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是 ．
33．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
34．如图，直线a∥b，三角形ABC的顶点C在直线b上，且AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 ．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b．若BC在直线b上，则∠1的度数为 ．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，则∠EDB的度数为 ．
37．在直角三角形中，两个锐角的度数比为1：5，则较大的锐角度数为 ．
38．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠DAB＝40°，∠C＝20°．则∠CAD的度数 ．
39．一个直角三角形中，两个锐角度数的比是3：2，这两个锐角分别是 、 ．
40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB＝50°，则∠DBE＝ ．
三．解答题（共19小题）
41．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，过点D作DE∥BC交AC于点E，CF⊥CD交DE于F．
（1）如图1，求证：∠F＝∠B；
（2）如图2，当∠A＝30°时，请直接写出图中度数等于∠A的2倍的所有角．
42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BF交AC的延长线于点F．
（1）求∠CBF的度数；
（2）过点D作DE∥BF，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．
43．如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求：
（1）∠EBC的度数；
（2）∠A的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝ ，
∴∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ ），
∴∠EBC＝ +35°＝ （等量代换）．
（2）∵ ＝∠A+∠ACB，
∴∠A＝ ﹣∠ACB（等式的性质），
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝∠EBC﹣90°＝ （等量代换）．
44．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°，边BC在直线l上．以点C为旋转中心，将直线l顺时针旋转到直线l′，交AB于点E，以CE为直角边作直角△CEF，使∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，点F和点A始终在直线l′的同侧．设∠BCE＝α（0°＜α＜90°）．
（1）当CE⊥AB时，α＝ ．
（2）当α＝20°时，∠AEF＝ °．
（3）当∠AEF＝30°时，求α的大小．
（4）当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，直接写出α的取值范围．
45．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．
46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，∠CAE：∠EAB＝4：1．
（1）求证：∠AEC＝2∠B；
（2）求∠B的度数．
47．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ACD沿CD所在直线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为点A′．
①如图2，若∠B＝32°，求∠A′CB的度数；
②若∠B＝α°，则∠A'CB 的度数为 （用含α的代数式表示）．
48．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝90°，点P是BC边上一点（不与点C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得到△APD，连结DC．设∠BCD＝α，∠BAD＝β．
（1）当点P与点B重合时，β的大小为 度．
（2）当点D落在AB边上时，求α的度数．
（3）当点D不在AB边上时，直接写出α与β满足的数量关系．
49．【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．
例如：α＝50°，β＝20°，α﹣β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”．
（1）已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2＝90°，则∠1＝ ．
（2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点．
①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数；
②如图2所示，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，直接写出∠A的度数．
50．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系．
51．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，△ABC的外角∠BAG的平分线AF交CD的延长线于点F，AF的反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF的度数．
52．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）证明△AEF是等腰三角形．
53．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，且∠CAD＝∠CBD，求证：△ABD是直角三角形．
54．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ ；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
55．如图，Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∠D＝45°，∠B＝30°，求∠1的度数．
56．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，求∠A的度数．
57．如图1，CD是△ABC的高，∠A＝∠BCD．
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）如图2，若AE是角平分线，AE与CD相交于点F．请判断△CEF是否为等腰三角形，并说明理由．
58．计算：
（1）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，求∠A；
（2）在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝20°，求∠C．
59．如图，直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，CD是斜边上的高，点G是AC边上的一点，过点G的直线分别交AB和BC的延长线于点E和点F，连接BG，交CD于点H，若∠A＝∠F．
（1）试说明：CD∥EF；
（2）若∠CGH＝∠CHG，试说明BG平分∠ABC．中小学教育资源及组卷应用平台
《直角三角形的性质与判定》提升训练题
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．在直角三角形ABC中，一个锐角为20°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
【思路分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形一个锐角为20°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
2．如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．54° D．64°
【思路分析】根据平行线的性质求出∠CBF，进而求出∠ABF，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵GH∥BF，∠1＝36°，
∴∠CBF＝∠1＝36°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣36°＝54°，
