新人教版七年级数学暑假自学课第七讲 有理数的乘法（含解析）

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新人教版七年级数学暑假自学课
第七讲 有理数的乘法
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 两个有理数的乘法
1.有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；
点拨：.(1)若同号,则; (2)若异号,则;
2.有理数的乘法运算
有理数乘法的运算步骤:
(1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值;
例1-1 .如果a+b＜0，并且ab＞0，那么（ ）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＜0
例1-2 .计算的结果是（ ）
A． B．5 C． D．80
例1-3 .计算：
（1）3.7×3
（2）（+5.6）×（﹣1.2）
（3）（﹣3.48）×（﹣0.7）
知识点2倒数
乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负)
点拨:用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略, 如axb可以写成a.b或ab.
例2-1．2024相反数的倒数是( )
A. B. C.2024 D.
例2-2．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为( )
A. B. C.2 D.4
知识点3 多个有理数乘法
多个有理数相乘时，要根据负因数的个数先确定积的符号，再把绝对值相乘。
点拨（1）当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正
几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。
例3-1 .几个不是0的有理数相乘，它们的积的符号（ ）
A．由因数的个数决定 B．由正因数的个数决定
C．由负因数的个数决定 D．由负因数的大小决定
例3-2 .计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
例3-3 .的结果为（ ）
A． B． C．1 D．10
知识点4 有理数乘法的实际应用
读懂题意列出乘法算式，利用有理数乘法法则进行计算，得出结论。
例4-1．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
筐数 1 8 2 3 2 4
(1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
例4-2．某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示：
与标准质量的差/克
袋数/袋 4
(1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？
(2)若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？
例4-3．，新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前4天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负.文具店记录了这四天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
每支价格相对标准价格（元） +1 0 -1 -2
售出支数（支） 12 15 32 33
（1）填空：第一天售价是____________元，该天赚了____________元钱；
（2）求新华文具用品店这四天出售这种钢笔一共赚了多少钱；
（3）新华文具用品店为了促销这种钢笔，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5支钢笔，每支12元；若超过5支钢笔，则超过部分每支降价4元；方式二：每支售价9元.刘老师在该店购买10支钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱.
例4-4．2023年国庆节这一天宜昌某出租车公司为“普天同庆，回报社会”，出租车司机小周在东西向的夷兴大道上免费接送老年人，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，.
(1)最后一名老人送到目的地时，小周距出车地点的距离是多少？
(2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
知识点5 利用有理数乘法运算律简便运算
（1）乘法的交换律、结合律、分配律用字母表示分别为：ab=ba，(ab)c= a(bc)，a(b＋c)= ab＋ac.
（2）在应用乘法分配律时，应注意：①括号外的项要乘以括号内的每一项；②当括号外的项是负数时，一定要注意带上“－”号乘进去.
（3）乘法的运算律，可以推广到多个数的情况.
乘法交换律、结合律：abcd=b(ac)d
点拨
例5-1 .在算式：中，运用了（　　）
A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律
例5-3 .用简便方法计算： ．
例5-4. 阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ．
(2)结合上述解法给你的启发，计算：．
易错点点拨
易错点1 确定积的符号出错
例1 .（﹣3.48）×（﹣0.7）
．
易错点2 求倒数符号出错
例2 .的倒数是（ ）
A． B． C． D．
易错点3 乘法法则理解出错
下列说法正确的是（ ）
A 几个有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数有奇数个积为负。
B 几个有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数有偶数个积为正
C 几个有理数相乘，有一个因数为0，则积为0
D 乘以一个数等于除以这个数的倒数
易错点4 利用乘法运算律时出错
例4 计算题．
(1)（用简便方法计算）
(2)（用简便方法计算）
针对训练
1.两个有理数的乘法
1．计算的结果是（　　）
A. 2 B. -2 C. 6 D. -8
2．计算3×（-2）的结果等于（　　）
A. 1 B. -1 C. -6 D. 6
3．计算的结果是（　　）
A. B.
C. D. 6
2.倒数
1.的倒数是( )
A. B. C.5 D.
2．的倒数是( )
A. B.2024 C. D.
3．一个数的倒数是,则这个数是( )
A. B. C. D.
6．若a、b互为相反数,c、d互为倒数,,则式子的值为____________.
