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《圆》提升训练题
参考答案与试题解析
一．选择题（共33小题）
1．如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠AOB＝∠A+∠B B．∠AOB＝2（∠A+∠B）
C．∠AOB＝90°﹣（∠A+∠B） D．∠AOB＝180°﹣2（∠A+∠B）
【思路点拔】连接CO并延长交⊙O于D，根据OA＝OB＝OC得∠A＝∠OCA，∠B＝∠OAB，再根据三角形外角定理得∠AOD＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BOD＝∠B+∠OAB＝2∠B，则∠AOD+∠BOD＝2（∠A+∠B），据此即可得出结论．
【解答】解：连接CO并延长交⊙O于D，如下图所示：
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠OCA，∠B＝∠OAB，
∴∠AOD＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BOD＝∠B+∠OAB＝2∠B，
∴∠AOD+∠BOD＝2（∠A+∠B），
即∠AOB＝2（∠A+∠B）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆的有关概念及其性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握圆的有关概念及其性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键．
2．已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【思路点拔】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8，即直径为8，
∴⊙O的半径为4．
故选：A．
【点评】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
3．下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径
B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧
D．弧分为优弧和劣弧
【思路点拔】根据直径的定义对A、B选项进行判断；根据等弧的定义对C选项进行判断；根据弧的分类对D选项进行判断．
【解答】解：A．经过圆心的弦是直径，所以A选项不符合题意；
B．直径是同一个圆中最长的弦，所以B选项符合题意；
C．能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以C选项不符合题意；
D．弧分为半圆、优弧和劣弧，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解决问题的关键．
4．已知⊙O的半径3，则⊙O中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
5．若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】根据直径是最长的弦即可求解．
【解答】解：∵若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，
∴AB的长不可能是5，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．
6．下列图形为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据圆的定义分析即可．
【解答】解：根据题意得，B图形为圆．
故答案为：B．
【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”是解题的关键．
7．下列判断正确的是（ ）
A．两端点都在圆上的线段叫作直径
B．通过圆心的线段叫作直径
C．在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径
D．所有圆的直径都相等
【思路点拔】根据圆的直径的定义进行分析解答．
【解答】解：A、两端点都在圆上且经过圆心的线段叫作直径，故不符合题意；
B、经过圆心的弦叫直径，故不符合题意；
C、在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径，故符合题意；
D、所有等圆的直径都相等，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
8．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ）
A．半径是3厘米 B．直径是3厘米
C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米
【思路点拔】根据确定圆的条件确定答案即可．
【解答】解：∵两脚间的距离是3厘米，
∴圆的半径为3厘米，周长为6π厘米，面积为9π平方厘米，
故选：A．
【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解张开的圆规的两脚间的距离为圆的半径，难度不大．
9．已知点A、B，且AB＞4，画经过A、B两点且半径为2的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【思路点拔】根据圆的定义，经过A、B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，则利用AB的长可判断AB垂直平分线上点到点A和B的距离都大于2，所以经过A、B两点且半径为2的圆没有．
【解答】解：经过A、B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，
而AB＞4，
所以AB垂直平分线上点到点A和B的距离都大于2，
所以经过A、B两点且半径为2的圆没有．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的认识：圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
10．下列说法正确的是（ ）
A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧
C．直径是弦 D．弦是直径
【思路点拔】根据圆的有关定义进行判断即可．
【解答】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原命题错误，不符合题意；
B、优弧大于半圆，故原命题错误，不符合题意；
C、直径是弦，正确，符合题意；
D、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义，难度不大．
11．下列结论不正确的是（ ）
A．圆心也是圆的一部分
B．一个圆中最长的弦是直径
C．圆是轴对称图形
D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆
【思路点拔】根据圆的定义与圆的性质进行分析判断．
【解答】解：A、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，所以圆心不是圆的一部分，符合题意；
B、一个圆中最长的弦是直径，不符合题意；
C、圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线，不符合题意；
D、能完全重合的弧叫等弧，因此只有在同圆或等圆中才有等弧，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的认识，轴对称图形，圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
12．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【思路点拔】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB＝＝＝6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．圆片向右滚动一周后的位置如图，这个圆片的直径大约是（ ）cm．
A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定
【思路点拔】由圆周长公式，即可解决问题．
【解答】解：由图可以看出圆的周长大约是3.15cm，由圆周长公式C＝πR，得到圆片的直径大约是1cm．
