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《图形的旋转》提升训练题
参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）
【思路点拔】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可．
【解答】解：在正方形中，点A的坐标为（1，0），
∴点B（0，1）．
∵C（0，4），
∴OC＝4．
∴BC＝3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝3．
∴D（1，3）．
由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为（3，﹣1）；第2次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，﹣3）；第3次旋转结束时，点D的坐标为（﹣3，1）；第4次旋转结束时，点D的坐标为（1，3）．
∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转4次为一个循环．
∵2023÷4＝505 3，
∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为（﹣3，1）；
故选：A．
【点评】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律是解题的关键．
2．图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据旋转的定义进行判断即可．
【解答】解：将它顺时针旋转90°后，只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是熟练掌握旋转的定义．
3．如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】直接利用旋转的性质得出对应图形即可．
【解答】解：将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．
4．下列运动属于旋转的是（ ）
A．火箭升空的运动
B．传输带运输的东西的运动
C．大风车运动的过程
D．足球在草地上滚动
【思路点拔】根据旋转的定义，即可解答．
【解答】解：A、火箭升空的运动，不属于旋转，故A不符合题意；
B、传输带运输的东西的运动，不属于旋转，故B不符合题意；
C、大风车运动的过程，属于旋转，故C符合题意；
D、足球在草地上滚动，不属于旋转，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键．
5．如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（ ）
A．8：30 B．9：30 C．2：30 D．12：30
【思路点拔】将钟表旋转180°后，即可得到，钟表中的时间为8：30，
【解答】解：将钟表旋转180°后，如图所示，
钟表中的时间为8：30，
故选：A．
【点评】本题考查了镜面对称，将钟表旋转180°是解题的关键．
6．下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟摆的摆动
C．一个图形沿某直线对折过程
D．气球升空的运动
【思路点拔】根据旋转的定义分别判断得出即可．
【解答】解：A、滚动过程中的篮球的滚动，也有平移，故此选项不符合题意；
B、钟摆的摆动，属于旋转，故此选项符合题意；
C、一个图形沿某直线对折过程，是轴对称，故此选项不符合题意；
D、气球升空的运动，也有平移，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键．
7．扇叶型曲线如图所示放置，M（a，b）为曲线上第一象限内一点，将曲线绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点M的坐标为（ ）
A．（﹣b，a） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a）
【思路点拔】根据旋转的规律，计算求解．
【解答】解：2022÷8＝252……6，
在第二象限，
故选：A．
【点评】本题考查了生活中的旋转，掌握旋转的规律是解题的关键．
8．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【思路点拔】根据图形可得阴影部分面积为大圆一半面积，利用圆的面积公式进行计算即可．
【解答】解：阴影部分面积：π×22＝2π，
故选：C．
【点评】此题主要考查了生活中的旋转，关键是从图中找出阴影部分面积的计算方法．
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，且∠B＝55°，则∠ADE的大小是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．100°
【思路点拔】由旋转的性质即可可得BAD＝55°．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在线段BC的延长线上，
∴∠B＝∠ADE＝55°，
故选：B．
【点评】本题主要考查旋转的性质，能够熟练运用性质求角度是解题关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，点D在斜边AC上，将△ABC绕点C顺时针旋转后与△EDC重合，连接AE，那么∠EAC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【思路点拔】由∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，将△ABC绕点C顺时针旋转后与△EDC重合，得∠DEC＝∠BAC＝50°，∠EDC＝∠ABC＝90°，CA＝CE，得∠ECA＝90﹣∠DEC＝40°，由CA＝CE，得∠EAC＝∠CEA＝（180﹣∠ECA）÷2＝70°．
【解答】解：由∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，将△ABC绕点C顺时针旋转后与△EDC重合，
得∠DEC＝∠BAC＝50°，∠EDC＝∠ABC＝90°，CA＝CE，
得∠ECA＝90﹣∠DEC＝40°，
由CA＝CE，
得∠EAC＝∠CEA＝（180﹣∠ECA）÷2＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确计算．
11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若∠ACB＝20°，则∠ACD的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【思路点拔】由已知得旋转角∠BCD＝90°，再根据∠ACB＝20°，即可求∠ACD的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝20°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣20°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，根据题意找出与已知和问题相关的旋转角是解题的关键，题目较简单．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC边BC的延长线上一点，连接AD，逆时针旋转线段AD得到AE，且∠DAE＝∠CAB，连接BE．则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝CD B．∠CAB＝∠EBD C．∠ACB＝∠AEB D．AD＝ED
【思路点拔】由旋转得，AE＝AD，证明△ACD≌△ABE，可得∠ADC＝∠AEB，进而可得∠DAE＝∠EBD，则∠CAB＝∠EBD．
【解答】解：由旋转得，AE＝AD，
∵∠DAE＝∠CAB，
即∠DAC+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE．
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB．
设AE与BD相交于点O，
则∠AOD＝∠BOE．
∵∠AOD+∠ADO+∠DAE＝180°，∠BOE+∠AEB+∠EBD＝180°，
∴∠DAE＝∠EBD，
∴∠CAB＝∠EBD．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
13．如图，在边长为的正方形ABCD中，E是边BC上一动点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，点M、N分别是边AD、AF的中点，则MN的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【思路点拔】作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DF，CF，延长CF交AD的延长线于点P，作PQ⊥BQ交BC的延长线于点Q，如图，证得△ABE≌△EGF（AAS），推导出△CQP是等腰直角三角形，四边形CQPD是正方形，点F在正方形CQPD的对角线CP上运动，得出MN是△ADF的中位线，当DF最小时，MN最小，此时，DF⊥CP，即F位于正方形对角线的交点，进而得到DF＝1，MN＝．