3 .多个有理数乘法
1.下列运算结果是负数是（ ）
A. B.
C. D.
2.计算–2××0.5的结果是（ ）
A． B．– C．– D．
3.如图，数轴上有①②③④四个部分，已知，，则原点所在的部分是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4 .有理数乘法的实际应用
1.某商场老板以32元的价格购进30件儿童服装，针对不同的顾客，30件儿童服装的售价不完全相同.若以47元为标准，超过的钱数记为正数，不足的钱数记为负数.记录结果如下表所示：
售出件数 7 6 3 5 4 5
售价(元) +3 +2 +1 0 -1 -2
(1)在销售这30件儿童服装中，价格最高的一件比价格最低的一件多多少元？
(2)与标准售价比较，30件儿童服装总售价超过或不足多少元？
(3)请问该商场在售完这30件儿童服装后，赚了多少钱？
2．爸爸在银行上班，每天开车到单位，银行附近有两个停车场，收费标准如下：
阳光停车场 2小时内（含2小时） 共收5元
超过2小时部分 每小时收1元
宝源停车场 按月收费，每月200元
(1)在阳光停车场停车5小时收多少钱？
(2)爸爸每周工作5天，4天停车8小时，1天停车12小时，如果每月工作4周，爸爸在哪个停车场停车划算？
2．在一次数学单元测试中，七年级（1）班的平均分为80分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是七年级第一小组10名同学的成绩记录情况：
与平均分的差值（分） 0
人数 1 2 1 2 3 1
根据表格数据解答下列问题：
（1）第一小组同学的平均分比班级平均分高还是低？高或低多少分？
（2）求第一小组10名同学的总分；
（3）若该组10名同学的成绩平均分高于80分，得到奖励，每高一分，奖励1颗薄荷糖（即某同学的分数为85分，可以得到5颗薄荷糖），否则不奖励，那么该组10名同学中共有多少名同学受到奖励？共奖励多少颗薄荷糖？
4．桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，只要翻转2次，就把它们全部翻成杯口朝下.
（1）如果将问题中的8只茶杯改为6只，每次任意翻转其中的4只，最少经过_______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下.
（2）现在将问题中的8只茶杯改为7只，能否经过若干次翻转（每次4个）把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果________（填“能”或“不能”）.
5．小新以每分钟米的速度沿铁道边小路行走.
（1）身后一辆火车以每分钟米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时4秒，那么车长多少米？
（2）过了一会，另一辆货车以每分钟米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时3秒.那么车长是多少？
5 .利用有理数乘法运算律简便运算
，这个运算应用了（ ）
A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
2 .简便计算：
（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）；
（2）（）×（﹣12）；
（3）（﹣19）．
（4）（﹣48）×0.125+48
3 .用运算律巧算：
（1） （2）
（3） （4）
4 .
能力提升
提升1 两个有理数的乘法
计算：
（1）．
（2）．
（3）（﹣2）×3×（﹣4）．
（4）．
2.按如图程序计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是 ．
提升2倒数
1.已知：实数a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的相反数是，则的值是多少呢？
2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，求的值.