∵DE∥BF，
∴∠2＝∠ABF＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠2
B．∠1和∠B都是∠A的余角
C．∠1＝∠2
D．图中有3个直角三角形
【思路分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠1＝∠1+∠2＝90°，
∴∠A＝∠2，
∵∠1+∠A＝∠A+∠B＝90°，
∴∠1和∠B都是∠A的余角，
直角有∠ACB、∠ADC、∠BDC共3个，
∠1与∠2只有△ABC是等腰直角三角形时相等，
综上所述，错误的结论是∠1＝∠2．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余和同角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，下列条件能判定DE⊥AC的是（ ）
A．∠ABE＝∠CBE B．∠CBE＝∠BED C．∠ADE＝∠BEC D．∠ABE＝∠DEB
【思路分析】根据平行线的判定定理和性质定理判断即可．
【解答】解：A、当∠ABE＝∠CBE时，不能判定DE⊥AC，不符合题意；
B、当∠CBE＝∠BED时，DE∥BC，
∴∠DEA＝∠ACB＝90°，
能判定DE⊥AC，符合题意；
C、当∠ADE＝∠BEC时，不能判定DE⊥AC，不符合题意；
D、当∠ABE＝∠DEB时，不能判定DE⊥AC，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路分析】根据直角三角形的定义，找出图中的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：因为∠BAC＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
因为AD是BC边上的高，
所以∠ADB＝∠ADC＝90°，
所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形，
所以图中的直角三角形共有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键．
6．如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，则∠CFB＝（ ）
A．α+90° B．α+45° C．105°﹣α D．180°﹣α
【思路分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCE，进而得到∠CFB，即可解题．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣∠B﹣∠DCE﹣∠ECB＝105°﹣α，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理得到∠DCE，进而得到∠CFB，即可解题．
7．如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是（ ）
A．55° B．35° C．30° D．50°
【思路分析】先根据直角三角形的性质求出∠B，再根据直角三角形的性质求出∠BCD．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°，
∵CD是△ABC 的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【思路分析】因为ED是AC的垂直平分线，所以AE＝CE，可得∠C＝∠CAE，因为∠BAE＝10°，∠ABC＝90°，即∠C+∠CAE+∠BAE＝90°，可得∠C的度数．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝10°，∠ABC＝90°，即∠C+∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠C＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质．
9．在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C
【思路分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，
设∠A＝x，
∴∠B＝x，∠C＝x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+x＝180°，
解得x＝（）°＞90°，
∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；
D、∵∠A＝∠B＝∠C，
设∠A＝∠B＝x，
∴∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+2x＝180°，
解得x＝45°，
∴∠C＝2x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和等于180°并灵活运用．
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，下列结论中正确的有（ ）
①∠ACD＝∠B；
②∠A＝∠B；
③∠A＝∠DCB；
④∠ACD＝∠DCB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路分析】利用直角三角形的性质和互余，可得结论．
【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
在Rt△DBC中，∵∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD．
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD．
∴由已知条件可推出①∠ACD＝∠B，③∠A＝∠DCB；
而不能推出②∠A＝∠B，④∠ACD＝∠DCB．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形的两个锐角互余”“同角的余角相等”是解决本题的关键．
11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（ ）
A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④
【思路分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
12．在下列条件中：①∠A﹣∠B＝90°；②∠A＝∠B﹣∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，不能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路分析】利用数值法判断①，利用直角三角形的性质判断②，利用三角形的内角和定理通过计算判断③④后得结论．
【解答】解：①当∠A＝100°，∠B＝10°，此时∠C＝70°，该三角形不是直角三角形，故满足∠A﹣∠B＝90°，不能确定△ABC是直角三角形；
②由∠A＝∠B﹣∠C，可得到∠A+∠C＝∠B，该三角形是直角三角形，故满足∠A＝∠B﹣∠C°，能确定△ABC是直角三角形；
③由∠A＝∠B＝2∠C，可得∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，该三角形不是直角三角形，故满足∠A＝∠B＝2∠C不能确定△ABC是直角三角形；
④由∠A＝∠B＝∠C，可得∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，该三角形是直角三角形，故满足∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握“直角三角形的两个锐角互余”、“三角形的内角和是180°”等知识点是解决本题的关键．
13．对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路分析】根据三角形内角和定理列式计算，根据直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故①能确定△ABC是直角三角形；
②设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得，x＝15°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°、60°、75°，
故②不能确定△ABC是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
故③能确定△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝0.5∠C，
