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《直角三角形》提升训练题
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．0.3km B．0.6km C．1km D．2.4km
【思路点拔】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC＝AB＝0.6km．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB的中点，
∴MC＝AB＝0.6km．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BDC＝（ ）
A．40° B．55° C．60° D．65°
【思路点拔】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝AD，从而可得∠A＝∠ACD＝20°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝AB，
∴∠A＝∠ACD＝20°，
∵∠BDC是△ACD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形外角性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．22.5° D．60°
【思路点拔】根据题意分别求出∠ACD和∠BCD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CE＝AE，得到∠ECA＝∠A＝22.5°，计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣67.5°＝22.5°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是斜边AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠ECA＝∠A＝22.5°，
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ECA＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
4．如图，一架6米长的梯子AB斜靠在竖直的墙OA上，OB在地面上，M为AB的中点，当梯子的上端A沿墙壁下滑时，OM的长度将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
【思路点拔】根据题意可得：AO⊥OB，从而可得∠AOB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得：OM＝AB，即可解答．
【解答】解：由题意得：AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴OM＝AB，
当梯子的上端A沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴OM的长度也不变，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，若AC＝6，BC＝10，则AD的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【思路点拔】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，D是边BC的中点，BC＝10，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【思路点拔】根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠B＝55°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AE＝BE，从而可得∠B＝∠BAE＝55°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝55°，
∵∠BAC＝90°，E是斜边BC的中点，
∴AE＝BE＝BC，
∴∠B＝∠BAE＝55°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【思路点拔】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AD＝AB，得到△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD＝AD＝AB，
∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，
∴AC＝DC＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝×（180°﹣30°）＝75°．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．将一副三角板按如图所示摆放，点F恰好是DE边中点，则∠DGC的度数为（ ）
A．150° B．155° C．160° D．165°
【思路点拔】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出FB＝FE，根据等边对等角可得∠FBE＝∠E＝30°，进而根据三角形的内角和定理与三角形的外角性质，即可求解．
【解答】解：∵点F恰好是DE边中点，
∴FB＝FE，
∴∠FBE＝∠E＝30°，
∴∠CFG＝∠BFE＝120°，
又∵∠C＝45°，
∴∠DGC＝∠C+∠CFG＝165°．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度2cm和8cm，则AD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【思路点拔】由题意可得BC的长度，再根据AD是直角三角形的中线即可解答．
【解答】解：由题意可知，BC＝8﹣2＝6cm，
又∵∠BAC＝90°，且点D为边BC的中点，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，DE＝5，则AD＝（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【思路点拔】由等腰三角形的性质求得，根据垂线的性质可知△ADC是直角三角形，在Rt△ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得AC＝10，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BC＝12，
∴，
在Rt△ADC中，
∵E是AC的中点．
∴（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），
又∵DE＝5，
∴AC＝10；
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟知直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
11．如图，在 Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若∠A＝22.5°，则∠DCE的度数为（ ）
A．30° B．55° C．50° D．45°
【思路点拔】由直角三角形斜边中线的性质推出AE＝CE，得到∠ACE＝∠A＝22.5°，求出∠ACD＝90°﹣22.5°＝67.5°，即可得到∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝45°．
【解答】解：∵CE是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CE＝AB，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠A＝22.5°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ACD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，关键是由直角三角形斜边上中线的性质推出AE＝CE，得到∠ACE＝∠A＝22.5°．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连接BE，BF，EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为（ ）
A．14° B．16° C．18° D．20°
【思路点拔】先利用直角三角形斜边上的中线可得EB＝EC＝AC，EF＝EC＝AC，从而利用等腰三角形的性质可得∠ECB＝∠EBC＝50°，然后利用三角形的外角性质可得∠AEB＝100°，∠AEF＝48°，从而可得∠BEF＝148°，再利用等量代换可得BE＝EF，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠EFB＝∠EBF＝16°，即可解答．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点E为AC的中点，
∴EB＝EC＝AC，
∴∠ECB＝∠EBC＝50°，
∵∠AEB是△EBC的一个外角，
∴∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝100°，
∵∠AFC＝90°，点E为AC的中点，
∴EF＝EC＝AC，
∴∠EFC＝∠ECF＝24°，
∵∠AEF是△ECF的一个外角，
∴∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝48°，
∴∠BEF＝∠AEB+∠AEF＝148°，
∵BE＝AC，EF＝AC，
∴BE＝EF，
∴∠EFB＝∠EBF＝＝16°，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CE是AB边上的中线，与AD交于点F．若∠B＝40°，则∠AFC的度数为（ ）
A．110° B．105° C．100° D．95°
【思路点拔】根据三角形的内角和定理得到∠CAB＝50°，根据直角三角形的性质得到AE＝CE＝AB，推出△ACE是等腰三角形，得到∠ACF＝50°根据角平分线定义即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠CAB＝50°，
∵CE是斜边AB上的中线，
∴AE＝CE＝AB，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠ACF＝50°，
∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAD＝CAE＝25°，
∴∠AFC＝180°﹣25°﹣50°＝105°，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，证得△ACE是等边三角形是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，D为BC上一点，且满足AD＝CD，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则△ABF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拔】连接DE，证DE为△ABC的中位线得AB＝2DE，再证△DEF∽△ABF得EF：AF＝DE：AB＝1：2，则S△AEF：S△ABF＝1：2，进而得S△ABF＝S△ABE，再求出S△ABE＝15，进而可得S△ABF的面积．
【解答】解：连接DE，如下图所示：
AD＝CD，E为AC的中点，
∴DE⊥AB，
∵∠BAC＝90°，
∴DE∥AB，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE∥AB，
△DEF∽△ABF，
∴EF：AF＝DE：AB＝1：2，
∴S△AEF：S△ABF＝1：2，