提升3 多个有理数乘法
1.计算的结果为 ．
2.若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．
求的值；
求的值．
提升4 有理数乘法的实际应用
1.某稻谷加工厂从生产的大米中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的部分记为正数，不足的部分记为负数，结果记录如下：
与标准质量的偏差/千克 0
袋数 1 3 4 5 3 3 1
与标准总质量相比，这20袋大米共超重或不足多少千克？
2.在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游戏：将2023这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四名同学……照这样的方法直到全班40名同学全部传完，最后一名同学将听到的结果告诉李老师．你知道最后的结果吗？
提升5 利用有理数乘法运算律简便运算
1 .化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整：
原式
．
2.已知a＝20192019×999，b＝20182018×1000，则a与b的大小关系：a b．
3 .观察下列各式：
…
（1）猜想　 　；
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1）
②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？
三个有理数a、b、c满足abc>0，求++的值．
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第七讲 有理数的乘法（解析版）
一、专题导航
二、知识点梳理
知识点1 两个有理数的乘法
1.有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；
点拨：.(1)若同号,则; (2)若异号,则;
2.有理数的乘法运算
有理数乘法的运算步骤:
(1)先确定积的符号 ; (2)再确定积的绝对值;
例1-1 .如果a+b＜0，并且ab＞0，那么（ ）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＜0
【答案】A
【解析】根据ab大于0，利用同号得正，异号得负的取符号法则得到a与b同号，再由a+b小于0，即可得到a与b都为负数．
详解：∵ab＞0，
∴a与b同号，
又a+b＜0，
则a＜0，b＜0．
故选A．
例1-2 .计算的结果是（ ）
A． B．5 C． D．80
【答案】B
【分析】利用有理数的乘法法则计算解题即可.
【详解】解：，
故选.
【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键.
例1-3 .计算：
（1）3.7×3
（2）（+5.6）×（﹣1.2）
（3）（﹣3.48）×（﹣0.7）
【分析】先确定积的符号，再计算积的绝对值．
【解答】解：（1）原式＝11.1；
（2）原式＝﹣5.6×1.2
＝﹣6.72；
（3）原式＝3.48×0.7
＝2.436．
【点评】本题考查了有理数的乘法，比较简单．注意积的符号．
知识点2倒数
乘积是1的两个数互为倒数。注：(倒数同正同负)
点拨:用字母表示乘数时,“x”号可以写成“·”或省略, 如axb可以写成a.b或ab.
例2-1．2024相反数的倒数是( )
A. B. C.2024 D.
答案：B
解析：的相反数是，
相反数的倒数是.
故选：B.
例2-2．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为( )
A. B. C.2 D.4
答案：B
解析：m与n互为倒数，
，
，
，
.
故选：B.
知识点3 多个有理数乘法
多个有理数相乘时，要根据负因数的个数先确定积的符号，再把绝对值相乘。
点拨（1）当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正
几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。
例3-1 .几个不是0的有理数相乘，它们的积的符号（ ）
A．由因数的个数决定 B．由正因数的个数决定
C．由负因数的个数决定 D．由负因数的大小决定
【答案】C
【分析】可根据有理数乘法运算的符号法则进行判断．
【详解】解：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
例3-2 .计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)1；
(2)；
(3)；
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键．
例3-3 .的结果为（ ）
A． B． C．1 D．10
【答案】D
【分析】先把原式变形为，再根据乘法分配律的逆运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟知有理数乘法分配律的逆运算是解题的关键．
知识点4 有理数乘法的实际应用
读懂题意列出乘法算式，利用有理数乘法法则进行计算，得出结论。
例4-1．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5
筐数 1 8 2 3 2 4
(1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
(3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
答案：(1)5.5千克
(2)不足10千克
(3)1470元
解析：（1）最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克，
故最重的一筐比最轻的一筐重：（千克），
答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克.
（2），
答：20筐白菜总计不足10千克，
（3）（元），
答：出售这20筐白菜可卖1470元.
例4-2．某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示：
与标准质量的差/克
袋数/袋 4
(1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？
(2)若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？
答案：(1)这批样品的总质量比标准总质量少，少2克；
(2)这批样品的总质量是克.
解析：（1）；
（克），
答：这批样品的总质量比标准总质量少，少2克；
（2）
，
（克），
答：这批样品的总质量是克.