∴0.5∠C+0.5∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故④能确定△ABC是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有三个．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，解题的关键是根据三角形的内角和定理等于180°列出等式确定角的度数．
14．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（ ）
①∠CFE＝∠CEF；②∠FCB＝∠FBC，③∠A＝∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【思路分析】①利用外角的性质可得∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，由角平分线的性质可得：∠5＝∠6，由同角的余角相等可得：∠A＝∠4，进而可得∠1＝∠2，即∠CFE＝∠CEF；
②采用分析法，若∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，由（1）可知：∠A＝∠4，进而∠A＝∠5＝∠6，然后由直角三角形两锐角互余可得∠A＝30°，即只有当∠A＝30°时，∠FCB＝∠FBC而已知没有这个条件；
③由同角的余角相等可得：∠A＝∠4，即∠A＝∠DCB；
④由∠1＝∠2，∠1与∠5互余，可得∠2与∠5互余，即：∠CFE与∠CBF互余．
【解答】解：如图所示，
①∵BE平分∠ABC，
∴∠5＝∠6，
∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
∵∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，
∠1＝∠2，
故∠CFE＝∠CEF，所以①正确；
②若∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，
由（1）可知：∠A＝∠4，
∴∠A＝∠5＝∠6，
∵∠A+∠5+∠6＝90°，
∴∠A＝30°，
即只有当∠A＝30°时，∠FCB＝∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；
③∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
即∠A＝∠DCB，故③正确；
④∵∠1＝∠2，∠1+∠5＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象．
二．填空题（共26小题）
15．直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 30 度．
【思路分析】根据直角三角形两个锐角互余得出∠A+∠C＝2∠C+∠C＝90°，即可解答．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝2∠C，
∴∠A+∠C＝2∠C+∠C＝90°，
解得：∠C＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，直角三角形两个锐角互余．
16．在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠C；⑤∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有 ②④⑤ ．
【思路分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：①∠A+∠B+∠C＝180°时，不能判定△ABC为直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
③设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，解得：x＝36°，
∴∠C＝36°，则∠A＝∠B＝72°，△ABC不是直角三角形；
④设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
⑤∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形；
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
17．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多10°，这个锐角的度数为 70 °．
【思路分析】设另一个锐角为x°，表示出一个锐角，然后根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．
【解答】解：设较小锐角的度数是x，则较大锐角的度数是（3x+10），
∴x+3x+10＝90，
解得x＝20．
∴3x+10＝70，
∴较大锐角为70°，
故答案为：70．
【点评】此题考查直角三角形的性质，解题关键在于根据题意列出方程．
18．如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝ 20 度．
【思路分析】先利用平行线的性质求出∠EDC，再利用平角的定义求出∠BDC，最后根据三角形内角和定理求出∠DCB即可．
【解答】解：∵EF∥CD，∠AEF＝50°，
∴∠EDC＝∠AEF＝50°，
∵∠BDC+∠EDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B＝30°，
∴∠DCB＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣130°＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD＝15°，则∠ABE的度数为 60° ．
【思路分析】依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠ABE的度数．
【解答】解：∵∠ABD＝15°，∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣15°＝75°，
由折叠可得∠DBE＝∠DBC＝75°，
∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝75°﹣15°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝ 20 度．
【思路分析】根据直角三角形的性质可得∠ACB＝55°，再利用线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，根据等边对等角可得∠A＝∠ACD＝35°，进而可得∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠A＝35°，∠B＝90°，
∴∠ACB＝55°，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝35°，
∴∠BCD＝20°，
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70° ．
【思路分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据折叠的性质得出∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED．
22．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 270 °．
【思路分析】由三角形的内角和定理求解∠A+∠B＝90°，再结合四边形的内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：270．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理与四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和与四边形的内角和是解本题的关键．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠CAD＝40°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝ 20° ．
【思路分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，然后根据∠EAB＝∠CAD﹣∠CAE代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CEA＝70°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
又∵∠CAD＝40°，
∴∠EAB＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣20°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，准确识图是解题的关键．
