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《直角三角形全等的判定》提升训练题
一．选择题（共17小题）
1．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
3．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
4．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
5．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC，还应添加一个条件是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．AB＝AD D．AB＝AC
6．如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC
7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是（ ）
A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．∠ABD＝∠DCA
8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
9．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
10．如图，在Rt△ABC、Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，添加两个条件不能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE B．∠A＝∠D，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠C＝∠F
11．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．在这个过程中先可以得到△CMO≌△CNO，其依据的基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
12．下列四种说法中，正确的有（ ）
①有两条边相等的两个等腰三角形全等；②有一条边相等的两个等边三角形全等；③有两条边和一个角相等的两个三角形全等；④有两条边相等的两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASS
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AB＝AC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的一条角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．下面说法错误的个数有（ ）
（1）全等三角形对应边上的中线相等．
（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形全等．
（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．
（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③
二．填空题（共8小题）
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
19．如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 ．
20．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
21．如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，AF＝CE．若添加一个条件可使用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则添加的条件为 ．
22．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使得Rt△ABC和Rt△DEF全等．
23．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，且CD＝EF．若要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还应添加的条件是 ．
24．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件 ，使Rt△ABC≌Rt△DFE．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，连接AO，则图中有 对全等的直角三角形．
三．解答题（共35小题）
26．如图．∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ADC．
27．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
28．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．
29．如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
30．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
31．如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：Rt△CDF≌Rt△BDE．
32．如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．
33．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
34．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求证：EB＝FC．
35．已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
36．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在∠BAC的角平分线上．
37．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
38．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
39．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝10，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
40．如图，C是∠AOB内部的一点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，连接DE，∠CDE＝∠CED，求证：OC平分∠AOB．
41．如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E．
（1）如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM．
（3）如图3，若△ABC周长为20，求BE的长．
42．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
43．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，且AF＝DE，BE＝CF．
（1）求证：AB＝DC；
（2）若∠A＝55°，求∠DEF的度数．
44．如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．
45．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若CD＝1，求AF的长．
46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边AC上，点E在BC的延长线上，BD＝DE，EF⊥AC，交AC延长线于点F，AD＝EF．
（1）求证：∠ABD＝∠FDE；
（2）求证：AB＝CD+EF．
47．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F是对角线BD上两点，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：OA＝OC．
48．生活中的数学
（1）用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体棱长为2.5cm，③号正方体棱长4cm，则AD＝ cm．
（2）用10块高度都是2cm的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中AB⊥BE于点B，EF⊥BE于点E，BE＝20cm，PE＝6cm，试判断AP、PF的数量关系，并说明理由．