例4-3．，新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前4天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负.文具店记录了这四天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天
每支价格相对标准价格（元） +1 0 -1 -2
售出支数（支） 12 15 32 33
（1）填空：第一天售价是____________元，该天赚了____________元钱；
（2）求新华文具用品店这四天出售这种钢笔一共赚了多少钱；
（3）新华文具用品店为了促销这种钢笔，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5支钢笔，每支12元；若超过5支钢笔，则超过部分每支降价4元；方式二：每支售价9元.刘老师在该店购买10支钢笔作为奖品，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱.
答案：（1）11，60
（2）这四天出售这种钢笔一共赚了282元
（3）使用方式二购买省钱
解析：（1）11；60.
（2）第一天：元；第二天：元，
第三天：元；第四天：元，
（元）.
答：这四天出售这种钢笔一共赚了282元.
（3）刘老师使用方式一购买10支钢笔时，
需用元，
刘老师使用方式二购买10支钢笔时，需用元，
，
使用方式二购买省钱.
例4-4．2023年国庆节这一天宜昌某出租车公司为“普天同庆，回报社会”，出租车司机小周在东西向的夷兴大道上免费接送老年人，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，.
(1)最后一名老人送到目的地时，小周距出车地点的距离是多少？
(2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
答案：(1)千米
(2)34.8升
解析：（1），
答：小周距出车地点的距离是千米；
（2）（升），
答：这天下午汽车共耗油34.8升.
知识点5 利用有理数乘法运算律简便运算
（1）乘法的交换律、结合律、分配律用字母表示分别为：ab=ba，(ab)c= a(bc)，a(b＋c)= ab＋ac.
（2）在应用乘法分配律时，应注意：①括号外的项要乘以括号内的每一项；②当括号外的项是负数时，一定要注意带上“－”号乘进去.
（3）乘法的运算律，可以推广到多个数的情况.
乘法交换律、结合律：abcd=b(ac)d
点拨
例5-1 .在算式：中，运用了（　　）
A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律．据此解答即可．
【详解】解：算式中，运用了分配律．
故选：C．
例5-2 .计算： ．
【答案】
【分析】根据有理数的乘法运算法则计算即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则是解答本题的关键．
例5-3 .用简便方法计算： ．
【答案】99900
【分析】本题考查有理数的简便运算．熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：99900．
例5-4. 阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．
解：原式①
②
③
④
⑤
(1)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ．
(2)结合上述解法给你的启发，计算：．
【答案】(1)⑤，
(2)
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据乘法运算的结合律进行判定即可；
（2）结合材料提示，运用有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：第⑤的计算是，
∴在第⑤步出现错误，正确结果是，
故答案为：⑤，．
（2）解：
．
三、易错点点拨
易错点1 确定积的符号出错
例1 .（﹣3.48）×（﹣0.7）
错解：原式＝-3.48×0.7
＝-2.436．
错因：混淆有理数加法法则与乘法法则，有理数乘法法则：同号相乘得正
正解：原式＝3.48×0.7
＝2.436．
【点评】本题考查了有理数的乘法，比较简单．注意积的符号．
易错点2 求倒数符号出错
例2 .的倒数是（ ）
A． B． C． D．
错解：B
错因：混淆相反数的符号导致出错
正解：
【答案】C
【提示】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】∵，∴的倒数是.
故选C
易错点3 乘法法则理解出错
下列说法正确的是（ ）
A 几个有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数有奇数个积为负。
B 几个有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数有偶数个积为正
C 几个有理数相乘，有一个因数为0，则积为0
D 乘以一个数等于除以这个数的倒数
错解：A或B或D
错因：没有正确理解有理数乘法法则。不为0的几个有理数相乘，才有A或B成立，0没有倒数
正解：C
易错点4 利用乘法运算律时出错
例4 计算题．
(1)（用简便方法计算）
(2)（用简便方法计算）
错解:（1）应用乘法分配律出现符号错误（2）构造乘法分配律符号出错
正解
【答案】
(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法的分配律把乘以括号内的每一个数，再把所得的积相加即可；
（2）先计算绝对值，再把除法转化为乘法，确定符号把原式化为：，再计算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除运算，掌握“有理数的加减乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．