∴S△ABF＝2/3S△ABE，
∵AC＝12，点E为AC的中点，
∴AE＝AC＝6，
∴S△ABE＝AB AE＝×5×6＝15，
∴S△ABF＝S△ABE＝×15＝10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED．若BC＝6，AE＝4．则DE为（ ）
A．4 B．2.5 C．3 D．
【思路点拔】根据等腰三角形的三线合一得到BE＝EC＝BC＝3，根据勾股定理求出AC，根据直角三角形斜边上的中线定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝6，AE是△ABC的高线，
∴BE＝EC＝BC＝3，AE⊥BC，
∴AC＝＝＝5，
∵BD是△ABC的中线，
∴点D为AC的中点，
∴DE＝AC＝2.5．
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拔】根据直角三角形的性质得到EF＝3，根据EF＝3DF，得到DF＝1，求出DE，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴EF＝AC＝3，
∵EF＝3DF，
∴DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝4，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17．如图，△ABC的三个顶点在一组平行线上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．30°+α B．45°+α C．90°﹣α D．60°﹣α
【思路点拔】先根据∠ACB＝90°，∠BAC＝60°可知∠ABC＝30°，再由∠1＝α可知∠BAF＝60°+α，再由BD∥AF可知∠BAF+∠2+∠ABC＝180°，据此得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠1＝α，
∴∠BAF＝60°+α，
∵BD∥AF，
∴∠BAF+∠2+∠ABC＝180°，
即∠2＝180°﹣∠BAF﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣α﹣30°＝90°﹣α，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的性质，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．39° B．51° C．38° D．52°
【思路点拔】根据在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，可以求得∠A的度数，再根据EF∥AB，可以得到∠1和∠A的关系，从而可以求得∠1的度数，本题得以解决．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，
∴∠A＝51°，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝51°，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
【思路点拔】根据平行线的性质得到∠1+∠BAC＝∠2，进而求得∠BAC，再根据直角三角形的性质求出∠B即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠BAC＝∠2，
∵∠BAC＝∠2﹣∠1＝80°﹣28°＝52°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°．
故答案为：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的性质，灵活应用平行线的性质是解答本题的关键．
20．如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【思路点拔】延长BC交直线b于点F，根据∠ACB＝90°，∠1＝20°，可得∠AFC的度数，根据平行线的性质可得∠DEC的度数，再根据对顶角相等即可求出∠的度数．
【解答】解：延长BC交直线b于点F，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠AFC＝90°﹣∠1＝70°，
∵直线a∥b，
∴∠DEC+∠AFC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠2＝∠DEC＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
21．如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
【思路点拔】根据平行线的性质可得∠ABC＝∠1+∠2，代入已知数据即可求解．
【解答】解：如图所示，
∵一组平行线穿过△ABC，
∴∠ABD＝∠1，∠DBC＝∠2，
∴∠ABC＝∠1+∠2
∵∠ABC＝90°，∠1＝55°，
∴∠2＝90°﹣55°＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
22．如图，在四边形AECD中，∠EAD＝90°，AD∥EC，F为DE的中点，∠DEC＝25°，则∠FAD的大小是 25° ．
【思路点拔】先利用平行线的性质可得∠ADE＝∠DEC＝25°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AF＝DF，从而利用等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠ADF＝25°，即可解答．
【解答】解：∵AD∥EC，
∴∠ADE＝∠DEC＝25°，
∵∠EAD＝90°，F为DE的中点，
∴AF＝DF＝DE，
∴∠FAD＝∠ADF＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
23．如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连接EF，OE，若∠EAF＝50°，则∠OEF＝ 40° ．
【思路点拔】连接OF，根据斜边上的中线的性质，得到，根据三角形的外角得到∠EOF＝100°，再根据等边对等角，进行求解即可．
【解答】解：连接OF，
∵∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，
∴，
∴∠EAO＝∠OEA，∠OAF＝∠OFA，
∴∠EOB+∠FOB＝∠OAE+∠OEA+∠OAF+∠OFA＝2（∠OAE+∠OAF）＝2∠EAF＝100°，
即：∠EOF＝100°
∵OE＝OF，
∴．
故答案为：40°．
【点评】本题考查斜边上的中线，掌握等边对等角，三角形的内角和与外角的性质是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为 3 ．
【思路点拔】先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD＝4，
∴，
∵DE⊥AB，AE＝5，
∴，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出AD＝4是解题的关键．
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．∠ACD＝3∠BCD，E是斜边中点，则∠ECD＝ 45 °．
【思路点拔】先求出∠BCD和∠ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝BE，根据等边对等角可得∠BCE＝∠B，再求出∠ECD＝45°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝90°×＝22.5°，
∠ACD＝90°×＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
26．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 40° ．
【思路点拔】如图，作CK∥a．证明∠ACB＝∠1+∠2即可解决问题．
【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
三．解答题（共34小题）
27．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，EF平分∠BED．求证：EF⊥BD．
【思路点拔】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE＝AC，DE＝AC，从而得到BE＝DE，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE，
∵EF平分∠BED，
∴EF⊥BD．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．
28．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝m，求BC的长．（用含有m的代数式表示）
【思路点拔】（1）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到，进而利用等角对等边可证得结论；
（2）先根据三角形的内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝120°，进而求得∠EFD＝60°，利用等边三角形的判定与性质证明△DEF是等边三角形得到DE＝EF即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点，
∴，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵在△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵，，
∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，
∴∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∠CFD＝180°﹣2∠ACB，
∴∠EFD＝180°﹣∠BFE﹣∠CFD＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF＝m，
∴BC＝2EF＝2m．
【点评】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键．
29．已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
求证：①BM＝DM；②MN⊥BD．
【思路点拔】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DM＝AC；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DM＝AC，
∴BM＝DM；
（2）∵点N是BD的中点，BM＝DM，
∴MN⊥BD．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并连接辅助线是解题的关键．
30．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，求CD．
【思路点拔】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC＝2DE＝10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5，
∴DE＝AC＝5，
∴AC＝10．
在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，
则根据勾股定理，得
CD＝＝＝8．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
31．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，连接AD、BC，E、F分别为BC、AD的中点，连接BF．