24．如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 50° ．
【思路分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1＝70°，
∴∠CDE＝∠C∠DE＝110°，
∴∠C′DA′＝40°，
∵∠C′＝∠C＝90°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 ①③④⑤ ．
【思路分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC＝135°，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故结论①正确；
∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，即∠BCG＝90°，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
又∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠GDC，故结论③正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°，
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°，
∴∠DFB＝∠A，故结论④正确；
∵∠BFC＝135°，
∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故结论⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故结论②错误．
故答案为：①③④⑤．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
26．如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，D是AB边上一动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，当ED平行于Rt△ABC的直角边时，∠ADC的度数为 60°或105° ．
【思路分析】当DE∥AC时，由折叠的性质得：∠CDE＝∠CDA，由平行线的性质推出∠CDE＝∠ACD，得到∠CDA＝∠ACD，求出∠A＝60°，即可得到∠ADC＝60°；当DE∥BC时，由折叠的性质得：∠E＝∠A，∠ACD＝∠ECD，求出∠A＝60°，得到∠E＝60°，由平行线的性质推出∠BCE＝∠E＝60°，求出∠ACE＝30°，得到∠ACD＝∠ACE＝15°，即可求出∠ADC＝105°．于是得到∠ADC的度数为60°或105°．
【解答】解：当DE∥AC时，如图，
由折叠的性质得：∠CDE＝∠CDA，
∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠ACD，
∴∠CDA＝∠ACD，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠ADC＝×（180°﹣60°）＝60°；
当DE∥BC时，如图，
由折叠的性质得：∠E＝∠A，∠ACD＝∠ECD，
∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠E＝60°
∵DE∥BC，
∴∠BCE＝∠E＝60°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACD＝∠ACE＝15°，
∴∠ADC＝180°﹣60°﹣15°＝105°．
∴∠ADC的度数为60°或105°．
故答案为：60°或105°．
【点评】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，关键是要分两种情况讨论．
27．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠C＝90°，∠A＝30°）沿DE向下折叠，点A落在点A'处，使EA′∥BC，则∠1＝ 75 度．
【思路分析】根据直角三角形的性质可得∠B的度数，根据平行线的性质可得∠AEA′的度数，根据折叠的性质，可知∠AED＝∠A′ED＝45°，再根据∠1＝∠A+∠AED求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵EA′∥BC，
∴∠AEA′＝∠C＝90°，
根据折叠的性质，可知∠AED＝∠A′ED＝45°，
∴∠1＝∠A+∠AED＝30°+45°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
28．如图，三角形ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°．点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，∠ADG＝ 52°或26°或38°或64°或116°或142° ．
【思路分析】分DE∥AB，DG∥AB，DG∥BC，EG∥AB，EG∥AC，DG∥AB六种情形，分别画出图形，利用平行线的性质可得答案．
【解答】解：如图，当DE∥AB时，DE⊥CG，
∵∠DGC＝∠C＝26°，
∴∠ADG＝∠DGC+∠C＝52°；
如图，当DG∥AB时，则∠ADG＝180°﹣∠A＝180°﹣64°＝116°；
如图，当DG∥BC时，∠ADG＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AC时，∠ADG＝∠G＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AB时，
则∠A＝∠CFE＝64°，∠B＝∠CEG＝90°，
由折叠可知，∠DEG＝∠DEC＝45°，
∴∠EDF＝∠C+∠DEC＝26°+45°＝71°，
∴∠ADG＝∠EDG﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF＝109°﹣71°＝38°；
如图，当DG∥AB时，
则∠ADG＝∠A＝64°，
如图，
∵AB∥EG，
∴∠GEB＝∠B＝90°，
∴∠CEG＝90°，
由折叠性质得：∠DEC＝∠DEG＝＝135°，
∵∠C＝26°，
∴∠GDE＝∠CDE＝180°﹣135°﹣26°＝19°，
∴∠ADG＝180°﹣19°﹣19°＝142°；
综上，其他所有情况下∠ADG的度数为52°或26°或38°或64°或116°或142°．
故答案为：52°或26°或38°或64°或116°或142°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，翻折的性质等知识，运用分类思想分别画出符合题意的图形是解题的关键．
29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为 60° ．
【思路分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠A＝∠PA′D，再由A′P∥AC可知∠A′DC＝∠PA′D，∠A′PD＝∠PDA，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
∵△A′PD由△APD翻折而成，
∴∠A＝∠PA′D＝60°，∠PDA＝∠PDA′．
∵A′P∥AC，
∴∠A′DC＝∠PA′D＝60°，
∴2∠PDA′+∠A′DC＝180°，即2∠PDA′+60°＝180°，解得∠PDA′＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质及翻折变换，熟知翻折变换后的图形与原图形全等是解题的关键．
30．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B、C分别在直线n、m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝50°．则∠2的度数为 140° ．
【思路分析】先根据平行线的性质得到∠ECB＝∠1＝50°，再利用互余得到∠ACE＝40°，然后根据邻补角的定义求∠2的度数．
【解答】解：∵m∥n
∴∠ECB＝∠1＝50°，
又∵∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝40°，
又∵∠ACE+∠2＝180°
∴∠2＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：在直角三角形中，两个锐角互余．也考查了平行线的性质．
31．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，则∠ADE＝ 70° ．
【思路分析】根据题意求出∠ABF，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝90°﹣20°＝70°，