四、针对训练
1.两个有理数的乘法
1．计算的结果是（　　）
A. 2 B. -2 C. 6 D. -8
【答案】B
【解析】根据有理数的乘法法则进行计算即可．
解：原式=-2．
故选：B．
2．计算3×（-2）的结果等于（　　）
A. 1 B. -1 C. -6 D. 6
【答案】C
【解析】运用有理数的乘法法则进行计算、求解．
解：3×（-2）
=-（3×2）
=-6，
故选：C．
3．计算的结果是（　　）
A. B.
C. D. 6
【答案】B
【解析】直接根据负数乘以负数的运算法则计算即可．
解：．
故选：B．
2.倒数
1.的倒数是( )
A. B. C.5 D.
答案：D
解析：的倒数是,
故选：D.
2．的倒数是( )
A. B.2024 C. D.
答案：C
解析：
∴的倒数为,
故选：C.
3．一个数的倒数是,则这个数是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：一个数的倒数是,所以这个数是,
故选：D.
6．若a、b互为相反数,c、d互为倒数,,则式子的值为____________.
答案：4或
解析：∵a、b互为相反数,c、d互为倒数,,
∴,,,
当时,；
当时,
故答案为：4或.
3 .多个有理数乘法
1.下列运算结果是负数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解答】、，积为正数，不符合题意；
、，积为负数，符合题意；
、，积为零，不符合题意；
、，积为正数，不符合题意；
故选B
【点评】本题考查多个有理数相乘的符号确定，解题的关键是熟练掌握多个有理数相乘的法则.
2.计算–2××0.5的结果是（ ）
A． B．– C．– D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可.
【详解】原式=
=.
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟知有理数的乘法法则是解题的关键.
3.如图，数轴上有①②③④四个部分，已知，，则原点所在的部分是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】本题考查数轴的特征，由，得到，结合原点左右的数符号相反即可得到答案，记住数轴的特征是解决问题的关键．
【详解】解： ，，
，
根据数轴特征，原点所在的部分是②，
故选：B．
4 .有理数乘法的实际应用
1.某商场老板以32元的价格购进30件儿童服装，针对不同的顾客，30件儿童服装的售价不完全相同.若以47元为标准，超过的钱数记为正数，不足的钱数记为负数.记录结果如下表所示：
售出件数 7 6 3 5 4 5
售价(元) +3 +2 +1 0 -1 -2
(1)在销售这30件儿童服装中，价格最高的一件比价格最低的一件多多少元？
(2)与标准售价比较，30件儿童服装总售价超过或不足多少元？
(3)请问该商场在售完这30件儿童服装后，赚了多少钱？
答案：(1)价格最高的一件比价格最低一件多5元
(2)总售价超过22元
(3)赚了472元
解析：(1)由题意得：价格最高的一件售价为(元)，
价格最低的一件售价为(元)，(元)，
答：价格最高的一件比价格最低一件多5元.
(2)(元)，
答：总售价超过22元.
(3)(元)，
(元)，
答：赚了472元.
2．爸爸在银行上班，每天开车到单位，银行附近有两个停车场，收费标准如下：
阳光停车场 2小时内（含2小时） 共收5元
超过2小时部分 每小时收1元
宝源停车场 按月收费，每月200元
(1)在阳光停车场停车5小时收多少钱？
(2)爸爸每周工作5天，4天停车8小时，1天停车12小时，如果每月工作4周，爸爸在哪个停车场停车划算？
答案：(1)8元
(2)宝源停车场
解析：（1）（元），
答：在阳光停车场停车5小时收8元；
（2）阳光停车场：（元），
（元），
宝源停车场：200元，
，
答：爸爸在宝源停车场停车划算.