（1）求证：AB∥EF．
（2）猜想线段AB、CD、EF之间的数量关系并证明．
【思路点拔】（1）取BD的中点G，连接FG、EG，利用三角形中位线定理证明FG∥AB，EG∥CD，推出点E、F、G在同一直线上，据此即可证明AB∥EF；
（2）利用三角形中位线定理即可求得2EF＝CD﹣AB．
【解答】（1）证明：取BD的中点G，连接FG、EG，
∵F为AD的中点，
∴，FG∥AB，
又∵E为BC的中点，
∴，EG∥CD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∴FG∥EG∥AB∥CD，
∴点E、F、G在同一直线上，
∴AB∥EF；
（2）解：由（1）得：F为AD的中点，E为BC的中点，点G是BD的中点，点E、F、G在同一直线上，
∴，，
∴，
∴2EF＝CD﹣AB．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解题的关键．
32．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A．
【思路点拔】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝BD，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ECB，根据余角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB中点，
∴CD＝BD，
∴∠ABC＝∠ECB，
∵BE⊥CE，
∴∠E＝90°，
∴∠ECB+∠CBE＝∠ABC+∠A＝90°，
∴∠EBC＝∠A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
33．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点．
（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）连接AE，EC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝BD，AE＝BD，从而可得AE＝CE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝DE，AE＝DE，从而可得∠ECD＝∠CDE，∠EAD＝∠ADE，然后利用三角形的外角性质可得∠AEC＝2∠ADC＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得EF＝AC，即可解答．
【解答】解：（1）EF⊥AC，
理由：连接AE，EC，
∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝BD，
∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝BD，
∴AE＝CE，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC；
（2）EF＝AC，
理由：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝DE＝BD，
∴∠ECD＝∠CDE，
∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∵∠ADC＝45°，
∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC
＝∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC
＝2∠ADE+2∠CDE
＝2（∠ADE+∠CDE）
＝2∠ADC
＝90°，
∵点F是AC的中点，
∴EF＝AC．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，CD是斜边上的中线，CE是高，F是CD的中点，连接EF．
（1）求线段CD的长；
（2）求证：△EDF是等边三角形．
【思路点拔】（1）根据直角三角形斜边上的中线的相关性质，即可推出CD的长度；
（2）根据有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形进行证明即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝2×2＝4，
∵是斜边上的中 线．
∴CD＝AB＝2；
（2）证明：∵CD是斜边上的中线，
∴CD＝DB＝AD＝AB，
∵∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE，∠ECD＝30°，
∴DE＝DC，
∵F是CD的中点，
∴EF＝CD，
∴EF＝DF，
∴△EDF为等边三角形．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定和性质以及含30°直角三角形的性质，熟记和直角三角形的有关性质定理是解题关键．
35．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．
（1）求证：DH＝EF；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
【思路点拔】（1）根据三角形中位线定理得到EF＝AB，根据直角三角形的性质得到DH＝AB，证明结论；
（2）连接DF，证明△DHF≌△DEF，证明结论．
【解答】证明：（1）∵E、F分别是边BC、AC的中点，
∴EF＝AB，
∵AH⊥BC，D是AB的中点，
∴DH＝AB，
∴DH＝EF；
（2）连接DF，
由（1）得，DH＝EF，
同理DE＝HF，
在△DHF和△DEF中，
，
∴△DHF≌△DEF，
∴∠DHF＝∠DEF．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
36．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD＝BD，EF＝6，DE＝8，求CD的长．
【思路点拔】（1）根据垂直的定义得到∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AB，DE＝AB，得到CE＝DE，于是得到△ECD是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的性质得到DE⊥AB，根据勾股定理得到DF＝＝10，过点E作EH⊥CD，根据勾股定理得到DH＝＝6.4，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
又∵E为AB的中点，
∴CE＝AB，DE＝AB，
∴CE＝DE，
即△ECD是等腰三角形；
（2）解：∵AD＝BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵DE＝8，EF＝6，
∴DF＝＝10，
过点E作EH⊥CD，
∵∠FED＝90°，EH⊥DF，
∴EH＝＝4.8，
∴DH＝＝6.4，
∵△ECD是等腰三角形，
∴CD＝2DH＝12.8．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
37．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证：
（1）G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE．
【思路点拔】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DC＝DE，根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠EDB，根据三角形的外角的性质证明．
【解答】证明：（1）连接DE，
∵CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABD的中线，
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，又DE是△ABD的中线，
∴DE＝AB＝BE，
∵DC＝BE，
∴DC＝DE，又DG⊥CE，
∴G是CE的中点；
（2）∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠EDB＝2∠BCE，
∴∠B＝2∠BCE．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的三线合一是解题的关键．
38．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连结AM．求线段AM，DM，BC之间的数量关系．
【思路点拔】根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，进而判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM＝CM，然后求出CD＝AM+DM，再等量代换即可得解．
【解答】解：BC＝AM+DM，理由如下：
连接CE，
∵CD＝CB，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM＝CM，
∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝BC，
∴BC＝AM+DM．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出EF垂直平分AC．
39．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若∠BAD＝30°，AC＝10，求BD的长．
【思路点拔】（1）由直角三角形斜边中线的性质推出BE＝DE，由等腰三角形的性质即可证明EF⊥BD；
（2）由等腰三角形的性质推出∠BAE＝∠ABE，∠EAD＝∠EDA，由三角形外角的性质求出∠BED＝60°，得到△EBD是等边三角形，即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：连接BE，DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE，
∵F是BD中点，
∴EF⊥BD；
（2）解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴AE＝BE＝DE，
∴∠BAE＝∠ABE，∠EAD＝∠EDA，
∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠CED＝∠EAD+∠EDA，
∴∠BEC+∠CED＝∠BAE+∠ABE+∠EAD+∠EDA，
∴∠BED＝2（∠BAE+∠EAD）＝2∠BAD＝2×30°＝60°，
∵BE＝ED，
∴△EBD是等边三角形，
∴BD＝BE＝AC＝×10＝5．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，等边三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边的中线的性质推出BE＝DE，由三角形外角的性质推出∠BED＝60°．
40．如图1，已知△ABC为直角三角形，∠BCA＝90°，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是AB的中点，连接DE，M为ED的中点，连接CM、AD．
（1）试判断CM与ED的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AED＝105°，请求出∠BAC的度数；
（3）如果将题中“在BC的延长线上取一点D“改为“在CB的延长线上取一点D”，其余条件不变．如图2所示，若∠AED＝165°，请求出∠BAC的度数．
【思路点拔】（1）根据直角三角形的性质推出AB＝2CE，则CE＝CD，根据等腰三角形的性质即可得解；