故选：B．
【点评】本题考查圆的周长，关键是掌握圆周长公式．
14．以下说法正确的是（ ）
A．半圆是弧
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形
D．两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直．
【思路点拔】根据半圆的定义对A选项进行判断；根据平行线的性质对B选项进行判断；根据正多边形的定义对C选项进行判断；根据两直线垂直的定义对D选项进行判断．
【解答】解：A．半圆是弧，所以A选项符合题意；
B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项不符合题意；
C．所有角的度数都相等，所有的边都相等的多边形叫做正多边形，所以C选项不符合题意；
D．两直线相交形成的四个角中有一个角为直角，则这两条直线互相垂直，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念是解决问题的关键．也考查了对顶角、内错角、同位角和多边形．
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
A．42° B．29° C．21° D．20°
【思路点拔】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
16．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（ ）
A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定
【思路点拔】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：∵点P在⊙O外，
∴d＞3．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
17．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．a D．b
【思路点拔】根据点P在圆外可知a﹣b即为圆的直径，进而可得出结论．
【解答】解：∵点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，
∴⊙O的半径为．
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r是解题的关键．
18．已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【思路点拔】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断．
【解答】解：∵点A是⊙O外一点，
∴OA＞6，
∴OA的长可能为8．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
19．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x+4＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的外部 B．⊙O的内部 C．⊙O上 D．无法判断
【思路点拔】先求出方程x2﹣4x+4＝0的根，再利用点与圆的位置关系解答即可．
【解答】解：x2﹣4x+4＝0可化为（x﹣2）2＝0，
解得x＝2，
∴OP＝2，
∵2＜4，
∴点P在⊙O内．
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，解一元二次方程，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r；②点P在圆上 d＝r；①点P在圆内 d＜r是解题的关键．
20．⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，则AO的长可以是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【思路点拔】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拔】先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝＝6，
∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴6＜r＜10，
∴r的值可能是8．
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r； ②点P在圆上 d＝r；③点P在圆内 d＜r是解题的关键．
22．⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（ ）
A．d＞5 B．d＜5 C．d＝5 D．d＝10
【思路点拔】根据直线l和⊙O相交 d＜r，判断即可得到问题的选项．
【解答】解：∵⊙O的直径为10
∴⊙O的半径为5，
∵直线l与⊙O相交，
∴圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交 d＜r②直线l和⊙O相切 d＝r③直线l和⊙O相离 d＞r．
23．已知⊙O的半径是5，若OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
【思路点拔】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外 d＞r；②点P在圆上 d＝r；③点P在圆内 d＜r．根据⊙O的半径是5，OA＝3知d＜r，据此可得答案．
【解答】解：∵⊙O的半径是5，OA＝3，
∴d＜r，
∴点A在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的3种位置关系是解题的关键．
24．已知⊙O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定
【思路点拔】根据点与圆的位置关系的判定方法对点A与⊙O的位置关系进行判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为6，OA＝8，
∴点A到圆心的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r是解题的关键．
25．已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】根据点与圆的位置关系得出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为7，点A在⊙O外，
∴OA＞7，
∵5、6、7都不符合，只有8符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定
【思路点拔】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∵AC＝6＜BC，
∴点A在⊙C内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
27．已知⊙O的半径为3，点P与⊙O在同一平面内，且OP＝5，则点P与⊙O的关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【思路点拔】根据点到圆心的距离和半径的大小关系，可以判断出点P和⊙O的关系．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P与⊙O在同一平面内，且OP＝5，3＜5，
∴点P与⊙O的关系是点P在⊙O外，
故选：C．
【点评】本题考查考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确点与圆的位置关系取决于点到圆心的距离和半径的大小关系．
28．已知⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（0，0），点P的坐标是（5，5），那么点P与⊙A的位置关系是（ ）
A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A上 C．点P在⊙A外 D．无法确定
【思路点拔】根据圆心A的坐标是（0，0），点P的坐标是（5，5），可以求得AP的长，然后用AP的长与圆的半径比较大小即可判断点P与⊙A的位置关系．
【解答】解：∵圆心A的坐标是（0，0），点P的坐标是（5，5），
∴AP＝＝5，
∵⊙A的半径为5，5＞5，
∴点P与⊙A的位置关系是点P在⊙A外，