【解答】解：作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DF，CF，延长CF交AD的延长线于点P，作PQ⊥BQ交BC的延长线于点Q，如图，
∵四边形ABCD是正方形，∠ABC＝90°，
又∵∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠GEF＝90°，
∴∠BAE＝∠GEF，
在△ABE和△EGF中，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴BE＝FG，AB＝EG＝BC，
∴BE＝CF，
∴CG＝FG，
∴△CGF是等腰直角三角形，
∴△CQP是等腰直角三角形，
∴四边形CQPD是正方形，
∴点F在正方形CQPD的对角线CP上运动，
∵AM＝MD，AN＝NF，
∴MN是△ADF的中位线，
∴MN＝DF，
∴当DF最小时，MN最小，
此时，DF⊥CP，即F位于正方形对角线的交点，
∴DF＝DP＝×＝1，
∴MN＝DF＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，解答本题的关键是确定出点F在正方形CQPD的对角线CP上运动．
14．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为（ ）
A．119° B．120° C．61° D．121°
【思路点拔】根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．
【解答】解：∵AB与地面的夹角∠CAB为61°，
∴∠BAB'＝180°﹣∠CAB＝180°﹣61°＝119°，
即旋转角为119°，
∴箕面AB绕点A旋转的度数为119°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到∠BAB'的度数．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠B＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．32° D．35°
【思路点拔】根据旋转的性质，可得出∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠EDC及∠E＝45°，据此可解决问题．
【解答】解：由旋转可知，
∠EDC＝∠B＝110°，∠ACB＝∠DCE，AC＝EC，∠ACE＝90°，
∴∠EAC＝∠E＝45°，
∴∠DCE＝180°﹣110°﹣45°＝25°，
∴∠ACB＝∠DCE＝25°．
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
16．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（ ）
A．35° B．75° C．55° D．65°
【思路点拔】根据旋转的性质可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，结合∠A′DC＝90°，可求得∠A′，即可获得答案．
【解答】解：根据题意，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，
由旋转的性质，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，
∵∠A′DC＝90°，
∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°，
∴∠A＝∠A′＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
17．如图，将△ABP绕点A逆时针旋转50°得到△ACP'，点B，P的对应点分别为点C，P'，当点B，P，C在同一条直线上时，则∠BCP'的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【思路点拔】由旋转得，AB＝AC，∠ACP'＝∠ABP，∠BAC＝50°，进而可得∠ABP＝∠ACB＝∠ACP'＝65°，根据∠BCP'＝∠ACB+∠ACP'可得答案．
【解答】解：由旋转得，AB＝AC，∠ACP'＝∠ABP，∠BAC＝50°，
∵点B，P，C在同一条直线上，
∴∠ABP＝∠ACB＝65°，
∴∠ACP'＝65°，
∴∠BCP'＝∠ACB+∠ACP'＝130°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B′C，连接AA′，若∠B＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【思路点拔】先利用互余计算出∠BAC＝90°﹣70°＝20°，再根据旋转的性质得∠ACA′＝90°，∠B′A′C＝∠BAC＝20°，CA＝CA′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形得到∠CA′A＝45°，然后计算∠CA′A﹣∠B′A′C即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝70°，
∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，∠B′A′C＝∠BAC＝20°，CA＝CA′，
∴△CAA′为等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，
∴∠1＝∠CA′A﹣∠B′A′C＝45°﹣20°＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△CAA′为等腰直角三角形．
19．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）
A．135° B．90° C．60° D．45°
【思路点拔】根据旋转的性质，对应边的夹角∠BOD即为旋转角．
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
而∠DOB＝90°．
∴旋转的角度为90°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．
20．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB′C′，若点C，B，C′共线，则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【思路点拔】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转 120° 得到△AB′C′，且点C，B，C′共线，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝120°，
∴∠ACB＝∠AC′C＝（180°﹣120°）＝30°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【思路点拔】由旋转的性质可得AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，由等腰三角形的性质可求∠CDA＝∠CAD＝50°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，
∴∠CDA＝∠CAD＝50°，
∴∠BAD＝80°，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
22．正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
【思路点拔】求出正六边形的中心角的度数即可．
【解答】解：如图，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOA＝＝60°，
∴绕着点O顺时针或逆时针至少旋转60°才能与原正六边形重合，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，求出正六边形中心角的度数是正确解答的关键．
23．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转130°，得到△ADE，这时点B，D，C恰好在同一条直线上，则∠ADE的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【思路点拔】设AC与DE相交于点O．由题意得，∠BAD＝∠CAE＝130°，∠C＝∠E，AB＝AD，则∠ADB＝25°．根据∠C+∠COD+∠CDO＝180°，∠E+∠AOE+∠CAE＝180°，可得∠CDO＝∠CAE＝130°．根据∠ADE＝180°﹣∠CDO﹣∠ADB可得答案．
【解答】解：设AC与DE相交于点O．