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
32．如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是 70° ．
【思路分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据三角形的外角性质求出∠AED，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝55°，
则∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣55°＝35°，
∵∠2＝35°，
∴∠BDE＝35°，
∵∠AED是△BED的外角，
∴∠AED＝∠B+∠BDE＝70°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠AED＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
33．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 50° ．
【思路分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝40°，然后根据平角的性质可得∠3+∠2+90°＝180°即可求得∠2．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠3+∠2+90°＝180°，
∴∠2＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
34．如图，直线a∥b，三角形ABC的顶点C在直线b上，且AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 40° ．
【思路分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝50°，再利用角的和差即可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠ACD＝∠1＝50°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b．若BC在直线b上，则∠1的度数为 50° ．
【思路分析】由直角三角形的两锐角互余可求得∠ABC＝50°，再利用平行线的性质即可求∠1的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝50°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠ABC＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，则∠EDB的度数为 6° ．
【思路分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，在△BDE中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°，
∵△CDE是△CDA翻折得到，
∴∠CED＝∠A＝48°，
在△BDE中，∠CED＝∠B+∠EDB，
即48°＝42°+∠EDB，
∴∠EDB＝6°．
故答案为：6°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．
37．在直角三角形中，两个锐角的度数比为1：5，则较大的锐角度数为 75° ．
【思路分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，
则x+5x＝90°，
解得：x＝15°，
则较大的一个锐角为15°×5＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
38．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠DAB＝40°，∠C＝20°．则∠CAD的度数 30° ．
【思路分析】由直角三角形的性质求出∠ADB＝50°，由三角形外角的性质即可得到∠CAD＝30°．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠DAB＝40°，
∴∠ADB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠C＝20°．
∴∠CAD＝30°．
故答案为：30°
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形的外角的性质，关键是由直角三角形的性质求出∠ADB＝50°，由三角形外角的性质即可求出∠CAD的度数．
39．一个直角三角形中，两个锐角度数的比是3：2，这两个锐角分别是 54° 、 36° ．
【思路分析】设两个锐角为2x°，3x°，根据直角三角形两个锐角互为余角列方程，可求出两角．
【解答】解：设两角为2x°，3x°，根据题意得：
2x+3x＝90，
x＝18，
2x＝36，3x＝54．
所以两锐角为54°，36°．
故答案为：54°，36°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互为余角，一元一次方程的应用，关键是找到两角的互余关系．
40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB＝50°，则∠DBE＝ 25° ．
【思路分析】证明∠CAD＝∠DBE即可解决问题．
【解答】解：∵∠C＝∠E＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠DAC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝25°，
故答案为25°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三．解答题（共19小题）
41．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，过点D作DE∥BC交AC于点E，CF⊥CD交DE于F．
（1）如图1，求证：∠F＝∠B；
（2）如图2，当∠A＝30°时，请直接写出图中度数等于∠A的2倍的所有角．
【思路分析】（1）先由平行线的性质得到∠ADE＝∠B，再证明CF∥AB得到∠F＝∠ADE，即可证明∠F＝∠B；
（2）根据三角形内角和定理和（1）的结论即可得到∠F＝∠ADE＝∠B＝∠ACD＝2∠A．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵CD⊥AB，CF⊥CD，
∴∠CDB＝∠FCD＝90°
∴CF∥AB，
∴∠F＝∠ADE，
∴∠F＝∠B；
（2）解：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠B＝∠ACD＝90°﹣30°＝60°，
由（1）可得∠F＝∠ADE＝∠B＝60°，
∴∠F＝∠ADE＝∠B＝60°，
∴∠F＝∠ADE＝∠B＝∠ACD＝2∠A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BF交AC的延长线于点F．
（1）求∠CBF的度数；
（2）过点D作DE∥BF，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．
【思路分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据三角形的外角的概念求出∠CBD，根据角平分线的定义求出∠CBF；
（2）根据直角三角形的性质求出∠CBF，再根据平行线的性质求出∠E．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
则∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝180°﹣50°＝130°，
∵BF是∠CBD的平分线，
∴∠CBF＝∠CBD＝65°；
（2）在Rt△ABC中，∠CBF＝65°，
则∠CFB＝90°﹣65°＝25°，
∵DE∥BF，
∴∠E＝∠CFB＝25°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
43．如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求：
（1）∠EBC的度数；
（2）∠A的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝ 90° ，
∴∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ 三角形的外角的性质 ），
∴∠EBC＝ 90° +35°＝ 125° （等量代换）．
（2）∵ ∠EBC ＝∠A+∠ACB，