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出AP的长．
29．已知点P与⊙O在同一平面内，⊙O的半径为6，若PO＝8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上
C．点P在圆外 D．点P在圆上或圆外
【思路点拔】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为6，若PO＝8，
∴8＞6，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
30．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦
C．弧是半圆 D．三点确定一个圆
【思路点拔】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；
B、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
C、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了确定圆的条件及圆的认识，解题的关键是了解圆的有关的定义及性质，难度不大．
31．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据不共线的三点确定一个圆可得答案．
【解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个，
故选：C．
【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
32．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【思路点拔】根据等圆、等弧的概念、确定圆的条件判断即可．
【解答】解：①半径相等的圆是等圆，说法正确；
②长度相等的弧不一定是等弧，故本小题说法错误；
③以2cm长为半径的圆有无数个，说法正确；
④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，故本小题说法错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握等圆、等弧的概念、确定圆的条件是解题的关键．
33．已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【思路点拔】作AB的垂直平分线，在垂直平分线上找到A、B两点距离为2的点，该点有两个．
【解答】解：根据题意作图如右，
由图可知经过A，B两点且半径为2的圆有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查确定圆的条件的知识点，此题不是很难，但需要有较强的作图能力．
二．多选题（共1小题）
（多选）34．下列说法正确的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
【思路点拔】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．
【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确，符合题意；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确，符合题意；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误，不符合题意；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确，符合题意；
故选：ABD．
【点评】本题考查圆的认识，关键要注意区分：弦与直径，弧与半圆之间的关系．
三．填空题（共8小题）
35．如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A＝60°，则CB＝ ．
【思路点拔】作圆的直径BD，连接CD，由圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，由锐角的正弦即可求出BC的长．
【解答】解：作圆的直径BD，连接CD，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A＝60°，
∴sinD＝＝，
∵圆O的半径为1，
∴BD＝2，
∴BC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线，构造直角三角形．
36．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，直线EF与AD交于点P，若PA＝2，则△ABC外接圆的面积为 4π ．
【思路点拔】利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出P点即为△ABC外接圆的圆心，进而求出其面积．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边中线，
∴AD垂直平分BC，
∵分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，
∴EF垂直平分AC，
∴点P即为△ABC外接圆圆心，
∴AP为△ABC外接圆半径，
∴△ABC外接圆的面积为：4π．
故答案为：4π．
【点评】此题主要考查了三角形的外心，得出P点即为△ABC外接圆圆心是解题关键．
37．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是 3 ．
【思路点拔】根据O为△ABC的外心，可得OA＝OB＝OC，从而以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交格点为点B，点C，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：如图：连接OA，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交格点为点B，点C，
由题意得：BC＝＝3，
∴BC的长度是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
38．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝5，BC＝8，⊙O的半径长等于 ．
【思路点拔】连接OA，根据AB＝AC得出＝，再由AO过圆心得出AD垂直并平分BC，根据勾股定理求出AD的长，设OB＝r，则OD＝r﹣3，在Rt△BOD中根据勾股定理可得出r的值，进而得出结论．
【解答】解：连接AO交BC于D，
∵AB＝AC，
∴＝，
又∵AO过圆心，
∴AD垂直并平分BC，
∴BD＝CD＝4．
∵AB＝5，
∴AD＝＝＝3．
设OB＝r，则OD＝r﹣3，
在Rt△BOD中，OD2+BD2＝OB2，即（r﹣3）2+42＝r2，
解得r＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和垂径定理是解题的关键．
39．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝AC＝13，BC＝10，则⊙O的半径为 ．
【思路点拔】连接OB，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设OB＝OA＝r，则OM＝12﹣r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接AO并延长交BC于点M，连接OB，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵A M过圆心，
∴AM⊥BC；
∴，
∵AB＝13，
∴，
设OB＝OA＝r，则OM＝12﹣r，
∵OB2＝BM2+OM2，
∴r2＝52+（12﹣r）2，
解得，
故⊙O的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质．掌握三角形的外接圆与外心的性质是关键．
40．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝2，则⊙O的直径为 2 ．
【思路点拔】连接OB，OC，证△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO＝CO＝，进而得出⊙O的直径．
【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
又∵BC＝2，
∴BO＝CO＝BC＝，
∴⊙O的直径为2