49．如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．
（1）求证：∠1＝∠3；
（2）若AM＝4cm，求AN的长度．
50．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝24°，求∠BDC的度数．
51．【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝8cm，OA＝17cm．
（1）求证：∠COE＝∠B；
（2）求AE的长．
52．张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.1m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△OCE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等）
53．如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AC的长．
54．如图，如图，AD＝AE，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AC＝12，CD＝8，BC＝10，求BC边上的高的长度．
55．如图，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，线段AC与线段DF在一条直线上，且AF＝CD，连接EC，BF，BE，BE与AD相交于点G．
（1）△ABF与△DEC全等吗？为什么？
（2）试说明点G是线段BE的中点．
56．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点F、G分别为AC、AB上的一点，接GF并延长交BD延长线于点E，若EF＝AB，DF＝DB，∠C+∠2＝180°，求证：CB⊥AB．
证明：∵BD⊥AC
∴∠EDF＝∠ADB＝90°
在Rt△EDF和Rt△ADB中，
∴Rt△EDF≌Rt△ADB（② ）
∴∠E＝∠A
在△ABD中
∵∠A+∠1+∠ADB＝180°（③ ）
∴∠A+∠1＝90°
∴④ +∠1＝90°
∴∠AGE＝∠E+∠1＝90°
∵∠C+∠2＝180°
∴⑤ （⑥ ）
∴∠ABC＝∠AGE＝90°
∴CB⊥AB．
57．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
58．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．
59．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
60．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．
（1）求证：BF＝CE．
（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．中小学教育资源及组卷应用平台
《直角三角形全等的判定》提升训练题
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD
【思路点拔】根据已知公共边为AB，根据HL只要找到对应的直角边AD＝BC或AC＝BD，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理；掌握斜边直角边判定定理是关键．
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【思路点拔】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
3．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
【思路点拔】根据HL证明Rt△ABD和Rt△CDB全等即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．以及三角形全等的性质．
4．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
【思路点拔】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵BA∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意；
D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，能熟记直角三角形的判定定理（三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL）是解此题的关键．
5．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC，还应添加一个条件是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．AB＝AD D．AB＝AC
【思路点拔】根据“HL”并结合图形，即可解答．
【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（ ）
A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC
【思路点拔】由于斜边AB为公共边，则添加一组直角边对应相等即可．
【解答】解：∵AB＝AB，
∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是（ ）
A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．∠ABD＝∠DCA
【思路点拔】由直角三角形全等的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、B、由HL判定Rt△ABC≌Rt△DCB，故A、B不符合题意；
C、由AAS判定Rt△ABC≌Rt△DCB，故C不符合题意；
D、∠ABD和∠DCA不是Rt△ABC和Rt△DCB的角，∠ABD＝∠DCA不能判定Rt△ABC≌Rt△DCB，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
【思路点拔】根据∠C＝90°，AD＝AC，且AE＝AE，求证△CAE≌△DAE（HL），∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，
∴△CAE≌△DAE（HL），
∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题．
9．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
【思路点拔】根据全等三角形的判定条件逐项判定可求解．
【解答】解：A．两条直角边对应相等可利用SAS证明两直角三角形全等，故不符合题意；
B．两组锐角对应相等不能证明两直角三角形全等，故符合题意；
C．一条直角边和斜边对应相等可利用HL证明两直角三角形全等，故不符合题意；
D．一条直角边和一锐角对应相等可利用ASA或AAS证明两直角三角形全等，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC、Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，添加两个条件不能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE B．∠A＝∠D，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠C＝∠F
【思路点拔】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC、Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，
A、∠A＝∠D，AB＝DE，可以根据ASA证明三角形全等，本选项不符合题意；
B、∠A＝∠D，BC＝EF，可以根据AAS证明三角形全等，本选项不符合题意；
C、AB＝DE，BC＝EF，可以根据SAS证明三角形全等，本选项不符合题意；
D、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AAA无法判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形的全等的判定方法．
11．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．在这个过程中先可以得到△CMO≌△CNO，其依据的基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【思路点拔】由三边相等得△COM≌△CON，再根据全等三角形对应角相等得出∠AOC＝∠BOC．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
12．下列四种说法中，正确的有（ ）