（2）根据直角三角形的性质推出BE＝CE，根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠ECB，∠CDE＝∠DEC，根据三角形外角性质求出∠B＝2∠CDE，∠AED＝3∠CDE，进而求出∠CDE＝35°，∠B＝70°，根据三角形内角和定理求解即可；
（3）连接CE，根据直角三角形的性质推出BE＝CE，根据等腰三角形的性质推出∠EBC＝∠ECB，∠CDE＝∠DEC，根据角的和差及三角形外角性质求出∠BED＝15°，∠EBC＝∠ECB＝∠CDE+15°，∠CEB＝∠CDE﹣15°，∠CDE＝55°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）CM垂直平分ED，理由如下：
如图1，连接CE，
∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，
∴AB＝2CE，
∵CD＝AB，
∴CE＝CD，
∵M为ED的中点，
∴CM垂直平分ED；
（2）∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，
∴BE＝CE＝AB，
∴∠B＝∠ECB，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠DEC+∠CDE＝2∠CDE，
∴∠B＝2∠CDE，
∵∠AED＝∠B+∠CDE，
∴∠AED＝3∠CDE，
∵∠AED＝105°，
∴∠CDE＝35°，
∴∠B＝70°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
（3）如图2，连接CE，
∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，
∴AB＝2CE，BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵CD＝AB，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠DEC，
∵∠AED＝165°，
∴∠BED＝180°﹣165°＝15°，
∵∠EBC＝∠CDE+∠BED，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠CDE+15°，
∵∠AED＝∠CDE+∠DBE，∠DBE＝∠ECB+∠CEB，
∴∠AED＝∠CDE+∠ECB+∠CEB，
∵∠CEB＝∠CED﹣∠BED，
∴∠CEB＝∠CDE﹣15°，
∴∠AED＝∠CDE+∠CDE+15°+∠CDE﹣15°＝3∠CDE，
∴∠CDE＝55°，
∴∠EBC＝55°+15°＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
41．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．
（1）连接DE，求证：BD＝DE；
（2）若∠ABE＝25°，求∠BEC的度数．
【思路点拔】（1）先利用BE是AC边上的中线得到AE＝CE，再利用等量代换即可证明；
（2）先利用等边对等角，再两次利用三角形的外角等于不相邻两个内角的和即可．
【解答】（1）证明：∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∴DE＝CE，
∵BD＝CE，
∴BD＝DE；
（2）解：∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝25°，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB＝50°，
∴∠A＝∠ADE＝50°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°+25°＝75°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的判定与性质，找已知角与未知角的关系是解决问题的关键．
42．直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．
（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．试说明：EF∥GH；
（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH．求∠ECA的度数；（用α的代数式表示）
（3）在（2）的前提下，直线CD平分∠FCA交直线GH于D，如图3．在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化请求出变化的范围．
【思路点拔】（1）求出∠EAB，推出∠EAB＝∠ABC，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出∠ACB，由EF∥GH可得出∠ECB＝∠HBC，则∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB可求出；
（3）求出AM∥EF∥GH，根据平行线的性质得出∠FCA+∠CAM＝180°，∠MAB+∠ABH＝180°，∠CBH＝∠ECB，求出∠FCA+∠ABH＝270°，求出∠FCD+∠ECB＝135°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵∠EAB＝180°﹣∠BAC﹣∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC＝30°，
∴∠EAB＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴EF∥GH；
（2）解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝α．
∴∠ACB＝90°﹣α，
∵BC平分∠ABH，
∴∠ABC＝∠HBC＝α，
∵EF∥GH，
∴∠ECB＝∠HBC＝α，
∴∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°；
（3）解：不发生变化，
理由是：经过点A作AM∥GH，
又∵EF∥GH，
∴AM∥EF∥GH，
∴∠FCA+∠CAM＝180°，∠MAB+∠ABH＝180°，∠CBH＝∠ECB，
又∵∠CAM+∠MAB＝∠BAC＝90°，
∴∠FCA+∠ABH＝270°，
又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，
∴∠FCD+∠CBH＝135°，
又∵∠CBH＝∠ECB，即∠FCD+∠ECB＝135°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠FCD+∠ECB）＝45°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
43．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1：∠2＝1：2，求∠ADC的度数．
（2）如图2，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝120°，∠BGC＝108°，求∠A的度数．
【思路点拔】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAD，根据直角三角形的两锐角互余列方程，解方程得到答案．
（2）设∠GBC＝x，∠DCB＝y，在△BFC和△BGC中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求得∠A的度数．
【解答】解：（1）设∠1＝x，则∠2＝2x，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠2＝2x，
∵∠C＝90°，
∴2x+2x+x＝90°，
解得：x＝18°，
∴∠1＝18°，
则∠ADC＝90°﹣∠1＝72°；
（2）设∠GBC＝x，∠DCB＝y，
在△BFC中，2x+y＝180°﹣120°＝60°①，
在△BGC中，x+2y＝180°﹣108°＝72°②，
解得：①+②：3x+3y＝132°，
∴∠A＝180°﹣（3x+3y）＝180°﹣132°＝48°．
【点评】题（1）考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键；
题（2）考查三角形的内角和定理、三等分线的定义，利用整体的思想解决问题比较简便．
44．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：∠1＝ 120 °，∠2＝ 90 °．
（2）如图2，现将三角板绕点B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠1＝ （120﹣n） °，∠2＝ 90+n °．（结果用含n的代数式表示）；
②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．
（3）如图1三角板ABC的放置，现将AB绕点A以每秒1°的转速逆时针旋转，同时CF绕点C以每秒2°的转速顺时针旋转，当CF第一次旋转回到起点时，CF、AB均停止转动，设旋转时间为t（s）．请求出当t为何值时，AB∥CF．
【思路点拔】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；
②由①的结论和本题的条件列方程，解出即可；
（3）由题意，知0＜t＜180，因此可画出旋转过程中使AB∥CF的三种情况下的图形，结合图形列出相关角的代数式，利用平行线性质列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由图1可知：∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝∠ACF＝90°．
故答案为：120，90．
（2）①如图2，∵DG∥EF，
∴∠DCB＝∠CBF＝n°，
∴∠ACD＝90°﹣n°，
∴∠1＝∠A+∠ACD＝（120﹣n）°，
∵DG∥EF，
∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，
∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG
＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）
＝（90+n）°．
故答案为：（120﹣n），（90+n）．
②当 时，
，
解得n＝30．
∴n的值是30．
答：n的值是30．
（3）分类如下：
①0＜t＜90，如图：
由题意，得∠ACF'＝（90+2t）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，
∵AB'∥CF'，
∴∠ACF'+∠CAB'＝180°，
即（90+2t）°+（t﹣30）°＝180°，
解得t＝40．
②90≤t＜120，如图：
由题意，得∠ACF'＝（270﹣2t）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，
∵AB'∥CF'，
∴∠ACF'＝∠CAB'，
即（270﹣2t）°＝（t﹣30）°
解得t＝100．
③120≤t＜180，如图：
由题意，得∠F'CA＝（2t﹣270）°，∠CAB'＝（t﹣30）°，
∵AB'∥CF'，
∴∠F'CA+∠CAB'＝180°，
即（2t﹣270）°+（t﹣30）°＝180°，
解得t＝160．
综上所述，当t＝40，100，160时，AB∥CF．
【点评】本题考查了平行线的性质及应用，垂线的定义，邻补角的定义，直角三角形的性质，一元一次方程的解法，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
45．已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．
（1）在△ABC中，∠ACB＝ 120 °，∠BDC＝ 100 °；
（2）在旋转过程中，如图2，当α＝ 10 °时，DE∥AC；当α＝ 100 °时，DE⊥AC；
（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．