由题意得，∠BAD＝∠CAE＝130°，∠C＝∠E，AB＝AD，
∴∠ADB＝25°．
∵∠C＝∠E，∠COD＝∠AOE，∠C+∠COD+∠CDO＝180°，∠E+∠AOE+∠CAE＝180°，
∴∠CDO＝∠CAE＝130°．
∴∠ADE＝180°﹣∠CDO﹣∠ADB＝180°﹣130°﹣25°＝25°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
24．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【思路点拔】连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心．
【解答】解：
连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
25．如图，边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4﹣4
【思路点拔】连接AC、AF，根据旋转的性质可证明△ACF是等边三角形，进而得出答案．
【解答】解：连接AC、AF，
∵边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，
∴AC＝AF＝4，∠CAF＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴CF＝AC＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，说明△ACF是等边三角形是解题的关键．
二．填空题（共21小题）
26．如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 B点 ．
【思路点拔】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案．
【解答】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，
∴旋转中心为B点，
故答案为：B点．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．
27．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 P、N ．
【思路点拔】画出中心对称图形即可判断
【解答】解：观察图象可知，点P，点N满足条件．
故答案为：P、N．
【点评】本题考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
28．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△A'B'C，A、B的对应点分别为A′、B′，当A′B′∥BC时，则BB′的长为 ．
【思路点拔】过点B′作B′D⊥BC于点D，根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明四边形CEB′D为矩形，得出，根据勾股定理求出得出，最后根据勾股定理求出．
【解答】解：过点B′作B′D⊥BC于点D，如图：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴，
根据旋转可知：CB′＝BC＝3，CA′＝AC＝4，A′B′＝AB＝5，
∵A′B′∥BC，
∴∠CEB'＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴CE⊥A′B′，
∴，
∵∠ECD＝∠CDB′＝∠CEB′＝90°，
∴四边形CEB′D为矩形，
，
在Rt△CDB中，根据勾股定理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
29．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 3 ．
【思路点拔】由旋转的性质可得A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，
∴△ABC≌△A'BC'，
∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，
∴A'C＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
30．如图， ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝30°，点P是边BC上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，当点A的对应点E恰好落在 ABCD的边所在的直线上时，线段AP的长为 2或4或 ．
【思路点拔】分四种情况讨论．①如图，当点E落在BC上时，由旋转性质可得AP⊥BC，在Rt△ABP中，AB＝4，∠B＝30°，根据锐角三角函数可得AP＝AB sin∠B；
②如图，当点E落在CD上时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，在Rt△ABM中，可得AM＝2，，由旋转性质可得∠APE＝90°，AP＝EP，证明△APM≌△PEN（AAS），则PN＝AM＝2，设BP＝x，可得，CN＝6﹣x，根据平行四边形的性质可得∠BCE＝∠ABC＝30°，则，即，解得x＝0，得到点P与点B重合，则AP＝AB；
③当点E落在AD上时，如图，过点P作PF⊥AD于点F，四边形AGPF是矩形，可得FP＝2，由旋转性质可得AP＝PE，∠APE＝90°，得到AF＝FE＝FP＝2，再利用勾股定理可得结论；
④当点E落在AB上时，过点P作PG⊥AB于点G，由旋转性质可得AP＝PE，∠APE＝90°，得到AG＝EG＝PG，根据锐角三角函数可得，解得，则，得到，继而推出点P在线段BC的延长线上，可得结论．
【解答】解：分四种情况讨论：
①当点E落在BC上时，如图1，
∵线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为点E，
∴AP⊥EP，
∴AP⊥BC，
在Rt△ABP中，AB＝4，∠B＝30°，
∴；
②当点E落在CD上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，
∴∠AMP＝∠PNE＝∠CNE＝90°，
∴∠APM+∠PAM＝90°，
∵线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为点E，
∴∠APE＝90°，AP＝EP，
∴∠APM+∠EPN＝90°，
∴∠PAM＝∠EPN，
在△APM和△PEN中，
，
∴△APM≌△PEN（AAS），
∴AM＝PN，PM＝EN，
∵∠AMP＝90°，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝30°，
∴，，
∴PN＝AM＝2，
设BP＝x，
∴，
CN＝BC﹣PN﹣BP＝8﹣2﹣x＝6﹣x，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝30°，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝∠ABC＝30°，
∵∠CNE＝90°，
∴EN＝CN tan∠BCE＝CNtan30°＝CN，即﹣x＝，
解得：x＝0，
∴点P与点B重合，
∴AP＝AB＝4；
③当点E落在AD上时，如图，过点P作PF⊥AD于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∴∠AGP＝∠AFP＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD∥BC，AG＝AB sin∠B＝4×sin30°＝4×＝2，
∴∠GAF＝180°﹣∠AGP＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AGPF是矩形，
∴FP＝AG＝2，
∵线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为点E，
∴AP＝PE，∠APE＝90°，
∴AF＝FE＝FP＝2，
∴；
④当点E落在AB上时，过点P作PG⊥AB于点G，
∴∠PGA＝90°，
∵线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为点E，
∴AP＝PE，∠APE＝90°，
∴AG＝EG＝PG，
∵AB＝4，BC＝8，∠B＝30°，
∴tanB＝＝＝，
∴PG＝2+2，
∴，
∵4+4＞8，
∴点P在线段BC的延长线上，不符合题意；
综上所述，AP的长为2或4或．
故答案为：2或4或．
【点评】本题是旋转变换综合题，考查了旋转的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键．
31．如图，在四边形ABCD中，将边AB逆时针旋转90°交CD于点E．若AD∥BC，∠C＝45°，AD＝3，则CE＝ 3 ．
【思路点拔】过A点作AF⊥AD交CD延长线于点F，连接BD，先证明AF＝AD，再证明△ABD≌△AEF，即可得BD＝FE，∠BDC＝90°，即有△BCD为等腰直角三角形，即可得EF＝CD，进一步解答即可．