2．在一次数学单元测试中，七年级（1）班的平均分为80分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是七年级第一小组10名同学的成绩记录情况：
与平均分的差值（分） 0
人数 1 2 1 2 3 1
根据表格数据解答下列问题：
（1）第一小组同学的平均分比班级平均分高还是低？高或低多少分？
（2）求第一小组10名同学的总分；
（3）若该组10名同学的成绩平均分高于80分，得到奖励，每高一分，奖励1颗薄荷糖（即某同学的分数为85分，可以得到5颗薄荷糖），否则不奖励，那么该组10名同学中共有多少名同学受到奖励？共奖励多少颗薄荷糖？
答案：（1）第一小组同学的平均分比班级平均分高，高分
（2）第一小组10名同学的总分是826分
（3）该组10名同学中共有6名同学受到奖励，共奖励59颗薄荷糖
解析：（1）
（分），
则（分），
即第一小组同学的平均分比班级平均分高，高分；
（2）
（分），
即第一小组10名同学的总分是826分；
（3）由表格数据可得平均分高于80分的有6人，分别为：成绩超出平均分3分的有2人，超出平均分12分的有3人，超出平均分17分的有1人，
则
（颗），
即该组10名同学中共有6名同学受到奖励，共奖励59颗薄荷糖.
4．桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，只要翻转2次，就把它们全部翻成杯口朝下.
（1）如果将问题中的8只茶杯改为6只，每次任意翻转其中的4只，最少经过_______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下.
（2）现在将问题中的8只茶杯改为7只，能否经过若干次翻转（每次4个）把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果________（填“能”或“不能”）.
答案：（1）3
（2）不能
解析：（1）用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，
开始时++++++
第一次----++
第二次-+++-+
第三次------
最少经过3次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下；
故答案为：3；
（2）这不能.
理由是：我们将口向上的杯子记为：“”，口向下的杯子记为“”.
所以初始状态为：，，，，，，，
因为开始是7杯口全部朝上，即7个，其乘积为；
每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个，即乘以4个，其乘积仍为；
7个杯口朝下，即7个，其乘积为；
由于，
故不可能把它们全部翻成杯口朝下.
故答案为：不能.
5．小新以每分钟米的速度沿铁道边小路行走.
（1）身后一辆火车以每分钟米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时4秒，那么车长多少米？
（2）过了一会，另一辆货车以每分钟米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时3秒.那么车长是多少？
答案：（1）车长为6米
（2）车长是5.5米
解析：（1）4秒分，
（米），
答：车长为6米.
（2）3秒分，
（米），
答：车长是5.5米.
5 .利用有理数乘法运算律简便运算
，这个运算应用了（ ）
A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
【答案】D
【分析】根据乘法分配律进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，运算应用了乘法分配律，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的运算律．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2 .简便计算：
（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）；
（2）（）×（﹣12）；
（3）（﹣19）．
（4）（﹣48）×0.125+48
【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；
（2）运用乘法分配律进行计算即可．
（3）根据乘法分配律逆用简便计算．
（4）根据乘法分配律逆用简便计算．
【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）
＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3）
＝10×（﹣15）
＝﹣150；
（2）（）×（﹣12）
121212
＝﹣5﹣8+9
＝﹣4；
（3）（﹣19）
＝（）×19
19
＝9．
（4）（﹣48）×0.125+48
＝48×（）
＝0；
【点评】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
3 .用运算律巧算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）4；（3）；（4）．
【分析】（1）利用加法交换律和结合律，把同分母的分式相结合即可；
（2）先利用乘法分配律，再计算加减即可；
（3）利用乘法的交换律和结合律即可得出答案；
（4）利用乘法分配律的逆运算即可；
【详解】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考差了有理数的混合运算，熟练掌握运算律找出简便方法是解题的关键
4 .