∴∠A＝ ∠EBC ﹣∠ACB（等式的性质），
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝∠EBC﹣90°＝ 35° （等量代换）．
【思路分析】（1）依据题意，读懂题目中的因果关系然后进行判断可以得解；
（2）依据题意，类似（1）进行分析，利用三角形的外角的性质即可得解．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝90°．
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的外角的性质），
∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代换）．
故答案为：90°，三角形的外角的性质，90°，125°；
（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB
∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质），
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝125°﹣90°＝35°（等量代换）．
故答案为：∠EBC；∠EBC；35°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并理解．
44．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°，边BC在直线l上．以点C为旋转中心，将直线l顺时针旋转到直线l′，交AB于点E，以CE为直角边作直角△CEF，使∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，点F和点A始终在直线l′的同侧．设∠BCE＝α（0°＜α＜90°）．
（1）当CE⊥AB时，α＝ 45° ．
（2）当α＝20°时，∠AEF＝ 25° °．
（3）当∠AEF＝30°时，求α的大小．
（4）当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，直接写出α的取值范围．
【思路分析】（1）当CE⊥AB时，则∠CEB＝90°，根据∠B＝45°可得α的度数；
（2）当α＝20°时，则∠AEC＝∠B+∠BCE＝65°，根据∠CEF＝90°可得∠AEF的度数；
（3）当∠AEF＝30°时，则∠AEC＝60°，根据∠AEC＝∠B+∠BCE可得α的度数；
（4）过点C作CH⊥AB，则∠BCH＝45°，根据∠CEF＝90°可分为三种情况进行讨论：①当点E在线段BH上时，点E在△ABC的外部，因此当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，CF与CH重合，则α＝15°，②当点E与点H重合时，点F与落在AB上，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF，则α＝45°，③当点E在线段HA上时，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF或△CEF的一部分，则45°＜α＜90°．综上所述即可得出α的取值范围．
【解答】解：（1）当CE⊥AB时，则∠CEB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴α＝∠BCE＝∠CEB﹣∠B＝45°，
故答案为：45°；
（2）当α＝20°时，
∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝45°+25°＝65°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠AEF＝∠CEF﹣∠AEC＝25°，
故答案为：25°；
（3）当∠AEF＝30°时，
∴∠AEC＝∠CEF﹣∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AEC＝∠B+∠BCE，
∴60°＝45°+α，
∴α＝15°；
（4）过点C作CH⊥AB，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BCH＝45°，
又∵∠CEF＝90°
∴有以下三种情况讨论如下：
①当点E在线段BH上时，点E在△ABC的外部，
因此当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，CF与CH重合，如图1所示：
∵∠ECF＝30°，
∴α＝∠BCE＝∠BCH﹣∠ECF＝45°﹣30°＝15°，
②当点E与点H重合时，点F与落在AB上，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF，如图2所示：
此时α＝∠BCH＝45°，
③当点E在线段HA上时，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF或△CEF的一部分，如图3所示：
∴45°＜α＜90°，
综上所述：当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，α的取值范围是：α＝15°或45°≤α＜90°．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，角的计算，熟练掌握直角三角形的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．
45．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．
【思路分析】根据平角的定义，求得∠DFC＝28°，由于，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，根据直角三角形的性质求得∠EDB＝∠DFC＝28°，即可求得∠EDF．
【解答】解：∵∠AFD＝152°，
∴∠DFC＝28°，
∴∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠DFC＝28°，
∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余是本题的关键．
46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，∠CAE：∠EAB＝4：1．
（1）求证：∠AEC＝2∠B；
（2）求∠B的度数．
【思路分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，得到∠EAB＝∠B，根据三角形的外角性质计算，证明结论；
（2）根据题意得到∠CAE＝4∠B，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠B＝90°，得到4∠B+∠B+∠B＝90°，进而求出∠B．
【解答】（1）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B；
（2）解：∵∠CAE：∠EAB＝4：1，
∴∠CAE＝4∠EAB＝4∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴4∠B+∠B+∠B＝90°，
解得：∠B＝15°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
47．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ACD沿CD所在直线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为点A′．
①如图2，若∠B＝32°，求∠A′CB的度数；
②若∠B＝α°，则∠A'CB 的度数为 90°﹣2α°或2α°﹣90° （用含α的代数式表示）．
【思路分析】（1）由∠ACB＝90°，得到∠A+∠B＝90°，又∠ACD＝∠B，因此∠A+∠ACD＝90°即可求出∠ADC＝90°，从而证明CD⊥AB；
（2）①由直角三角形的性质求出∠BCD＝58°，而∠DCA′＝∠DCA＝32°，即可求出∠BCA′＝26°；
②分两种情况，由直角三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠A+∠ACD）＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：①∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣32°＝58°，
由题意得：∠DCA′＝∠DCA＝32°，
∴∠BCA′＝∠BCD﹣∠DCA′＝58°﹣32°＝26°；
②∵∠ACD＝∠B＝α°，
∴∠BCD＝90°﹣∠DCA′＝90°﹣α°，
当0＜α≤45时，A′在线段BD上，
∠BCA′＝∠BCD﹣∠DCA′＝90°﹣α°﹣α°＝90°﹣2α°；
当45＜α＜90时，A′在DB的延长线上，