①有两条边相等的两个等腰三角形全等；②有一条边相等的两个等边三角形全等；③有两条边和一个角相等的两个三角形全等；④有两条边相等的两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：①有两条边相等的两个等腰三角形不一定全等，故①不符合题意；
②有一条边相等的两个等边三角形全等，正确，故②符合题意；
③有两条边和一个角相等的两个三角形不一定全等，故③不符合题意；
④有两条边相等的两个直角三角形不一定全等，故④不符合题意．
正确的是②．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形，关键是掌握全等三角形的判定方法．
13．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASS
【思路点拔】根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法，本题中有两角及一角的对边对应相等，所以应选择AAS，比较简单．
【解答】解：由已知得，AP＝AP，∠DAP＝∠EAP，∠ADP＝∠AEP所以符合AAS判定．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．
14．如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AB＝AC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的一条角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】先运用SAS证明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正确；（2）AB＝AC正确；（3）∠B＝∠C正确；
∠BAD＝∠CAD（4）AD是△ABC的角平分线．即可找到答案．
【解答】解：∵AD＝AD、∠ADB＝∠ADC、BD＝CD
∴（1）△ABD≌△ACD正确；
∴（2）AB＝AC正确；
（3）∠B＝∠C正确；
∠BAD＝∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，及全等三角形性质的运用．
15．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】可以采用排除法对各个选项进行验证，从而得出最后的答案．
【解答】解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEH＝∠ADB＝90°，
∵∠HBD+∠BHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE，
∴∠HBD＝∠EAH，
∵DH＝DC，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，BH＝AC；
②：∵BC＝AC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∵由①知，在Rt△ABD中，BD＝AD，
∴∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB+∠DAC＝90°，∠ACB＜90°，
∴结论②为错误结论．
③：由①证明知，△BDH≌△ADC，
∴BH＝AC，
④：∵CE＝CD，
∵∠ACB＝∠ACB；∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△BEC≌△ADC（AAS），
由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC，
∴结论④为错误结论．
综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．下面说法错误的个数有（ ）
（1）全等三角形对应边上的中线相等．
（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形全等．
（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．
（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用全等三角形的判定定理分别对四个命题进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）全等三角形对应边上的中线相等．正确；
（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形一定全等．正确；
（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等．错误；
（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形一定全等．错误；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定，难度不大．
17．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③
【思路点拔】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS＝AR，QP∥AR成立．
【解答】解：连接AP，
∵PR＝PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴△APR≌△APS（HL）
∴AS＝AR，①正确．
∵AQ＝PQ
∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA
∴QP∥AR，②正确．
BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中．
二．填空题（共8小题）
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
【思路点拔】当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
19．如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 AB＝CD ．
【思路点拔】根据“HL”所需要的条件即可得到答案．
【解答】解：Rt△ABC和△DCB有一条公共直角边，
根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是AB＝CD．
故答案为：AB＝CD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
20．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 AB＝AC ．
【思路点拔】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
21．如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，AF＝CE．若添加一个条件可使用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则添加的条件为 AB＝CD ．
【思路点拔】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】解：添加的条件为AB＝CD，理由如下：
∵AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，
∴∠ABF＝∠CDE＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
故答案为：AB＝CD．
【点评】本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法“HL”．
22．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝DE（答案不唯一） ，使得Rt△ABC和Rt△DEF全等．
【思路点拔】根据题意可得∠B＝∠E，∠BAC＝∠EDF＝90°，根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：添加条件AB＝DE，利用ASA可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
添加条件AC＝DF，利用AAS可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
添加条件AD＝CF，利用AAS可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
添加条件BC＝EF，利用AAS可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．
23．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，且CD＝EF．若要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还应添加的条件是 AC＝BE ．
【思路点拔】添加AC＝BE，根据HL即可证明Rt△ACD≌Rt△BEF．