【解答】解：如图，过A点作AF⊥AD交CD延长线于点F，连接BD，
根据旋转有：∠BAE＝90°，AB＝AE，
∵∠C＝45°，AD∥BC，
∴∠ADF＝45°，
即∠ADC＝180°﹣∠FDA＝180°﹣45°＝135°，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝∠ADF＝45°，
∴AF＝AD＝3，
即D，
∵∠BAE＝90°，∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠EAF，
又∵AB＝AE，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴∠BDA＝∠AFE＝45°，BD＝FE，
∴2∠BDC＝∠ADC+∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
又∵∠C＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
∴EF＝CD，
∴EC+DE＝FD+ED，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键．
32．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接AD，CE，延长EC交AD于点F，若CF＝1，CE＝2，则AF的长 ．
【思路点拔】由旋转的性质可得AB＝DB，AC＝DE，CB＝BE，∠ABD＝CBE＝90°，由勾股定理可求BF的长，由“SAS”可证△DEH＝≌△ACF，可得AF＝DH，∠AFC＝∠DHE，可证AF＝DF，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接BF，过点B作BH⊥CE于H，连接DH，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，
∴AB＝DB，AC＝DE，CB＝BE，∠ABD＝CBE＝90°，
又∵BH⊥CE，
∴BH＝CH＝HE＝1＝FC，
∴FH＝2，∠BCE＝∠BEC＝45°，
∴FB＝＝＝，∠ACF＝45°＝∠DEH，
又∵DE＝AC，EH＝FC＝1，
∴△DEH＝≌△ACF（SAS），
∴AF＝DH，∠AFC＝∠DHE，
∴∠DFH＝∠DHF，
∴DH＝DF，
∴AF＝DF，
又∵AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴BF＝AF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
33．如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在边AC的延长线上，若AB＝15，AE＝10，则线段CD的长为 5 ．
【思路点拔】根据旋转的性质可得AD＝AB＝15，AC＝AE＝10，则CD＝AD﹣AC，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，AB＝15，AE＝10，
∴AD＝AB＝15，AC＝AE＝10，
∴CD＝AD﹣AC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题关键在于熟练掌握旋转的性质：1、对应点到旋转中心的距离相等；2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3、旋转前、后的图形全等．
34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为 ．
【思路点拔】连接AA'，由旋转的性质得出AC'、A'C'的长度，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
35．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 72 ．
【思路点拔】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为72．
故答案为72．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
36．将如图所示的图案围绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是 60（答案不唯一） 度．（写出一个即可）
【思路点拔】根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：将如图所示的团绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是60°，
故答案为：60（答案不唯一），
【点评】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键．
37．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，该图案绕中心至少旋转 72 度后能与原图案重合．
【思路点拔】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解：∵360°÷5＝72°，
∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：72．
【点评】本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
38．如图，四角星的顶点是一个正方形的四个顶点，将这个四角星绕其中心旋转，当第一次与自身重合时，其旋转角的大小是 90 度．
【思路点拔】该图形被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成四部分，旋转90°的整数倍，就可以与自身重合，
故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
39．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 180° ．
【思路点拔】根据菱形是中心对称图形解答．
【解答】解：∵菱形是中心对称图形，
∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，
∴旋转角至少是180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
40．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 60 度．
【思路点拔】观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．
41．平面直角坐标系中，把点A（﹣3，4）绕着原点逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为 （﹣4，﹣3） ．
【思路点拔】根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图所示，连接AO，BO，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
AO＝BO，∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠NOB＝∠NOB+∠B＝90°，
∴∠AOM＝∠B．
在△AOM和△OBN中，
，
∴△AOM≌△OBN（AAS），
∴BN＝OM，NO＝AM．
∵点A的坐标为（﹣3，4），
∴BN＝OM＝3，NO＝AM＝4，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
42．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将△AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 （7，5） ．
【思路点拔】利用全等三角形的性质得出O′B′和O′A的值，再结合点A和点B的坐标得出OA和OB的长即可解决问题．
【解答】解：由旋转可知，
△ABO≌△AB′O′，
∴∠O′＝∠AOB＝90°，O′B′＝OB，AO′＝AO．
又∵O′A⊥OA，
∴O′B′∥x轴．
∵点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），
∴O′B′＝OB＝2，AO′＝AO＝5，
∴点B′的坐标为（7，5）．
故答案为：（7，5）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
43．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，OA＝AB＝1，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 或 ．