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
41．△ABC的边AB＝8，边AC，BC的长是一元二次方程m2﹣16m+60＝0的两根，则△ABC的外接圆的半径是 5 ．
【思路点拔】根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得△ABC是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．
【解答】解：∵m2﹣16m+60＝0，
（m﹣10）（m﹣6）＝0，
解得：m1＝10，m2＝6，
∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，且斜边长为10，
∵直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，
∴△ABC的外接圆半径为，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握其性质是解决此题的关键．
42．在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为 25πcm2 ．
【思路点拔】先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半可得出外接圆的半径，进而得出其面积．
【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
∴外接圆的半径＝5cm，
∴S外接圆＝25π（cm2）．
故答案为：25πcm2．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与外心，勾股定理，经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
四．解答题（共18小题）
43．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：AC＝BC；
（2）连接AO并延长交BC于点E，若AO＝5，OF＝3，求OE的长．
【思路点拔】（1）根据垂径定理即可得出点C为弧AB的中点，再根据弧、弦、圆心角的关系定理即可证得；
（2）延长AE交⊙O于点G，连接BG，先证FC∥GB，得到△COE∽△BGE，再求出OC、OG、BG的长，即可求出OE的长．
【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴AC＝BC；
（2）解：延长AE交⊙O于点G，连接BG，
∵AG为直径，
∴∠ABG＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ABG＝∠AFC，
∴FC∥BG，
∴△COE∽△BGE，
∴，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AF＝BF，
即点F为AB的中点，
∵点O为AG的中点，
∴OF为△ABG的中位线，
∴OF＝，
∵OF＝3，
∴GB＝6，
∵AO＝5，
∴OC＝OG＝5，
∴，
∴OE＝．
【点评】本题考查了圆周角定理及推论，垂径定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点比较多，需熟练掌握．
44．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：
（1）边BC的长；
（2）⊙O的半径．
【思路点拔】（1）利用垂径定理的推论可判断CD垂直平分AB，所以CB＝CA＝4；
（2）连接OB，如图，先证明ABC为等边三角形得到∠A＝60°，利用圆周角定理得到∠BOC＝120°，则∠BOD＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB即可．
【解答】解：（1）∵E点为的中点，CE为直径，
∴CE⊥AB，
∴AD＝BD，
即CD垂直平分AB，
∴CB＝CA＝4；
（2）连接OB，如图，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠BOD＝60°，
在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，
∴OD＝BD＝，
∴OB＝2OD＝，
即⊙O的半径为．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
45．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，过A、B、D三点的圆交BC于点F，交AC于点E．
（1）求证：四边形ABFD为矩形；
（2）若AB＝5，BC＝10，DE＝3，求AD的长．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质得到∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°，求得∠ADF＝180°﹣∠ABC＝90°，于是得到∠ABC＝∠BAD＝∠ADF＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形ABFD为矩形；
（2）根据勾股定理得到AC＝＝5，连接BD，BE，根据圆内接四边形的性质得到∠BED＝180°﹣∠BAC＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠ADF＝90°，
∴四边形ABFD为矩形；
（2）解：∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，
∴AC＝＝5，
连接BD，BE，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠BED＝180°﹣∠BAC＝90°，
∴∠BED＝∠ABD，∠BAC＝∠BDE，
∴△ABC∽△DEB，
∴，
∴，
∴BD＝3，
∴AD＝＝2．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
46．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，AD为⊙O的直径，BF⊥AC于点F，交AD于点E，交⊙O于点G，连接DG．
（1）求证：EF＝FG；
（2）若OE＝1，DG＝8，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OB，OC，AG，先证明△AOB≌△AOC（SSS）得∠BAO＝∠CAO，得AD⊥BC，且AD平分BC，再证明AF＝AG，根据等腰三角形的性质进一步证明EF＝FG；
（2）设⊙O的半径为R，求出AG＝AE＝R+1，在Rt△AGD中，AG＝R+1，DG＝8，AD＝2R，由勾股定理列方程，求出R的值即可．
【解答】（1）证明：连接OB，OC，AG，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，且AD平分BC，
设AD与BC的交点为M，则∠AMC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，
∵BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∴∠DAC+∠AEG＝90°，
∴∠ACB＝∠AEG，
又∵弦AB所对的圆周角为∠ACB，∠AGB，
∴∠AEG＝∠AGB，
∴AE＝AG，
又∵AF⊥EG，
∴EF＝FG；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∵AD是直径，
∴∠AGD＝90°，
∵AO＝R，OE＝1，
∴AE＝AO+OE＝R+1＝AG，
在Rt△AGD中，AG＝R+1，DG＝8，AD＝2R，
∵AG2+DG2＝AD2，
即（R+1）2+82＝（2R）2，
解得，R＝5或（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用：
47．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
【思路点拔】连接AO，BO，由圆周角定理求得∠AOB＝90°，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
在Rt△AOB中，
OA2+OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，
∴2OA2＝4，
OA2＝2，
∴OA＝ （舍负），
∴⊙O的半径是 ．
【点评】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，解决问题的关键是由圆周角定理求得∠AOB＝90°．