【解答】解：添加AC＝BE，理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠ADC＝∠BFE＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BEF中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BEF（HL），
故答案为：AC＝BE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握HL是解题的关键．
24．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件 DE＝AC（答案不唯一） ，使Rt△ABC≌Rt△DFE．
【思路点拔】根据直角三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：添加DE＝AC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即EF＝CB，
在Rt△ABC与Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
故答案为：DE＝AC（答案不唯一）．
【点评】此题考查直角三角形的判定，关键是根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE解答．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，连接AO，则图中有 4 对全等的直角三角形．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答．
【解答】解：∵高BD、CE交于点O，
∴∠AEO＝∠ADO＝90°，
图中的全等的直角三角形有：
①在△AEC与△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（AAS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBO＝∠BCO，
∴OB＝OC；
②在△AEO与△ADO中，
，
∴△AEO≌△ADO（AAS），
③在△BOE与△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
④在△BCE与△CBD中，
，
∴△BCE≌△CBD（AAS）．共有4对．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三．解答题（共35小题）
26．如图．∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ADC．
【思路点拔】由∠B＝∠D＝90°，AC＝AC，AB＝AD，可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC．
【解答】证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
【点评】此题重点考查直角三角形的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
27．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
【思路点拔】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等．
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形，
∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，准确识图，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
28．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．
【思路点拔】根据题意利用HL判定Rt△ABE≌Rt△BCD即可得到本题答案．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．
【点评】本题考查全等三角形判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
29．如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【思路点拔】根据等式的性质得出AE＝CF，进而利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF即可．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF解答．
30．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【思路点拔】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，正确作出辅助线，根据全等三角形的性质证得AD＝CD是解决问题的关键．
31．如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：Rt△CDF≌Rt△BDE．
【思路点拔】先根据直角三角形的性质得出CD＝BD，再由全等三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，
∵BE＝CF，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理﹣﹣HL，熟记定理内容是解题关键．
32．如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．
【思路点拔】由DA⊥AC，DB⊥BC，得到∠A和∠B都为直角，在直角三角形ACD和BCD中，由已知的边AC＝BD，再加上公共边DC，利用HL可得三角形ACD与三角形BCD全等，根据全等三角形的对应角相等，可得∠BDC＝∠ACD，最后根据等角对等边可得证．
【解答】证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），
∴∠A＝∠B＝90°（垂直定义），
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴∠BDC＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），
∴OD＝OC（等角对等边）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，以及等腰三角形的判定，直角三角形是特殊的三角形，其全等的方法可以用HL来判定，即直角边及斜边对应相等的两直角三角形全等，在证明边相等或角相等时，常常构造三角形全等来解决问题．
33．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据SAS可得△ABC≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．
（2）根据SAS可得△ABD≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．
【解答】解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BCE＝90°，
即BC⊥CE；
（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠CDE＝90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（SAS）．
∴∠B＝∠DCE．
∵∠B+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠DCE＝90°．
BD⊥CE．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理等求解，移动题目这几年常常考，要注意掌握．
34．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求证：EB＝FC．
【思路点拔】先根据角平分线上的点到两边的距离相等证得DE＝DF，再利用HL判定，Rt△DBE≌Rt△DCF，从而得到EB＝FC．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∴在Rt△DBE和Rt△DCF中
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；
∴EB＝FC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
35．已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
【思路点拔】此题只要先证明△ADF≌△BCE即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考．