∠BCA′＝∠DCA′﹣∠BCD＝α°﹣（90°﹣α°）＝2α°﹣90°，
∴当0＜α≤45时，∠BCA′＝90°﹣2α°，
当45＜α＜90时，∠BCA′＝2α°﹣90°．
故答案为：90°﹣2α°或2α°﹣90°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是要分情况讨论．
48．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝90°，点P是BC边上一点（不与点C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得到△APD，连结DC．设∠BCD＝α，∠BAD＝β．
（1）当点P与点B重合时，β的大小为 40 度．
（2）当点D落在AB边上时，求α的度数．
（3）当点D不在AB边上时，直接写出α与β满足的数量关系．
【思路分析】（1）当点P与点B重合时，由翻折的性质得∠BAD＝∠BAC＝40°，由此可得β的大小；
（2）当点D落在AB边上时，由翻折的性质得AC＝AD，进而得∠ADC＝∠ACD＝70°，由此得∠BCD＝20°，据此可得α的度数；
（3）作∠BAC的平分线AE，点E在BC上，根据翻折的性质得当点P与点E重合时，点D落在AB上，因此当点D不在AB边上时，有以下两种种情况：①当点P在线段CE上时，则∠DAC＝40°﹣β，AD＝AC，进而得∠ADC＝∠ACD＝70°+β，再根据∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°即可得出α与β满足的数量关系；②当点P在线段EB上时，则∠DAC＝40°+β，AD＝AC，进而得∠ADC＝∠ACD＝70°﹣β，再根据∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°即可得出α与β满足的数量关系，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）当点P与点B重合时，如图1所示：
在△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°，
由翻折的性质得：∠BAD＝∠BAC＝40°，
∴β的大小为40度，
故答案为：40．
（2）当点D落在AB边上时，如图2所示：
由翻折的性质得：AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠BAC）＝70°，
∴∠BCD＝∠BAC﹣∠ACD＝90°﹣20°＝20°，
∴α＝20°；
（3）作∠BAC的平分线AE，点E在BC上，根据翻折的性质得：当点P与点E重合时，点D落在AB上，
因此当点D不在AB边上时，有以下两种种情况：
①当点P在线段CE上时，如图3所示：
∵∠BAD＝β，∠BAC＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝40°﹣β，
由翻折的性质得：AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠DAC）＝（180°﹣40°+β）＝70°+β，
∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α，
又∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴70°+β+α＝90°，
整理得：2α+β＝40°；
②当点P在线段EB上时，如图4所示：
∵∠BAD＝β，∠BAC＝40°，
∴∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝40°+β，
由翻折的性质得：AD＝AC，
∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠DAC）＝（180°﹣40°﹣β）＝70°﹣β，
∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α，
又∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴70°﹣β+α＝90°，
整理得：2α﹣β＝40°，
综上所述：当点D不在AB边上时，α与β满足的数量关系是：2α+β＝40°或2α﹣β＝40°．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，理解图形的翻折及其性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
49．【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．
例如：α＝50°，β＝20°，α﹣β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”．
（1）已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2＝90°，则∠1＝ 60°或30° ．
（2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点．
①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数；
②如图2所示，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时，直接写出∠A的度数．
【思路分析】（1）考虑两种情况，即∠1＞∠2，∠1＜∠2，根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答；
（2）①设∠A的度数为x，则∠ABC＝90°﹣x，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到∠ABE＝∠BEC，利用伙伴角的概念，列方程即可解答；
②考虑两种情况，即∠A＜∠BFC和∠A＞∠BFC，两种情况，设∠A的度数为y，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用y表示∠BFC，列方程，即可解答．
【解答】解：（1）当∠1＞∠2时，∠2＝∠1﹣30°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠1﹣30°＝90°，
∴∠1＝60°；
当∠1＜∠2时，∠2＝∠1+30°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠1+30°＝90°，
∴∠1＝30°，
故答案为：60°或30°；
（2）①设∠A的度数为x，
∵∠ACB＝90°，则∠ABC＝90°﹣x，
∵∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点，
∴，
∵AB∥CM，
∴，
∵∠A＞∠BEC，
∴∠A﹣∠bec＝30°，
可得，
解得x＝50，
∴∠A＝50°；
②设∠A的度数为y，
∵AB∥CM，
∴∠ACE＝y，
∵CF平分∠ACE，
∴，
根据①可得，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠ACF﹣90°＝45°，
当∠A＞∠BFC时，可得∠A＝75°；
当∠A＜∠BFC时，可得∠A＝15°；
综上所述，∠A的度数为75°或15°．
【点评】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键．
50．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系．
【思路分析】（1）根据平行线的性质可知∠1＝∠EGD，依据∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，可求出∠1的度数；
（2）过点F作FP∥AB，得到FP∥AB∥CD，通过平行线的性质把∠AEF和∠FGC转化到∠EFG上即可；
（3）依据AB∥CD，可知∠AEF+∠CFE＝180°，再代入∠AEF＝∠AEG﹣30°，∠CFE＝∠CFG﹣90°，即可求出∠AEG+∠CFG＝300°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1+60°+∠1＝180°，
解得∠1＝40°；
（2）∠AEF+∠FGC＝90°，理由如下：
如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP，
∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）∠AEG+∠CFG＝300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴∠AEG﹣∠FEG+∠CFG﹣∠EFG＝180°，
∵∠FEG＝30°，∠EFG＝90°，
∴∠AEG﹣30°+∠CFG﹣90°＝180°，
∴∠AEG+∠CFG＝300°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