①此时，α的取值范围是 70°＜α＜100° ；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据三角形内角和是180°，再按比例分配进行计算即可；
（2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算即可；由垂直的定义以及三角形的内角和进行计算即可；
（3）①根据“端值”检测计算，即当DE与CD重合时最小值，当DF与CD重合时最大值；②连接MN，根据三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，
∴∠BAC＝180°×＝40°，∠ABC＝180°×＝20°，∠ACB＝180°×＝120°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝60°+40°＝100°，
故答案为：120°，100°；
（2）当DE∥AC时，∠BDE＝∠A＝40°，
∵∠E＝90°，∠F＝60°．
∴∠EDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴α＝40°﹣30°＝10°，
即当α＝10°时，DE∥AC；
当DE⊥AC时，即DE与AC成90°的角，
∠EDB＝90°+∠A＝130°，
∴α＝130°﹣30°＝100°，
即当α＝100°时，DE⊥AC；
故答案为：10，100；
（3）①当DE与CD重合时，α为最小值，
∵∠BDE＝∠A+∠ACD＝100°，
∴α＝100°﹣30°＝70°；
当DF与CD重合时，α为最大值，此时α＝100°，
∴70°＜α＜100°，
故答案为：70°＜α＜100°；
②∠CMD+∠CND＝90°，理由如下：
如图，连接MN，
∵∠MCN＝∠ACB＝120°，
∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣∠MCN＝60°，
在△DMN中，
∠DMN+∠DNM＝180°﹣∠MDN＝150°，
∴∠CMD+∠CND＝150°﹣60°＝90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质以及垂直的定义，掌握三角形内角和是180°，平行线的性质是正确解答的前提．
46．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系．
（2）当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°，
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
【思路点拔】（1）作PH∥AB，又AB∥CD，根据平行线的性质、对顶角相等解答；
（2）根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算；
（3）利用（2）的结论、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM＝90°．
如图①，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM，
∵∠MPN＝90°，
∴∠NPH+∠HPM＝90°
∴∠PFD+∠AEM＝90°．
（2）证明：设PN与AB相交于点G，如图②，
∵AB∥CD，
∴∠PFD＝∠PGB，
∵∠PGB﹣∠PEB＝90°，∠PEM＝∠AEM，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°．
（3）如图②，∵∠PEB＝30°，∠P＝90°，
∴∠PFD＝∠PGB＝∠P+∠PEB＝120°，
∴∠OFN＝∠PFD＝120°，
∵∠DON＝20°，∠OFN+∠DON+∠N＝180°，
∴∠N＝180°﹣∠OFN﹣∠DON＝180°﹣120°﹣20°＝40°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、正确作出辅助线是解题的关键．
47．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝48°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【思路点拔】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝48°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝24°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣24°＝66°．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【点评】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE＝AC．
48．已知△ABC与△ADE共顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，顶点B和C在直线l1上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线l2上（点D在点E的左侧），且直线l1∥l2．
（1）如图1，顶点A在l1与l2之间，判断∠BAD与∠ABC+∠ADE是否相等，并说明理由．
（2）如图2，顶点A在l1与l2之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若∠BAD＝70°，求∠BFE的度数．
（3）若顶点A在直线l2的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记∠BAD＝α，∠BFE＝β，请探究α与β的数量关系，并直接写出结论．
【思路点拔】（1）过点A作AG∥l1，根据平行线的性质直接求解即可得到结论；
（2）根据（1）中的方法可知∠BAD＝∠ABC+∠ADE＝70°，∠BFE＝∠1+∠2，根据角平分线的性质及邻补角的定义等量代换即可得到结论；
（3）根据点D与∠ABF的关系分五种情况求解．
【解答】解：（1）∠BAD＝∠ABC+∠ADE．
过点A作AG∥l1，如图所示：
∵l1∥l2，
∴AG∥l1∥l2，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠1+∠2，
∴∠BAD＝∠ABC+∠ADE；
（2）如图所示：
由（1）可知∠BAD＝∠ABC+∠ADE＝70°，
同（1）理可得∠BFE＝∠1+∠2，
∵BF平分∠ABH，EF平分∠AED，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，
∴，，∴；
（3）令∠ABF＝x，∠AEF＝y，
根据角平分线定义得设：∠FBH＝x，∠FED＝y，
过F作FG∥l1，过A作AJ∥l1，
∴FG∥AJ∥l1∥l2，
或，
解得：90°＝2β+α或90°＝2β﹣α．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，平行线的性质等．
49．【从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅批改第1题．其中第1题满分为6分，第2题满分为9分】
第1题：如图，AB∥CD，∠BAE＝∠DCE＝45°．判断△ACE的形状，并说明理由．
第2题：如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，在AB上取AE＝AC，连接CE，作AD⊥CE于点D，交BC于点F．设∠B＝α．
（1）用含α的代数式表示∠AEC为 90°﹣α ，当∠BCE＝30°时，α＝ 30 °；
（2）判断BC与AD的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】第1题：由平行线的性质∠BAC+∠ACD＝180°，可求∠E＝90°，可求解；
第2题：（1）由等腰三角形的性质可求∠AEC的度数，由外角性质可求解；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAF＝∠B＝∠BCG＝∠G＝α，可证CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，由等腰三角形的性质可得结论．
【解答】第1题：解：△ACE是直角三角形，
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
又∵∠BAE＝∠DCE＝45°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠E＝90°，
∴△ACE是直角三角形；
第2题：解：（1）∵∠B＝α，
∴∠BAC＝2∠B＝2α，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝＝90°﹣α，
∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠BCE＝30°，
∴90°﹣α＝α+30°，
∴α＝30°，
故答案为：90°﹣α，30；
（2）如图，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．
∴∠BCG＝∠B＝α，∠BAF＝∠CAF＝∠G＝α，
∵AE＝AC，
∴∠EAF＝∠CAF＝α，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCG＝∠G＝α，
∴CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，
∴AG＝AF+FG＝BF+CF＝BC，
在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，
∴AD＝DG，即AG＝2AD，
∴BC＝2AD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
50．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠CEF＝∠CFE；
（2）若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据直角三角形的性质、角平分线的定义、对顶角相等证明∠CEF＝∠CFE；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，证明∠EAB＝∠ABE，求出∠EAB＝∠ABE＝∠CBE＝30°，根据三角形的外角性质得到∠CEF＝60°，根据等边三角形的判定定理证明结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CEF+∠CBE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BFD+∠ABE＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEF＝∠CFE；
（2）解：△CEF是等边三角形，
理由如下：∵点E在边AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠ABE，
∵∠CBE＝∠ABE，∠ACB＝90°，
∴∠EAB＝∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴∠CEF＝∠ABE+∠EAB＝60°，
∴∠CEF＝∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形 的两锐角互余是解题的关键．
51．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，∠CFE与∠CEF的数量关系为 ∠CEF＝∠CFE ．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E．探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系．
【思路点拔】（1）根据三角形的外角的性质证明；
（2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