【解答】证明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△CBE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE＝BF通过等量加等量和相等得DF＝BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
36．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在∠BAC的角平分线上．
【思路点拔】证明△BDE≌△DCF得到DE＝DF，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．
【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BDE和△DCF中，
，
∴△BDE≌△DCF（AAS），
∴DE＝DF，
而DE⊥AB，DF⊥AC，
∴D在∠BAC的角平分线上．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质．
37．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
【思路点拔】先根据AAS定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DF＝DE，由此可得出结论．
【解答】证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
38．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【思路点拔】（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE＝EF，再求出CE＝EF，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
（2）利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF，
又∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝AF，DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FD＝AD．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
39．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝10，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【思路点拔】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD＝80°、∠CHE＝90°，进而得到∠ECH＝40°，然后根据∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH即可解答；
（2）如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN＝EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据S△ACD＝S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM＝3，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH＝80°﹣40°＝40°．
（2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴，
即，解得EM＝3，
∵AB＝10，
∴．
【点评】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
40．如图，C是∠AOB内部的一点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，连接DE，∠CDE＝∠CED，求证：OC平分∠AOB．
【思路点拔】根据角平分线的判定定理证明即可．
【解答】证明：∵∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE．
∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴点C在∠AOB的平分线上，
∴OC平分∠AOB．
【点评】本题考查角平分线的判定，熟记到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
41．如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E．
（1）如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数．
（2）如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM．
（3）如图3，若△ABC周长为20，求BE的长．
【思路点拔】（1）先根据角平分线的定义可得：∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN，由外角的性质可得结论；
（2）作辅助线，根据角平分线的性质可得结论；
（3）如图2，先根据HL证明Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL），得AP＝AQ，同理得：BP＝BE，CQ＝CE，最后由△ABC周长为20可得结论．
【解答】（1）解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN，
∵∠BAC＝68°，
∴∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC＝68°，
∴∠DCN﹣∠CBD＝∠BAC＝×68°＝34°，
∵∠BDC＝∠DCN﹣∠CBD，
∴∠BDC＝34°；
（2）证明：如图2，过点P作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴DP＝DE，DQ＝DE，
∴DP＝DQ，
∴AD平分∠CAM；
（3）解：如图2，由（2）知：DP＝DQ，
在Rt△ADQ和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL），
∴AP＝AQ，
同理得：BP＝BE，CQ＝CE，
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20，
∴AB+BC+AP+CE＝20，
∵AB+AP＝BC+CE，
∴BC+CE＝10，
即BE＝10．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的定义和性质等知识，利用角平分线的性质进行证明是解题的关键．
42．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
【思路点拔】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴点D在∠BAC的角平分线上，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DF是解此题的关键．
43．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，且AF＝DE，BE＝CF．
（1）求证：AB＝DC；
（2）若∠A＝55°，求∠DEF的度数．
【思路点拔】（1）由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△DCE，可得AB＝DC；
（2）由直角三角形的性质可求∠AFB＝35°，由全等三角形的性质可得∠AFB＝∠DEF＝35°．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BF+EF＝CE+FE，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AB＝DC；
（2）解：∵∠B＝90°，∠A＝55°，
∴∠AFB＝35°，
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB＝∠DEF＝35°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
44．如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．
【思路点拔】（1）由“ASA”可证△ABC≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°．
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠AED＝37°+45°＝82°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
45．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若CD＝1，求AF的长．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AD＝BD，即可求证△BDF≌△ACD，即可解题；