【答案】1
【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，先把2023变成，再利用乘法分配律去括号，再计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
五、能力提升
提升1 两个有理数的乘法
计算：
（1）．
（2）．
（3）（﹣2）×3×（﹣4）．
（4）．
【分析】（1）利用有理数的乘法的法则进行运算即可；
（2）把小数转化为分数，再利用有理数的乘法的法则进行运算即可；
（3）利用有理数的乘法的法则进行运算即可；
（4）利用有理数的乘法的法则进行运算即可；
【解答】解：（1）
＝+（3×）
＝1；
（2）
＝
＝﹣（）
＝﹣；
（3）（﹣2）×3×（﹣4）
＝﹣（2×3）×（﹣4）
＝﹣6×（﹣4）
＝6×4
＝24；
（4）＝0．
【点评】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是对有理数的乘法的法则的掌握．
2.按如图程序计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是 ．
【答案】﹣162
【解答】﹣2x(-3)=6 |6|100
6x(-3)=-18 |-18|100
-18x(-3)=54 |54|100
54x(-3)=-162 |-162|>100输出，
所以结果为-162
提升2倒数
1.已知：实数a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的相反数是，则的值是多少呢？
答案：
解析：由题意得：，，，
，
的值是.
2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，求的值.
答案：1或-3
解析：a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，
，，，
，
所求代数式的值为1或-3.
提升3 多个有理数乘法
1.计算的结果为 ．
【答案】1
【分析】根据有理数乘法运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
由于从到有个连续自然数，可知中有负号，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟记有理数乘法运算法则是解决问题的关键．
2.若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．
求的值；
求的值．
【答案】解：；
（2）．
提升4 有理数乘法的实际应用
1.某稻谷加工厂从生产的大米中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的部分记为正数，不足的部分记为负数，结果记录如下：
与标准质量的偏差/千克 0
袋数 1 3 4 5 3 3 1
与标准总质量相比，这20袋大米共超重或不足多少千克？
【答案】与标准总质量相比，这20袋大米共超重千克
【分析】根据题目中给出的信息和表格，可以算出这20袋大米实际质量与标准质量的偏差之和与0比较，可得是否超重或不足．
【详解】解：
（千克），
所以与标准总质量相比，这20袋大米共超重千克．
【点睛】本题考查正数和负数的实际应用、有理数的加法和乘法的实际应用，关键是注意表格中的数据的处理，尤其是袋数要注意．
2.在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游戏：将2023这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四名同学……照这样的方法直到全班40名同学全部传完，最后一名同学将听到的结果告诉李老师．你知道最后的结果吗？
【答案】
【分析】先表示2023减去其，再表示第一次结果的，从而可得直到全班40名同学全部传完的结果可表示为 ，再先计算括号内的运算，再计算乘法运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
提升5 利用有理数乘法运算律简便运算
1 .化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整：
原式
．
【答案】 1
【分析】根据所给式子，提公因式得到，故第一个空填；从而根据同分母分数加减运算计算括号里的式子得到，故第二个空填，从而得到答案．
【详解】解：由题意知
，
故答案为：；．
【点睛】本题考查利用乘法分配律对题目恒等变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，读懂题意，掌握同分母分数加减运算法则及分数乘法运算法则是解决问题的关键．
2.已知a＝20192019×999，b＝20182018×1000，则a与b的大小关系：a b．
【答案】＜．
【分析】将两数相减进行比较，提取公因数，变形求得a-b与0的大小即可．
【详解】解：a﹣b＝20192019×999﹣20182018×1000
＝2019×10001×999﹣2018×10001×1000
＝10001×（2019×999﹣2018×1000）
＝10001×[2019×（1000﹣1）﹣（2019﹣1）×1000]
＝10001×（2019×1000﹣2019﹣2019×1000+1000）
＝10001×（﹣1019）＜0
∴a＜b
故答案为＜．
【点睛】本题考查了多位数大小的比较，将多位数利用提取公因式变形，是解题的关键．
3 .观察下列各式：
…
（1）猜想　 　；
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1）
②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？
【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母；
（2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵
…
∴
故答案为：；
（2）①原式（）×（）×…×（）×（）
；
②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016
＝1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三个有理数a、b、c满足abc>0，求++的值．
【答案】3或
【分析】根据绝对值的性质分几种情况解答即可．
【详解】解：，
，，都是正数或两个为负数，
当，，都是正数，即，，时，
则：；
，，有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
则；
综上所述，++的值为3或．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
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