【思路点拔】分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作EH⊥OF于H，根据旋转的性质得到∠EOF＝∠AOB＝30°，OE＝OA＝1，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标即可得到答案．
【解答】解：∵OA＝AB＝1，∠OAB＝120°，
∴∠AOB＝30°，
设点A的对应点为点E，点B的对应点为F，
如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作EH⊥OF于H，
由旋转的性质可得∠EOF＝∠AOB＝30°，OE＝OA＝1，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得；
综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟记含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
44．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C坐标是 （1，﹣1） ．
【思路点拔】作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵AB＝CA，∠AMB＝∠CNA＝90°，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AM＝CN，BM＝AN，
当A（﹣2，0），B（﹣1，3）时，
ON＝AN﹣OA＝BM﹣OA＝3﹣2＝1，
CN＝AM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1，
∴C（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
45．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，3），∠AOB＝90°，∠ABO＝30°．将∠AOB绕点O顺时针旋转一定角度后得到∠A'OB'，并且点A′恰好落到线段AB上，则点A'的坐标为 （） ．
【思路点拔】过点A′作x轴的垂线，根据旋转的性质得出△AOA′是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：过点A′作x轴的垂线，垂足为M，
∵点B坐标为（0，3），
∴OB＝3．
在Rt△ABO中，
tan∠ABO＝，
∴AO＝．
由旋转可知，
OA′＝OA＝，
又∵∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∴△OAA′是等边三角形，
∴∠A′OM＝60°．
在Rt△A′MO中，
sin∠A′OM＝，
∴A′M＝，
同理可得，MO＝，
∴点A′的坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
46．如图，在边长为10的正方形ABCD内部（不含边界）有一点E，连结CE．过点A作∠BAF＝∠DCE，且AF＝CE．连结EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，点F恰好落在点D上，则EC的长为 2 ．
【思路点拔】设EC＝a，将△CDE绕着点D顺时针旋转 90° 到△ADP，连接PF、DF，则∠EDP＝90°，DP＝DE，AP＝EC＝AF＝a，∠DAP＝∠DCE＝∠BAF，∠PAF＝90°，∠AFP＝∠APF＝45°，，由旋转的性质可知，∠DEF＝90°，EF＝DE＝DP，证明四边形DEFP是正方形，则∠DFP＝45°，∠DPF＝90°，，∠AFD＝∠AFP+∠DFP＝90°，由勾股定理得，，计算求解即可．
【解答】解：设EC＝a，如图，将△CDE绕着点D顺时针旋转 90° 到△ADP，连接PF、DF，
∴∠EDP＝90°，DP＝DE，AP＝EC＝AF＝a，∠DAP＝∠DCE＝∠BAF，
∴∠DAP+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠PAF＝90°，
∴∠AFP＝∠APF＝45°，
∴，
由旋转的性质可知，∠DEF＝90°，EF＝DE＝DP，
∵∠DEF+∠EDP＝180°，
∴DP∥EF，
又∵EF＝DP，
∴四边形DEFP是平行四边形，
又：∠DEF＝90°，EF＝DE，
∴四边形DEFP是正方形，
∴∠DFP＝45°，∠DPF＝90°，
，∠AFD＝∠AFP+∠DFP＝90°，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦是解题的关键．
三．解答题（共14小题）
47．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以点C1为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C1，请画出△A2B2C1．
【思路点拔】（1）根据平移的性质可将点A、B、C先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，再把平移后得到的点连接，即可得到△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质画出对应点，把旋转后所得到的点连接，即可得到△A2B2C1．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C1即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点．
48．如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到△DEC，点D为BC的中点．
（1）若∠ACE＝130°，则旋转中心为点 C ，旋转角度为 115° ；
（2）若BC＝8，求AC的长．
【思路点拔】（1）根据旋转的概念可得结论；
（2）由点D为BC的中点得出CD＝4，由旋转的性质得AC＝CD＝4．
【解答】解：（1）根据题意得，点C为旋转中心，
由旋转得，∠ACB＝∠DCE，
∵∠ACE＝130°，
∴∠ACB+∠DCE＝360°﹣∠ACE＝360°﹣130°＝230°，
∴∠ACB＝115°，
∴旋转角度为115°，
故答案为：C；115°；
（2）∵BC＝8，且点D为BC的中点，
∴，
由旋转得，AC＝CD＝4．
【点评】本题主要考查旋转的概念和性质，①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
49．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（3，1），B（4，3），C（2，4），按要求解答问题：
（1）将△ABC向左平移7个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1图形；
（2）将△ABC以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△AB2C2，画出△AB2C2图形；
（3）直接写出B1B2的长度．
【思路点拔】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△AB2C2即为所求．
（3）由勾股定理得，B1B2＝＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、勾股定理是解答本题的关键．
50．如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，①②③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）图中，①经过 平移 （填“平移”“轴对称”或“旋转”）变换可以得到②；
（2）图中，③是由①经过一次顺时针旋转变换得到的，其旋转中心是 D （填“A”“B”“C”或“D”），旋转角度等于 90° （小于360°）；
（3）在图中画出①关于直线l成轴对称的图形④．
【思路点拔】（1）由图可知，①经过平移变换可以得到②．
（2）分别连接图形①与图形③的对应点，再分别作对应点连线所得线段的垂直平分线，相交于点D，可知③是由①绕点D顺时针旋转90°得到的，进而可得答案．
（3）根据轴对称的性质作图即可．
【解答】解：（1）由图可知，图形①向右平移5个单位长度，向上平移1个单位长度得到图形②，
∴①经过平移变换可以得到②．
故答案为：平移．
（2）如图，分别连接图形①与图形③的对应点，再分别作对应点连线所得线段的垂直平分线，相交于点D，
可知③是由①绕点D顺时针旋转90°得到的，
∴旋转中心是D，旋转角度等于90°．
故答案为：D；90°．
（3）如图，图形④即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、平移变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
51．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将线段AB向下平移2格，得到线段DE，请画出线段DE；
（2）以点A为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请画出△AB1C1；