（2）连接CF，根据全等三角形的性质得到DF＝DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE＝EC，BE是AC的垂直平分线．于是得到结论．
【解答】解：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACD，
在△BDF和△ACD中，
，
∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF＝AC；
（2）连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF＝DC，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∵CD＝1，CF＝CD＝，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝EC，BE是AC的垂直平分线．
∴AF＝CF＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△BDF≌△ACD是解题的关键．
46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边AC上，点E在BC的延长线上，BD＝DE，EF⊥AC，交AC延长线于点F，AD＝EF．
（1）求证：∠ABD＝∠FDE；
（2）求证：AB＝CD+EF．
【思路点拔】（1）由“HL”可证Rt△BAD≌Rt△DFE，可得∠ABD＝∠FDE；
（2）由全等三角形的性质可得AB＝DF，∠ADB＝∠DEF，由等腰三角形的性质和外角性质可证CF＝EF，即可求解．
【解答】证明：（1）∵EF⊥AC，
∴∠F＝90°＝∠BAC，
在Rt△BAD和Rt△DFE中，
，
∴Rt△BAD≌Rt△DFE（HL），
∴∠ABD＝∠FDE；
（2）∵Rt△BAD≌Rt△DFE，
∴AB＝DF，∠ADB＝∠DEF，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠ADB﹣∠DBE＝∠DEF﹣∠DEB，
∴∠BCD＝∠CEF，
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF，
∴AB＝DF＝DC+CF＝DC+EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
47．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F是对角线BD上两点，且BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：OA＝OC．
【思路点拔】（1）由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵AB＝CD，BE＝DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
48．生活中的数学
（1）用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体棱长为2.5cm，③号正方体棱长4cm，则AD＝ 6.5 cm．
（2）用10块高度都是2cm的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中AB⊥BE于点B，EF⊥BE于点E，BE＝20cm，PE＝6cm，试判断AP、PF的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）证明△ABC≌△DCE，利用全等三角形的性质进行解答即可；
（2）证明△ABP≌△PEF，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∵∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DCE，
∵∠BAC＝∠CDE＝90°，BC＝CE，
∴△ABC≌△DCE（AAS），
∴AB＝CD＝2.5cm，AC＝DE＝4cm，
∴AD＝AC+CD＝6.5（cm）；
故答案为：6.5；
（2）AP＝PF，
理由∵BE＝20cm，PE＝6cm，
∴BP＝14cm，
∵AB＝6cm，EF＝14cm，
∴AB＝PE，BP＝EF，
∵∠ABP＝∠PEF＝90°，
∴△ABP≌△PEF（SAS），
∴AP＝PF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
49．如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．
（1）求证：∠1＝∠3；
（2）若AM＝4cm，求AN的长度．
【思路点拔】（1）由AB＝AC，BE＝CF，根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△ACF，得∠BAE＝∠CAF，则∠BAE﹣∠2＝∠CAF﹣∠2，所以∠1＝∠3；
（2）由全等三角形的性质得AE＝AF，可根据“ASA”证明△AEM≌△AFN，AM＝AN＝4cm，AN的长度是4cm．
【解答】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL），
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE﹣∠2＝∠CAF﹣∠2，
∵∠1＝∠BAE﹣∠2，∠3＝∠CAF﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
（2）解：由（1）得Rt△ABE≌Rt△ACF，∠1＝∠3，
∴AE＝AF，
在△AEM和△AFN中，
，
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN．
∵AM＝4cm，
∴AM＝AN＝4cm，
∴AN的长度是4cm．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABE≌Rt△ACF，进而证明△AEM≌△AFN是解题的关键．
50．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝24°，求∠BDC的度数．
【思路点拔】（1）利用SAS即可证明△ABE≌△CBD；
（2）由全等三角形的性质得∠AEB＝∠CDB，再由外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由（1）得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝24°+45°＝69°，
∴∠BDC＝69°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
51．【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝8cm，OA＝17cm．
（1）求证：∠COE＝∠B；
（2）求AE的长．
【思路点拔】（1）证∠BOD+∠COE＝90°，∠BOD+∠B＝90°，即可得出结论；
（2）先证△COE≌△OBD（AAS），得出OE＝BD＝8cm，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵BD⊥OA，
∴∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B；
（2）解：∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
由题意得：OC＝OB＝OA＝17cm，
由（1）得：∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD＝8cm，
∴AE＝OA﹣OE＝17﹣8＝9（cm）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
52．张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.1m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△OCE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等）
【思路点拔】（1）由直角三角形的性质得出∠OBD＝∠COE，根据AAS即可证明△OBD≌△OCE；
（2）由全等三角形的性质得出OD＝CE＝2m，OE＝BD＝1.6cm，再求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：（1）△OBD与△COE全等，理由如下：
由题意得：∠BDO＝∠OEC＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠OBD＝∠COE，
在△OBD和△OCE中，
，
∴△OBD≌△OCE（AAS）；
（2）由题意得：爸爸是在距离地面AE高的地方接住张华的，AD＝1.1cm，
由（1）得：△OBD≌△OCE，