（3）同（1）、（2）的方法相同．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
故答案为：∠CEF＝∠CFE；
（2）∠CEF＝∠CFE．
理由：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
（3）如图：
∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
52．如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC、AB分别交于D、E两点，直线b与边BC、AC分别交于F、G两点，且a∥b．
（1）若∠AED＝44°，求∠BFG的度数；
（2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠DEB＝m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点P，连结PE、PQ，请直接写出∠PEQ、∠EPQ、∠PQF的数量关系（用含m的式子表示）．
【思路点拔】（1）延长AB，结合平行线性质和外角定理即可．
（2）延长AB，结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可．
（3）结合题意画出图形，分类讨论即可．
【解答】解：延长AB交b于Q点，
∴∠AED＝∠Q＝44°，∠ABC＝∠QBF＝90°，
∴∠BFG＝∠Q+∠QBF＝44°+90°＝134°．
（2）延长AB交b于Q点，
∵∠BFG+∠QFB＝180°，
∴∠QFB＝∠PFG，
在Rt△QFB中∠QFB+∠Q＝90°，
∴∠PFG+∠Q＝90°，
又∵∠AED＝∠Q，
∴∠PFG+∠AED＝90°，
（3）①当点P在DC的延长线上时，如图，
在△QEP中，
∠PEQ+∠EPQ+∠EQP＝180°，
∠EQP＝∠EQF+∠PQF，
∠EQF＝180°﹣m，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠EQF+∠PQF＝180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+（180°﹣m）+∠PQF＝180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF＝m．
②当点P在DC上时，如图，
同理可得，PEQ+∠EPQ﹣∠PQF＝m．
综上，∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的数量关系为：
∠PEQ+∠EPQ+∠PQF＝m或PEQ+∠EPQ﹣∠PQF＝m．
【点评】本题考查平行线性质、外角定理和三角形内角和，综合性较强，画出辅助线是关键，方法不唯一．
53．小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】【习题回顾】利用余角的性质可证得∠ACF＝∠B，由角的平分线可得∠CAE＝∠BAE，再利用三角形外角的性质可证明结论；
【变式思考】由角的平分线可得∠CAE＝∠BAE，再利用三角形外角的性质可证明结论；
【探究延伸】在（2）结论基础上，通过角平分线的性质可求证FB∥OD，进而得出∠COD＝∠F＝β，再由∠BAC＝2∠BOC﹣180°以及∠BOD＝90°即可证明结论．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCF＝90°，
∵CD是AB边上的高线，
∴CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACF，∠CEF＝∠B+∠BAE，
∴∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】解：相等．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACF，∠CEF＝∠B+∠BAE，∠ACD＝∠B，
∴∠CFE＝∠CEF；
【探究延伸】解：∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
54．如图，在△ABC中，∠C＝90°，顶点B在直线PQ上，顶点A在直线MN上，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB．
（1）求证：PQ∥MN；
（2）求∠QBC+∠NAC的度数．
【思路点拔】（1）根据直角三角形的性质得到∠CBA+∠CAB＝90°，根据角平分线的定义得到∠PBA＝2∠CBA，∠MAB＝2∠CAB，进而得到∠PBA+∠MAB＝180°，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据（1）中结论计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，
∴∠CBA+∠CAB＝90°，
∵BC平分∠PBA，AC平分∠MAB，
∴∠PBA＝2∠CBA，∠MAB＝2∠CAB，
∴∠PBA+∠MAB＝180°，
∴PQ∥MN；
（2）解：∵∠CBA+∠CAB＝90°，∠PBA+∠MAB＝180°，
∴∠QBC+∠NAC＝∠CBA+∠CAB+∠PBA+∠MAB＝90°+180°＝270°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定和性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
55．如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．
（1）当∠2＝2∠1时，求∠1的度数．
（2）设∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．
【思路点拔】（1）由平行线的性质可得∠EFC＝∠1+30°，再根据平角的定义可求解；
（2）过G点作GM∥AB，则MG∥CD，利用平行线的性质可得∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，结合∠EGF＝60°可求解．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠EFC，
∵∠FEG＝30°，
∴∠EFC＝∠1+30°，
∵∠2+∠EFC+90°＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1+∠1+30°+90°＝180°，
解得∠1＝20°；
（2）过G点作GM∥AB，
∴∠AEG+∠EGM＝180°，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠MGF+∠CFG＝180°，
∴∠AEG+∠EGM+∠MGF+∠CFG＝360°，
即∠AEG+∠EGF+∠CFG＝360°，
∵∠EGF＝60°，
∴∠AEG+∠CFG＝300°．
∵∠AEG＝α，∠CFG＝β，
∴α+β＝300°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
56．已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝ 146° ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
【思路点拔】（1）作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP∥a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF＝∠ACP+∠PCB＝90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【解答】解：（1）如图，作CP∥a，
∵a∥b，CP∥a，
∴CP∥a∥b，
∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝146°．
故答案为：146°；
（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：
如图，作CP∥a，则CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∵∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠OPN+∠NPQ＝∠GOP+∠PQF，
∵∠GOC＝∠GOP+∠POQ＝135°，
∴∠GOP＝135°﹣∠POQ，
∴∠OPQ＝135°﹣∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴135°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
综上所述，∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系是∠OPQ＝135°﹣∠POQ+∠PQF或135°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
【点评】本题考查平行线的性质的运用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
57．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是 30° ．
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝ 120° ．
【思路点拔】（1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；
（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；
（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；
故答案为：30°；
（2）∵BE⊥CP，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CBE＝70°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，
∵AD⊥CP，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；
（3）∵∠ADP是△ACD的外角，
∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，
同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，
∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，
故答案为：120°．
【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直的定义，解本题的关键是充分利用直角三角形的性质：两锐角互余，是一道比较简单的综合题．
58．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由；
（2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 ③ ；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）
（3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D．
①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 ④ （填写序号），并说明理由；
②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数．
【思路点拔】（1）求出∠C的度数，根据“准直角三角形”的定义判断即可；
（2）根据“准直角三角形”的定义，再结合三角形内角和判断即可；
（3）①根据“准直角三角形”的定义判断，将其他角度表示出来即可；