（3）问：线段BC、线段B1C1所在直线的夹角是多少度？（直接写答案，不用写理由）
【思路点拔】（1）将点A，B分别向下平移2格得到D，E，连接DE，即得；
（2）将AB，AC分别绕点A顺时针旋转90°，得到AB1，AC1，连接B1C1，△AB1C1即为所求作；
（3）分别将线段BC、B1C1平移到AM，AN的位置，连接B1M，BN，根据BC＝B1C1，得到AM＝AN，根据AB1＝AB，B1M＝BN，得到△AB1M≌△ABN（SSS），得到∠B1AM＝∠BAN，得到∠MAN＝90°，即线段BC、线段B1C1所在直线的夹角是90°．
【解答】解：（1）点A，B分别向下平移2格得到D，E，连接DE，线段DE即为所求作；如图1，
；
（2）将AB绕点A顺时针旋转90°，得到AB1，AC绕点A顺时针旋转90°，得到AC1，连接B1C1，得到△AB1C1，△AB1C1即为所求作；如图2：
；
（3）将线段BC、线段B1C1平移到AM，AN的位置，连接B1M，BN，如图3，
则AM＝BC，AN＝B1C1，
∵BC＝B1C1，
∴AM＝AN，
∵AB1＝AB，B1M＝BN，
∴△AB1M≌△ABN（SSS），
∴∠B1AM＝∠BAN，
∵∠BAB1＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∴线段BC、线段B1C1所在直线的夹角是90°．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，熟练掌握平移性质，旋转性质是解决问题的关键．
52．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标；
（3）求△A2B2C2的面积．
【思路点拔】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，A1（0，﹣3），B1（﹣3，﹣4），C1（﹣2，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，A2（﹣3，0），B2（﹣4，3），C2（﹣2，2）．
（3）△A2B2C2的面积为＝＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
53．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
（3）点B的对应点B2的坐标为 （﹣1，3） ．
【思路点拔】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）由图可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C即为所求．
（3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
54．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，﹣2），B（1，3），C（4，4）．将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ADE．
（1）画出△ADE；
（2）求证：点E在直线BC上．
【思路点拔】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）连接BE，CE，利用勾股定理求出BE，BC，CE的长，可得CE＝BE+BC，则点E，B，C在同一条直线上，即点E在直线BC上．
【解答】（1）解：如图，△ADE即为所求．
（2）证明：连接BE，CE，
由勾股定理得，BE＝＝，BC＝＝，CE＝＝，
∴CE＝BE+BC，
∴点E，B，C在同一条直线上，
即点E在直线BC上．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．
55．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2．
【思路点拔】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
56．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图1，AC＝15，BC＝20，CM⊥AB于点M，NM＝AM，连接CN，求线段BN的长；
（2）如图2，将线段CB绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CD，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AE，连接DE，点G为DE中点，连接AG，CG．求证：AC＝CG．
【思路点拔】（1）利用勾股定理求出AB，利用等面积法求出CM，再利用勾股定理求出AM，进一步解答即可求解；
（2）将线段AC绕点A按顺时针方向旋转90．得到线段AM，连接EM并延长交BC于点N，连接AN交DE于点O，可得△BAC≌△EAM（SAS），四边 形CAMN是正方形，进而证明△ENO≌△DAO（AAS），OD＝OE，推出点G与点O重合，可得△AGC是等腰直角三角形，即可证明．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴，
∵CM⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∴NM＝AM＝9，
∴BN＝AB﹣NM﹣AM＝25﹣9﹣9＝7；
（2）证明：如图，将线段AC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AM，连接EM并延长交BC于点N，连接AN交DE于点O，
由旋转知∠MAC＝∠BAE＝90°，AM＝AC，AB＝AE，CB＝CD，
∴∠MAC﹣∠BAM＝∠BAE﹣∠BAM，
∴∠BAC＝∠EAM，
∴△BAC≌△EAM（SAS），
∴ME＝CB＝CD，∠BCA＝∠EMA＝90°，
∵∠BCA＝∠MAC＝∠AMN＝90°，AM＝AC，
∴四边形CAMN是正方形，
∴MN＝AC，NE∥AD，
∴MN+ME＝AC+CD，即NE＝AC，
又∵NE∥AD，
∴∠NEO＝∠ADO，∠ENO＝∠DAO，
∴△ENO≌△DAO（AAS），
∴OD＝OE，
又∵点G为DE中点，
∴点G与点O重合，
∵四边形CAMN是正方形，
∴CG＝AG，∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∴．
【点评】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
57．将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 15s或24s或27s或33s （直接写出答案即可）．
【思路点拔】（1）先计算∠DCE的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得t的值；
（2）分别表示∠DCA与∠ECB的度数，相减可得数量关系；
（3）分四种情况讨论：AB分别和△DCE三边平行，还有AC∥DE，计算旋转角并根据速度列方程可得结论．
【解答】解：（1）如图2，∵∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∵AC平分∠DCE，
∴∠ACE＝＝15°，
∴t＝＝3，
答：此时t的值是3s；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3，∠DCA与∠ECB的数量关系是：∠ECB﹣∠DCA＝15°；
理由是：由旋转得：∠ACE＝5t，
∴∠DCA＝30°﹣5t，∠ECB＝45°﹣5t，
∴∠ECB﹣∠DCA＝（45°﹣5t）﹣（30°﹣5t）＝15°；
（3）分四种情况：
①当AB∥DE时，如图4，∠ACE＝45°+30°＝75°，
t＝75÷5＝15；
②当AB∥CE时，如图5，则∠BCE＝∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°+45°＝135°，
t＝135÷5＝27；
③当AB∥CD时，如图6，则∠DCB＝∠B＝90°，
∠ACE＝30°+90°+45°＝165°，
t＝165÷5＝33；
④当AC∥DE时，如图7，
∴∠ACD＝∠D＝90°，
∴∠ACE＝90°+30°＝5t，
t＝24；
综上，t的值是15s或24s或27s或33s．
故答案为：15s或24s或27s或33s
【点评】本题是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系，该类问题就简单多了．
58．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE．
（1）如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC＝6，BD＝9，求AE的长；
（2）如图2，BD∥AC，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠ABE的度数．
【思路点拔】（1）根据旋转的性质得AB＝BD＝9，BE＝BC＝6，即可得出结果；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝30°，再根据旋转的性质得出∠DBE＝∠ABC＝30°，再根据平行线的性质得出∠DBC＝70°，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB＝BD＝9，BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝9﹣6＝3；
（2）∵∠C＝110°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∵BD∥AC，
∴∠DBC+∠C＝180°，
∴∠DBC＝70°，
∴∠ABE＝70°﹣30°×2＝10°．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟记旋转的性质是解题的关键．
59．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【思路点拔】（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，证明△BCE≌△CBK（SAS），推出BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，再证明∠ADF+∠AEF＝180°，可得结论；
（2）结论：BF+CF＝2CN．首先证明∠BFC＝120°．如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，证明△CNM≌△QNF（SAS），推出FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，再证明△PFQ≌△PBC（SAS），推出PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，推出△PCQ是等边三角形，可得结论
【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，
在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；
（2）结论：BF+CF＝2CN．
理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
60．在△ABC中，∠ABC＝α，以点B为中心，将△ABC顺时针旋转α，得到△A1BC1；再以点A1为中心，将△A1BC1 顺时针旋转α，得到△A1B1C2；连结AB1．
（1）如图1，若AB＝2，α＝90°，求AB1的长；
（2）如图2，60°＜α＜90°，探究AB1与A1B的位置关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据旋转的性质得到∠ABA1＝90°，AB＝A1B，根据旋转的性质得到∠BA1B1＝90°，A1B＝A1B1，根据正方形的判定定理得到四边形ABA1B1是正方形，于是得到AB1＝AB＝2；
（2）A作AE⊥A1B，过B1作B1F⊥A1B于F，得到∠AEB＝∠B1FA1＝90°，AE∥B1F，根据旋转的性质得到∠ABA1＝∠A1BC1＝α，AB＝A1B，∠BA1B1＝∠BA1B1＝α，A1B＝A1B1，根据全等三角形的性质定理得到AE＝B1F，推出四边形AEFB1是矩形，根据矩形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵以点B为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1BC1，
∴∠ABA1＝90°，AB＝A1B，
∵以点A1为中心，将△A1BC1 顺时针旋转90°，得到△A1B1C2，
∴∠BA1B1＝90°，A1B＝A1B1，
∴AB∥A1B1，AB＝A1B1，
∴四边形ABA1B1是正方形，
∴AB1＝AB＝2；
（2）AB1∥A1B．
理由：过A作AE⊥A1B，过B1作B1F⊥A1B于F，
∴∠AEB＝∠B1FA1＝90°，AE∥B1F，
∵以点B为中心，将△ABC顺时针旋转＝α，得到△A1BC1，
∴∠ABA1＝∠A1BC1＝α，AB＝A1B，
∵以点A1为中心，将△A1BC1 顺时针旋转α，得到△A1B1C2，
∴∠BA1B1＝∠BA1B1＝α，A1B＝A1B1，
∴AB＝A1B1，
∴△ABE≌△B1A1F（AAS），
∴AE＝B1F，
∴四边形AEFB1是矩形，
∴AB1∥EF，
∴AB1∥A1B．
【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．中小学教育资源及组卷应用平台
《图形的旋转》提升训练题
一．选择题（共25小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）
2．图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运动属于旋转的是（ ）
A．火箭升空的运动
B．传输带运输的东西的运动
C．大风车运动的过程
D．足球在草地上滚动
5．如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（ ）
A．8：30 B．9：30 C．2：30 D．12：30
6．下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟摆的摆动
C．一个图形沿某直线对折过程
D．气球升空的运动
7．扇叶型曲线如图所示放置，M（a，b）为曲线上第一象限内一点，将曲线绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点M的坐标为（ ）
A．（﹣b，a） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a）
8．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，且∠B＝55°，则∠ADE的大小是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．100°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，点D在斜边AC上，将△ABC绕点C顺时针旋转后与△EDC重合，连接AE，那么∠EAC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若∠ACB＝20°，则∠ACD的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
12．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC边BC的延长线上一点，连接AD，逆时针旋转线段AD得到AE，且∠DAE＝∠CAB，连接BE．则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝CD B．∠CAB＝∠EBD C．∠ACB＝∠AEB D．AD＝ED
13．如图，在边长为的正方形ABCD中，E是边BC上一动点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，点M、N分别是边AD、AF的中点，则MN的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
14．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为（ ）
A．119° B．120° C．61° D．121°
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠B＝110°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．32° D．35°
16．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（ ）
A．35° B．75° C．55° D．65°
17．如图，将△ABP绕点A逆时针旋转50°得到△ACP'，点B，P的对应点分别为点C，P'，当点B，P，C在同一条直线上时，则∠BCP'的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B′C，连接AA′，若∠B＝70°，则∠1的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
19．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）
A．135° B．90° C．60° D．45°
20．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB′C′，若点C，B，C′共线，则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
22．正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．180°