48．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC＝60°，求弧BC的长度．
（2）连接BD，求证：DE＝DB．
【思路点拔】（1）设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，由圆周角定理得出∠BOC＝120°，再由弧长公式即可得出结果；
（2）连接BE，由三角形的内心得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB＝∠DBE，即可得出结论．
【解答】（1）解：设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OB、OC，如图1所示：
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴弧BC的长度＝＝．
（2）证明：连接BE，如图2所示：
∵E是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠DEB＝∠1+∠3，∠DBE＝∠4+∠5
∠5＝∠2，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB．
【点评】本题考查了三角形的外心与内心、圆周角定理、弧长公式、三角形的外角性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键．
49．工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．
（1）请用尺规作图在图上作出该图；
（2）测量直角三角形的两直角边AC＝1.2m，BC＝1.6m，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？
【思路点拔】（1）分别作线段AC，BC的垂直平分线，交AB于点O，以O为圆心，AB 长为半径画圆即可；
（2）利用勾股定理求出AB＝2m，即为所需正方形的版的最小边长，即而求出面积．
【解答】解：（1）即为所作．
（2）∵AC＝1.2m，BC＝1.6m，∠ACB＝90°，
∴，
∴所需要正方形板的最小面积是22＝4（m2）．
【点评】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理等知识，作垂直平分线和得出AB＝2是解题关键．
50．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，求弦DC的长．
【思路点拔】利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝90°，则可计算出∠CAD＝30°，∠CBD＝∠CAD＝30°，∠ADB＝∠BDC＝×60°＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先计算出BD，从而可得到CD的长．
【解答】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，
又∵∠BAC＝120°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝×60°＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝×6＝2，BD＝2AB＝4，
在Rt△BCD中，CD＝BD＝2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
51．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．
【思路点拔】先利用互余计算出∠B＝65°，再利用半径相等得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠B＝65°，然后利用三角形外角性质计算∠DCE的度数．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠DCE+∠A，
∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．
【点评】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等组成等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题．
52．如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
【思路点拔】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．
【解答】解：连接OD．
∵OC⊥AB DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴EF＝OD．
∵OD＝OA
∴EF＝OA＝4．
【点评】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形DFOE为矩形．
53．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．
【思路点拔】判断出四边形OFDE是矩形，然后根据矩形的对角线相等求出圆的半径，再解答即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴OD＝EF＝3，
∴AB＝6．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把EF转化为OD是解题的关键．
54．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，判断直线DE与图形G的位置关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）由题意，图形G是△ABC的外接圆（即⊙O），利用圆周角定理即可解决问题．
（2）结论：DE是⊙O的切线．利用垂径定理的推论证明BC是直径，证明DE⊥OD即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
由题意，图形G是△ABC的外接圆（即⊙O），
∵∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴AD＝CD．
（2）解：结论：DE是⊙O的切线．
理由：如图2中，连接OD．
∵AD＝CM，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵BC⊥DM，
∴BC是⊙O的直径，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠ABD＝∠DBO，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴AB∥OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
【点评】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
55．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
【思路点拔】由，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，再利用圆周角定理求出∠BCA，然后由三角形的内角和得到∠OAC．
【解答】解：∵OB＝OC∴∠OCB＝∠OBC＝40°
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+100°＝150°
又∵OA＝OC∴∠OAC＝＝15°
【点评】本题考查了圆的有关定义及三角形的内角和定理，解题的关键是能够利用好圆周角定理，难度不大．
56．已知：如图，E是菱形ABCD内一点，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足为点F，且DF＝CE，联结AE．
（1）求证：菱形ABCD是正方形；
（2）当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的⊙A上．
【思路点拔】（1）先利用HL证明Rt△BCE≌Rt△CDF，可证得∠BCD＝90°，进而可证明结论；
（2）连接AF，ED，利用SAS证明△ABE≌△AFE可得AF＝AB，进而可证明结论．