②注意分类讨论，由（2）得“准直角三角形”是钝角三角形，则可以钝角为依据进行分类讨论，另外，同时注意是哪个角的两倍，再进行分类讨论．
【解答】解：（1）是，理由如下
∠A＝100°，∠B＝70°，则∠C＝180°﹣100°﹣70°＝10°，
则2∠C+∠B＝90°
∴△ABC是“准直角三角形”；
（2）若△ABC是“准直角三角形“，
则可设2∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠A＜90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＞90°，
∴△ABC为钝角三角形．
故答案为：③．
（3）①∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴2∠A+∠ABD＝50°+40°＝90°，
∴△ABD是“准直角三角形”，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝80°，∠ADE＝∠C＝75°，∠A＝25°，△AED不满足“准直角三角形”条件，
∵∠EBD＝∠EDB＝40°，
∴∠BED＝100°，△BED不满足“准直角三角形”条件，
∵∠DBC＝40°，∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣40°﹣75°＝65°，△BDC不满足“准直角三角形”条件，
故答案为：④．
②由（2）△BFD一定为钝角三角形，
当∠ADB为钝角时，
若2∠BFD+∠FBD＝90°，
由①得△ABD是“准直角三角形”，
∴当F与A重合时，△BFD为“准直角三角形”，
此时∠DFB＝∠DAB＝25°；
若2∠FBD+∠BFD＝90°，
∵∠FBD＝40°，
∴∠DFB＝10°；
当∠BFD为钝角时，此时F点在线段AB上，
若2∠FDB+∠FBD＝90°时，∠FDB＝25°，
∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝115°；
若2∠FBD+∠FDB＝90°，∠FDB＝10°，
∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝130°；
当∠DBF为钝角时，此时F点在AB的延长线上，
∵∠FBD＝140°，
∴∠BFD+∠BDF＝40°，
若2∠BDF+∠DFB＝90°，
则∠BDF＝50°，与题设矛盾，舍去；
综上，∠DFB的度数为130°或者115°或者25°或者10°．
【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，根据”准直角三角形“的定义去解题是本题的关键．
59．如图，已知△ACD和△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＞CE．
（1）①若∠DCE＝60°，则∠ACB的度数为 120° ；
②若∠ACB＝α，则∠DCE的度数可表示为 180°﹣α （用含α的式子表示）；
（2）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）若∠A＝55°，∠E＝∠B＝45°，当∠ACE＜90°时，△ACD和△BCE中是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）①根据互为余角以及角的和差关系可得答案；②根据互为余角以及角的和差关系可得答案；
（2）根据互为余角以及角的和差关系得出答案；
（3）根据两个三角形不同的边平行，由平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝120°，
故答案为：120°；
②∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∠ACB＝α，
∴∠ACE＝α﹣90°，
∴∠DCE＝90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α，故答案为：180°﹣α；
（2）∠ACB＝180°﹣∠DCE，理由如下：
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣90°，
即90°﹣∠DCE＝∠ACB﹣90°，
∴∠ACB＝180°﹣∠DCE；
（3）如图1，当BC∥AD时，
∴∠A+∠ACB＝180°，
∵∠A＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE
＝125°﹣90°
＝35°；
当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°，
如图2，当CE∥AD时，
∠ACE＝∠A＝55°；
如图3，当BE∥AD时，
∠ACE＝∠A﹣∠E
＝55°﹣45°
＝10°，
综上所述，当△ACD和△BCE中有一组边平行，∠ACE角度为10°或35°或45°或55°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，互为余角，掌握平行线的性质，互为余角、互为补角的定义以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
60．如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥AB于E点．
（1）连接CE，求证：BD垂直平分CE；
（2）作AF平分∠BAC交BD于点F，连接CF、EF，求证：∠CFE＝∠ACB+∠ABC．
【思路点拔】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，证明Rt△BCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质得到BC＝BE，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（2）证明△CBF≌△EBF，得到∠FCB＝∠FEB，进而得出∠CAB+∠CEF＝180°，根据三角形内角和定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∠BCA＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE，
∵DC＝DE，BC＝BE，
∴BD垂直平分CE；
（2）在△CBF和△EBF中，
，
∴△CBF≌△EBF（SAS），
∴∠FCB＝∠FEB，
∵BD平分∠ABC，AF平分∠BAC，
∴CF平分∠ABC，
∴∠FCB＝∠FCA，
∴∠FCA+∠AEF＝180°，
∴∠CAB+∠CEF＝180°，
∵∠CAB+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠CFE＝∠ACB+∠ABC．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
《直角三角形》提升训练题
一．选择题（共21小题）
1．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．0.3km B．0.6km C．1km D．2.4km
2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BDC＝（ ）
A．40° B．55° C．60° D．65°
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．22.5° D．60°
4．如图，一架6米长的梯子AB斜靠在竖直的墙OA上，OB在地面上，M为AB的中点，当梯子的上端A沿墙壁下滑时，OM的长度将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，若AC＝6，BC＝10，则AD的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠BAD＝35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．将一副三角板按如图所示摆放，点F恰好是DE边中点，则∠DGC的度数为（ ）
A．150° B．155° C．160° D．165°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度2cm和8cm，则AD的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，DE＝5，则AD＝（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
11．如图，在 Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若∠A＝22.5°，则∠DCE的度数为（ ）
A．30° B．55° C．50° D．45°
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连接BE，BF，EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为（ ）
A．14° B．16° C．18° D．20°
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CE是AB边上的中线，与AD交于点F．若∠B＝40°，则∠AFC的度数为（ ）
A．110° B．105° C．100° D．95°
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，D为BC上一点，且满足AD＝CD，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则△ABF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED．若BC＝6，AE＝4．则DE为（ ）
A．4 B．2.5 C．3 D．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
17．如图，△ABC的三个顶点在一组平行线上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．30°+α B．45°+α C．90°﹣α D．60°﹣α
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．39° B．51° C．38° D．52°
19．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
20．如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
21．如图，在平面内，一组平行线穿过△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．45°
二．填空题（共5小题）
22．如图，在四边形AECD中，∠EAD＝90°，AD∥EC，F为DE的中点，∠DEC＝25°，则∠FAD的大小是 ．
23．如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连接EF，OE，若∠EAF＝50°，则∠OEF＝ ．
24．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，则DE的长为 ．
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．∠ACD＝3∠BCD，E是斜边中点，则∠ECD＝ °．
26．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 ．
三．解答题（共34小题）
27．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，EF平分∠BED．求证：EF⊥BD．
28．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，DE＝m，求BC的长．（用含有m的代数式表示）