∴OD＝CE＝2m，OE＝BD＝1.6cm，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣1.6＝0.4（m），
∴AE＝AD+DE＝1.1+0.4＝1.5（m），
答：爸爸是在距离地面1.5m高的地方接住小明的．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，由AAS证明△OBD≌△OCE是解题的关键．
53．如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AC的长．
【思路点拔】（1）由ASA即可证明△ABC≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质得DE＝BC＝10cm，AC＝CE，再由点B是EC的中点，得EC＝2BC＝20cm，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，∴∠AFC＝90°，
∴∠BAC+∠ACF＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠ACF＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴DE＝BC＝10cm，
∵点B是EC的中点，
∴CE＝2BC＝20cm，
∴AC＝CE＝20cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
54．如图，如图，AD＝AE，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AC＝12，CD＝8，BC＝10，求BC边上的高的长度．
【思路点拔】（1）由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠AEB＝∠ADC＝90°，而AE＝AD，∠A＝∠A，即可根据“ASA”证明△ABE≌△ACD；
（2）设BC边上的高为h，则S△ABC＝BC h，由全等三角形的性质得BE＝CD＝8，则S△ABC＝AC BE＝48，所以×10h＝48，求得h＝，则BC边上的高的长度为．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
（2）解：设BC边上的高为h，则S△ABC＝BC h，
∵AC＝12，CD＝8，BC＝10，
∴BE＝CD＝8，
∴S△ABC＝AC BE＝×12×8＝48，
∴×10h＝48，
解得h＝，
∴BC边上的高的长度为．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出∠AEB＝∠ADC，进而证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
55．如图，Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，线段AC与线段DF在一条直线上，且AF＝CD，连接EC，BF，BE，BE与AD相交于点G．
（1）△ABF与△DEC全等吗？为什么？
（2）试说明点G是线段BE的中点．
【思路点拔】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的性质得出AB＝ED，∠BAC＝∠EDF，再利用SAS即可证明△ABF≌△DEC；
（2）利用AAS证明△ABG≌△DEG，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解．
【解答】解：（1）△ABF≌△DEC，理由如下：
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
即AC＝FD，
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴AB＝ED，∠BAC＝∠EDF，
在△ABF和△DEC中
，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
（2）由（1）知AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∵BE与AD相交于点G，
∴∠BGA＝∠EGD，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝GE，
∴点G是线段BE的中点．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
56．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点F、G分别为AC、AB上的一点，接GF并延长交BD延长线于点E，若EF＝AB，DF＝DB，∠C+∠2＝180°，求证：CB⊥AB．
证明：∵BD⊥AC
∴∠EDF＝∠ADB＝90°
在Rt△EDF和Rt△ADB中，
∴Rt△EDF≌Rt△ADB（② HL ）
∴∠E＝∠A
在△ABD中
∵∠A+∠1+∠ADB＝180°（③ 三角形内角和定理 ）
∴∠A+∠1＝90°
∴④ ∠E +∠1＝90°
∴∠AGE＝∠E+∠1＝90°
∵∠C+∠2＝180°
∴⑤ GE∥BC （⑥ 同旁内角互补，两直线平行 ）
∴∠ABC＝∠AGE＝90°
∴CB⊥AB．
【思路点拔】根据HL证明Rt△EDF≌Rt△ADB得出∠E＝∠A，推出∠AGE＝90°，再根据平行线的性质即可推出结论．
【解答】证明：∵BD⊥AC，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，
在Rt△EDF和Rt△ADB中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△ADB（HL），
∴∠E＝∠A，
在△ABD中，
∵∠A+∠1+∠ADB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠1＝90°，
∴∠E+∠1＝90°，
∴∠AGE＝∠E+∠1＝90°，
∵∠C+∠2＝180°
∴GE∥BC，（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ABC＝∠AGE＝90°
∴CB⊥AB．
故答案为：EF＝AB，三角形内角和定理，∠E，同旁内角互补，GE∥BC，两直线平行．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，证明Rt△EDF≌Rt△ADB是解题的关键．
57．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
【思路点拔】（1）由“AAS”可证△ACB≌△EBD；
（2）由全等三角形的性质可得BC＝DB＝12，AC＝EB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝∠A，
在△ACB和△EBD中，
，
∴△ACB≌△EBD（AAS）；
（2）解：由（1）得：△ACB≌△EBD，
∴BC＝DB，AC＝EB，
∵E是BC的中点，
∴，
∵DB＝12，BC＝DB，
∴BC＝12，
∴AC＝EB＝BC＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
58．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．
【思路点拔】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰三角形．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
59．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【思路点拔】（1）先证明BD＝CD，再证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
（2）先证明AB＝AC，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴∠B＝∠C；
（2）
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC底边上的中线，
∴AD也是△ABC底边上的高，即AD⊥BC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记全等三角形的判定方法与等腰三角形的三线合一是解本题的关键．
60．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．
（1）求证：BF＝CE．
（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．
【思路点拔】（1）利用全等三角形的判定与性质证明△BFD≌△CED即可证得结论；
（2）利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD＝∠CED＝90°
在△BFD和△CED中
，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴BF＝CE；
（2）解：在△AEC中，CE＝BF＝3，AE＝2，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