【解答】（1）证明：∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF+∠FCD＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠CFD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，
在Rt△BCE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠FCD＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴菱形ABCD为正方形；
（2）连接AF，ED，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∵F为CE的中点，DF⊥CE，
∴DF是CE的垂直平分线，
∴DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠DEC+∠DCE+∠CDE＝180°，
∴∠AED＝，∠DEC＝，
∴∠AEF＝∠AED+∠DE＝180°﹣（∠ADE+∠CDE）＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠AEF＝∠AEB，
∵△BCE≌△CDF，
∴BE＝CF＝FE，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴AB＝AF，
∴点F在以AB为半径的⊙A上．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，菱形的性质，正方形的判定与性质，证明相关三角形全等是解题的关键．
57．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A，若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围．
【思路点拔】利用勾股定理求得AC，然后根据d＞r时，点在圆外可得答案．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝8，
∵D是BC的中点，
∴AD＝BC＝5，
∵点B，D，C均在⊙A外，
∴0＜r＜5．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
58．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E．
（1）求DE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【思路点拔】（1）先利用勾股定理计算出AC，再利用面积法计算出DE；
（2）利用B、C、D、E到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵AC DE＝DC AD，
∴DE＝＝；
（2）∵AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
59．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为 28 cm2；
（2）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值．
【思路点拔】（1）由矩形的性质得出AD＝BC＝12cm，CD＝AB＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由题意得出AP＝2cm，BQ＝4cm，BP＝AB﹣AP＝4cm，CQ＝BC﹣BQ＝8cm，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（2）证出A、P、D三点在以DP为直径的圆上，由圆周角定理得出∠PQD＝90°，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12cm，CD＝AB＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由题意得：AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t）cm，
当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，BP＝AB﹣AP＝4cm，CQ＝BC﹣BQ＝8cm，
∴△DPQ的面积＝12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8＝28（cm2），
故答案为：28；
（2）∵∠A＝90°，
∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°，
∵PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，DQ2＝62+（12﹣2t）2，DP2＝t2+122，PQ2+DQ2＝DP2，
∴（6﹣t）2+（2t）2+62+（12﹣2t）2＝t2+122；
解得t1＝6，t2＝，
∴当t＝6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理、等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
60．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【思路点拔】（1）先利用勾股定理计算出AC和BD，再利用面积法计算出AF、DE，然后根据勾股定理计算出AE；
（2）利用B、C、D、E、F到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵AF BD＝AB AD，
∴AF＝＝，
同理可得DE＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．中小学教育资源及组卷应用平台
《圆》提升训练题
一．选择题（共33小题）
1．如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠AOB＝∠A+∠B B．∠AOB＝2（∠A+∠B）
C．∠AOB＝90°﹣（∠A+∠B） D．∠AOB＝180°﹣2（∠A+∠B）
2．已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径
B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧
D．弧分为优弧和劣弧
4．已知⊙O的半径3，则⊙O中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．下列图形为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列判断正确的是（ ）
A．两端点都在圆上的线段叫作直径
B．通过圆心的线段叫作直径
C．在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径
D．所有圆的直径都相等
8．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（ ）
A．半径是3厘米 B．直径是3厘米
C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米
9．已知点A、B，且AB＞4，画经过A、B两点且半径为2的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
10．下列说法正确的是（ ）
A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧
C．直径是弦 D．弦是直径
11．下列结论不正确的是（ ）
A．圆心也是圆的一部分
B．一个圆中最长的弦是直径
C．圆是轴对称图形
D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆
12．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
13．圆片向右滚动一周后的位置如图，这个圆片的直径大约是（ ）cm．
A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定
14．以下说法正确的是（ ）
A．半圆是弧
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形
D．两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直．
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