29．已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
求证：①BM＝DM；②MN⊥BD．
30．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，求CD．
31．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，连接AD、BC，E、F分别为BC、AD的中点，连接BF．
（1）求证：AB∥EF．
（2）猜想线段AB、CD、EF之间的数量关系并证明．
32．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A．
33．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点．
（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADC＝45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由．
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，CD是斜边上的中线，CE是高，F是CD的中点，连接EF．
（1）求线段CD的长；
（2）求证：△EDF是等边三角形．
35．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．
（1）求证：DH＝EF；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
36．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD＝BD，EF＝6，DE＝8，求CD的长．
37．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证：
（1）G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE．
38．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连结AM．求线段AM，DM，BC之间的数量关系．
39．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若∠BAD＝30°，AC＝10，求BD的长．
40．如图1，已知△ABC为直角三角形，∠BCA＝90°，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是AB的中点，连接DE，M为ED的中点，连接CM、AD．
（1）试判断CM与ED的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AED＝105°，请求出∠BAC的度数；
（3）如果将题中“在BC的延长线上取一点D“改为“在CB的延长线上取一点D”，其余条件不变．如图2所示，若∠AED＝165°，请求出∠BAC的度数．
41．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．
（1）连接DE，求证：BD＝DE；
（2）若∠ABE＝25°，求∠BEC的度数．
42．直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．
（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．试说明：EF∥GH；
（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH．求∠ECA的度数；（用α的代数式表示）
（3）在（2）的前提下，直线CD平分∠FCA交直线GH于D，如图3．在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化请求出变化的范围．
43．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1：∠2＝1：2，求∠ADC的度数．
（2）如图2，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC＝120°，∠BGC＝108°，求∠A的度数．
44．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：∠1＝ °，∠2＝ °．
（2）如图2，现将三角板绕点B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠1＝ °，∠2＝ °．（结果用含n的代数式表示）；
②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．
（3）如图1三角板ABC的放置，现将AB绕点A以每秒1°的转速逆时针旋转，同时CF绕点C以每秒2°的转速顺时针旋转，当CF第一次旋转回到起点时，CF、AB均停止转动，设旋转时间为t（s）．请求出当t为何值时，AB∥CF．
45．已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．
（1）在△ABC中，∠ACB＝ °，∠BDC＝ °；
（2）在旋转过程中，如图2，当α＝ °时，DE∥AC；当α＝ °时，DE⊥AC；
（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．
①此时，α的取值范围是 ；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．
46．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系．
（2）当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°，
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
47．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝48°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
48．已知△ABC与△ADE共顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，顶点B和C在直线l1上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线l2上（点D在点E的左侧），且直线l1∥l2．
（1）如图1，顶点A在l1与l2之间，判断∠BAD与∠ABC+∠ADE是否相等，并说明理由．
（2）如图2，顶点A在l1与l2之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若∠BAD＝70°，求∠BFE的度数．
（3）若顶点A在直线l2的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记∠BAD＝α，∠BFE＝β，请探究α与β的数量关系，并直接写出结论．
49．【从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅批改第1题．其中第1题满分为6分，第2题满分为9分】
第1题：如图，AB∥CD，∠BAE＝∠DCE＝45°．判断△ACE的形状，并说明理由．
第2题：如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，在AB上取AE＝AC，连接CE，作AD⊥CE于点D，交BC于点F．设∠B＝α．
（1）用含α的代数式表示∠AEC为 ，当∠BCE＝30°时，α＝ °；
（2）判断BC与AD的数量关系，并说明理由．
50．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠CEF＝∠CFE；
（2）若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
51．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，∠CFE与∠CEF的数量关系为 ．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E．探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系．
52．如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC、AB分别交于D、E两点，直线b与边BC、AC分别交于F、G两点，且a∥b．
（1）若∠AED＝44°，求∠BFG的度数；
（2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠DEB＝m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点P，连结PE、PQ，请直接写出∠PEQ、∠EPQ、∠PQF的数量关系（用含m的式子表示）．
53．小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
54．如图，在△ABC中，∠C＝90°，顶点B在直线PQ上，顶点A在直线MN上，BC平分∠PBA，AC平分∠MAB．
（1）求证：PQ∥MN；
（2）求∠QBC+∠NAC的度数．
55．如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB∥CD．若∠EFG＝90°，∠FEG＝30°，∠EGF＝60°．
（1）当∠2＝2∠1时，求∠1的度数．
（2）设∠AEG＝α，∠CFG＝β，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．
56．已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝ ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
57．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是 ．
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝ ．
58．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由；
（2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 ；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）
（3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D．
①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 （填写序号），并说明理由；
②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数．
59．如图，已知△ACD和△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＞CE．
（1）①若∠DCE＝60°，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝α，则∠DCE的度数可表示为 （用含α的式子表示）；
（2）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）若∠A＝55°，∠E＝∠B＝45°，当∠ACE＜90°时，△ACD和△BCE中是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
60．如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥AB于E点．
（1）连接CE，求证：BD垂直平分CE；
（2）作AF平分∠BAC交BD于点F，连接CF、EF，求证：∠CFE＝∠ACB+∠ABC．