23．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转130°，得到△ADE，这时点B，D，C恰好在同一条直线上，则∠ADE的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
24．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
25．如图，边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4﹣4
二．填空题（共21小题）
26．如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ．
27．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 ．
28．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△A'B'C，A、B的对应点分别为A′、B′，当A′B′∥BC时，则BB′的长为 ．
29．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 ．
30．如图， ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝30°，点P是边BC上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，当点A的对应点E恰好落在 ABCD的边所在的直线上时，线段AP的长为 ．
31．如图，在四边形ABCD中，将边AB逆时针旋转90°交CD于点E．若AD∥BC，∠C＝45°，AD＝3，则CE＝ ．
32．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接AD，CE，延长EC交AD于点F，若CF＝1，CE＝2，则AF的长 ．
33．如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在边AC的延长线上，若AB＝15，AE＝10，则线段CD的长为 ．
34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为 ．
35．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ．
36．将如图所示的图案围绕它的中心旋转一定角度后与其自身完全重合，则这个旋转角可能是 度．（写出一个即可）
37．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，该图案绕中心至少旋转 度后能与原图案重合．
38．如图，四角星的顶点是一个正方形的四个顶点，将这个四角星绕其中心旋转，当第一次与自身重合时，其旋转角的大小是 度．
39．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 ．
40．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度．
41．平面直角坐标系中，把点A（﹣3，4）绕着原点逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为 ．
42．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将△AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 ．
43．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，OA＝AB＝1，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ．
44．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C坐标是 ．
45．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，3），∠AOB＝90°，∠ABO＝30°．将∠AOB绕点O顺时针旋转一定角度后得到∠A'OB'，并且点A′恰好落到线段AB上，则点A'的坐标为 ．
46．如图，在边长为10的正方形ABCD内部（不含边界）有一点E，连结CE．过点A作∠BAF＝∠DCE，且AF＝CE．连结EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，点F恰好落在点D上，则EC的长为 ．
三．解答题（共14小题）
47．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以点C1为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C1，请画出△A2B2C1．
48．如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到△DEC，点D为BC的中点．
（1）若∠ACE＝130°，则旋转中心为点 ，旋转角度为 ；
（2）若BC＝8，求AC的长．
49．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（3，1），B（4，3），C（2，4），按要求解答问题：
（1）将△ABC向左平移7个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1图形；
（2）将△ABC以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△AB2C2，画出△AB2C2图形；
（3）直接写出B1B2的长度．
50．如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，①②③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）图中，①经过 （填“平移”“轴对称”或“旋转”）变换可以得到②；
（2）图中，③是由①经过一次顺时针旋转变换得到的，其旋转中心是 （填“A”“B”“C”或“D”），旋转角度等于 （小于360°）；
（3）在图中画出①关于直线l成轴对称的图形④．
51．如图所示的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）将线段AB向下平移2格，得到线段DE，请画出线段DE；
（2）以点A为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请画出△AB1C1；
（3）问：线段BC、线段B1C1所在直线的夹角是多少度？（直接写答案，不用写理由）
52．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标；
（3）求△A2B2C2的面积．
53．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
（3）点B的对应点B2的坐标为 ．
54．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，﹣2），B（1，3），C（4，4）．将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ADE．
（1）画出△ADE；
（2）求证：点E在直线BC上．
55．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2．
56．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图1，AC＝15，BC＝20，CM⊥AB于点M，NM＝AM，连接CN，求线段BN的长；
（2）如图2，将线段CB绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CD，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AE，连接DE，点G为DE中点，连接AG，CG．求证：AC＝CG．
57．将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
58．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE．
（1）如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC＝6，BD＝9，求AE的长；
（2）如图2，BD∥AC，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠ABE的度数．
59．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
60．在△ABC中，∠ABC＝α，以点B为中心，将△ABC顺时针旋转α，得到△A1BC1；再以点A1为中心，将△A1BC1 顺时针旋转α，得到△A1B1C2；连结AB1．
（1）如图1，若AB＝2，α＝90°，求AB1的长；
（2）如图2，60°＜α＜90°，探究AB1与A1B的位置关系，并说明理由．