A．42° B．29° C．21° D．20°
16．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（ ）
A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定
17．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．a D．b
18．已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
19．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x+4＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的外部 B．⊙O的内部 C．⊙O上 D．无法判断
20．⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，则AO的长可以是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
22．⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（ ）
A．d＞5 B．d＜5 C．d＝5 D．d＝10
23．已知⊙O的半径是5，若OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
24．已知⊙O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定
25．已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（ ）
A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定
27．已知⊙O的半径为3，点P与⊙O在同一平面内，且OP＝5，则点P与⊙O的关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．不能确定
28．已知⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（0，0），点P的坐标是（5，5），那么点P与⊙A的位置关系是（ ）
A．点P在⊙A内 B．点P在⊙A上 C．点P在⊙A外 D．无法确定
29．已知点P与⊙O在同一平面内，⊙O的半径为6，若PO＝8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上
C．点P在圆外 D．点P在圆上或圆外
30．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦
C．弧是半圆 D．三点确定一个圆
31．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
32．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
33．已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
二．多选题（共1小题）
（多选）34．下列说法正确的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
三．填空题（共8小题）
35．如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A＝60°，则CB＝ ．
36．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，直线EF与AD交于点P，若PA＝2，则△ABC外接圆的面积为 ．
37．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是 ．
38．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝5，BC＝8，⊙O的半径长等于 ．
39．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝AC＝13，BC＝10，则⊙O的半径为 ．
40．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝2，则⊙O的直径为 ．
41．△ABC的边AB＝8，边AC，BC的长是一元二次方程m2﹣16m+60＝0的两根，则△ABC的外接圆的半径是 ．
42．在Rt△ABC中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为 ．
四．解答题（共18小题）
43．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：AC＝BC；
（2）连接AO并延长交BC于点E，若AO＝5，OF＝3，求OE的长．
44．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：
（1）边BC的长；
（2）⊙O的半径．
45．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，过A、B、D三点的圆交BC于点F，交AC于点E．
（1）求证：四边形ABFD为矩形；
（2）若AB＝5，BC＝10，DE＝3，求AD的长．
46．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，AD为⊙O的直径，BF⊥AC于点F，交AD于点E，交⊙O于点G，连接DG．
（1）求证：EF＝FG；
（2）若OE＝1，DG＝8，求⊙O的半径．
47．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
48．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．
（1）当△ABC的外接圆半径为1时，且∠BAC＝60°，求弧BC的长度．
（2）连接BD，求证：DE＝DB．
49．工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．
（1）请用尺规作图在图上作出该图；
（2）测量直角三角形的两直角边AC＝1.2m，BC＝1.6m，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？
50．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，求弦DC的长．
51．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．
52．如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
53．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．
54．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，判断直线DE与图形G的位置关系，并说明理由．
55．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
56．已知：如图，E是菱形ABCD内一点，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足为点F，且DF＝CE，联结AE．
（1）求证：菱形ABCD是正方形；
（2）当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的⊙A上．
57．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A，若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围．
58．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E．
（1）求DE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
59．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为 cm2；
（2）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值．
60．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