51．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，△ABC的外角∠BAG的平分线AF交CD的延长线于点F，AF的反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF的度数．
【思路分析】由三角形外角的性质求出∠BAG＝90°+40°＝130°，由角平分线定义得到∠BAF＝∠BAG＝65°，由三角形外角的性质即可求出∠CEF＝∠BAF﹣∠B＝25°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAG＝90°+40°＝130°，
∵AF平分∠BAG，
∴∠BAF＝∠BAG＝65°，
∴∠CEF＝∠BAF﹣∠B＝65°﹣40°＝25°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠BAG＝130°，由角平分线定义求出∠BAF＝∠BAG＝65°，由三角形外角的性质即可求出∠CEF的度数．
52．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）证明△AEF是等腰三角形．
【思路分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴△AEF是等腰三角形
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
53．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，且∠CAD＝∠CBD，求证：△ABD是直角三角形．
【思路分析】证明∠ABD＝∠CAD，得到∠BAD+∠ABD＝90°，即可证明△ABD是直角三角形．
【解答】证明：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
【点评】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
54．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ 140° ；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
【思路分析】（1）根据四边形内角和360°，求出∠CEP+∠CDP＝360°﹣90°﹣50°＝220°，再根据邻补角性质可得∠1+∠2＝360°﹣（∠CEP+∠CDP）值；
（2）先利用四边形内角和360°，得到∠C+∠α＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP，再利用邻补角性质得到∠1+∠2＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP，从而整理出∠1+∠2＝90°+∠α．
【解答】解：（1）∵在四边形CEPD中，根据四边形内角和360°，可得
∠CEP+∠CDP＝360°﹣90°﹣50°＝220°．
又∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠CEP+∠CDP）＝360°﹣220°＝140°．
故答案为140°；
（2）在四边形CEPD中，∠C+∠CEP+∠α+∠CDP＝360°，
∴∠C+∠α＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP．
又∵∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP．
∴∠C+∠α＝∠1+∠2，
即∠1+∠2＝90°+∠α．
【点评】本题主要考查了四边形内角和360°，以及邻补角互补性质，同时考查了整体思想．
55．如图，Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∠D＝45°，∠B＝30°，求∠1的度数．
【思路分析】由平行线的性质推出DCB＝∠B＝30°，由三角形外角的性质得到∠1＝∠D+∠DCB＝75°．
【解答】解：∵Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，
∴BE⊥AC，CD⊥AC，
∴EB∥CD，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∵∠D＝45°，
∴∠1＝∠D+∠DCB＝45°+30°＝75°．
【点评】本题考查 平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠DCB＝∠B．
56．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，求∠A的度数．
【思路分析】根据平行线的性质求出∠B，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠BCE＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
57．如图1，CD是△ABC的高，∠A＝∠BCD．
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）如图2，若AE是角平分线，AE与CD相交于点F．请判断△CEF是否为等腰三角形，并说明理由．
【思路分析】（1）根据题意可以求得∠DCB+∠ACD的度数，从而可以解答本题；
（2）根据题意和（1）中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立．
【解答】（1）证明：∵CD是△ABC的高，
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∵∠A＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：△CEF是等腰三角形．
理由：∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠DAF．
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，
∴在Rt△ADF中，∠DFA＝90°﹣∠DAF，在Rt△ACE中，∠CEA＝90°﹣∠CAE，
∴∠CEF＝∠DFA．
∵∠DFA＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形．
【点评】本题考查三角形内角和，等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
58．计算：
（1）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，求∠A；
（2）在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝20°，求∠C．
【思路分析】（1）利用三角形内角和定理构建方程求解；
（2）利用三角形内角和定理构建方程组求解．
【解答】解：（1）∵∠B＝2∠A，∠C＝∠A+40°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+∠A+40°＝180°，
∴∠A＝35°；
（2）∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝20°，
∴∠C＝35°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
59．如图，直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，CD是斜边上的高，点G是AC边上的一点，过点G的直线分别交AB和BC的延长线于点E和点F，连接BG，交CD于点H，若∠A＝∠F．
（1）试说明：CD∥EF；
（2）若∠CGH＝∠CHG，试说明BG平分∠ABC．
【思路分析】（1）根据∠A＝∠F，∠AGE＝∠FGC，∠AEG＝∠GCF＝90°，根据∠AEG＝∠CDA，即可得证；
（2）根据平行线的性质可得∠CHG＝∠EGB，进一步可得∠CGH＝∠EGB，再证明△BEG≌△BCG（AAS），根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：（1）∵∠BCA＝90°，
∴∠GCF＝90°，
∵∠A＝∠F，∠AGE＝∠FGC，
∴∠AEG＝∠GCF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠AEG＝∠CDA，
∴CD∥EF；
（2）∵CD∥EF，
∴∠CHG＝∠EGB，
∵∠CGH＝∠CHG，
∴∠CGH＝∠EGB，
∵∠AEG＝90°，
∴∠BEG＝90°，
∴∠BEG＝∠BCG，
在△BEG和△BCG中，
，
∴△BEG≌△BCG（AAS），
∴∠EBG＝∠CBG，
∴BG平分∠ABC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
