新人教版七年级数学暑假自学课第八讲 有理数的除法（含解析）

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新人教版七年级数学暑假自学课
第八讲 有理数的除法
一、专题导航
二、知识点梳理
知识点1 有理数的除法
1.有理数除法法则
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
例1-1 .如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（　　）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是
例1-2 .下面结论正确的是（　　）
A．互为相反数的两个数的商为﹣1
B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1
C．当|x|＝﹣x，则x＜0
D．带有负号的数一定是负数
2.有理数除法运算
除法步骤：
①将除号变为乘号。
②将除数变为它的倒数。
③按照乘法法则进行计算
注意：先定符号，再计算绝对值
例1-3 .计算
(1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)；
(3)(－0.75)÷(0.25)．
例1-4 .计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
知识点2有理数除法的应用
1.利用有理数除法的法则化简分数
分数化简的实质：
分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数的除法法则进行化简。
分数的符号法则：
分数的分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。
例2-1 .化简下列分数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2.有理数除法生活中的应用
读懂题意列出除法算式，利用有理数除法法则进行计算，得出结论。
例2-1.五（1）班要买24本故事书，现在有两家书店可供选择．大众书店：九折出售；求知书店：买5本赠送1本，不满5本不赠送．这两个书店的标价都是每本20元．请你算一算到哪家书店购买合算？
例2-3．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣几分的处罚？
《道路交通安全法实施条例》规定：超速以上扣12分；超速以上未达扣6分；超速未达扣3分.
.
知识点3 有理数乘除混合运算
1.有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
例3-1 .计算：
(1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)．
例3-2 .计算：
（1）（﹣36 ）÷9
（2）（﹣ ）×（﹣3 ）÷（﹣1 ）÷3．
2.有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的。
例3-3．计算下面各题.（能简算的要简算）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
例3-4．学校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出53册，就记作+3；如果某天借出40册，就记作-10.上星期图书馆借出图书记录如表：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
0 +8 +6 -2 -7
（1）上星期五借出图书多少册？
（2）上星期五天平均每天借出图书多少册？
例3-5．先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：.
（2）认真阅读材料，解决问题：
计算：.
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
.
故原式.
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：.
3.有理数的加减乘除混合运算的应用
根据实际问题分析题意，列出数学算式；
通过有理数的运算解决问题。
例3-6．阅读理解：
阅读材料：如今网络团购已经走进我们的生活，聪聪的爸爸妈妈准备星期天带他去吃火锅(预计总消费在200元以上).妈妈说，她在网上发现团购代金券了，70元一张，可抵100元消费，每桌限用两张，多余部分不找零钱，不足部分用现金补齐.爸爸打电话订座位时，服务员告诉他可以享受消费七五折优惠，但使用代金券不能优惠.爱动脑筋的聪聪听后，立即拿出纸笔演算起来：“使用代金券最多可节省(元)，如果采用打折方式，要想节省60元钱，总的消费额应达到(元)，总消费额越多，节省钱数就越多.”一想到这里，聪聪兴奋地对爸爸妈妈说：“老爸、老妈，如果我们消费的钱数少于240元，使用代金券比较划算，如果我们消费的钱等于240元，两种方式消费的钱数一样多，如果我们消费的钱数大于240元，采用打折方式比较划算”，爸爸妈妈听了，直夸聪聪爱动脑筋!
在生活中，有许多实际问题可以像上面这样分段考虑，进行合理选择!
问题解决：
某游泳馆推出两种付费方式：单次卡，每次收费30元；办理会员年卡，一次性缴纳360元会员费，每次游泳另收费18元(一年内有效).王叔叔打算去该游泳馆游泳，选择什么方式更划算呢？请你帮王叔叔算一算，选一选.
(1)王叔叔叔一年游泳达______次，两种付费方式所用钱数相等.
(2)请根据上面的计算结果，给王叔叔提出合理建议？
三、易错点点拨
易错点1除法的符号法则与加减运算符号法则混淆出错
例1 .计算的结果为（ ）
A． B．1 C． D．4
易错点2 有理数除法运算中误用分配律
计算
易错点3 有理数混合运算的实际应用中混淆数量关系
例3. 一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是，小莉此时在山脚测得温度是7． 已知该地区高度每增加100m，气温大约降低0.8，这个山峰的高度大约是多少米？
四、针对训练
1 有理数的除法
1. ．
2.计算：
(1)(－18)÷(－)； (2)16÷(－)÷(－)．
3.计算
(1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)；
(3)(－0.75)÷(0.25)．
2有理数除法的应用
1.化简下列分数：
＝ ；
＝ ；
＝ ．
2．在湖北省抗击新冠病毒期间，国家实行“一省帮一市对口”支援，春雨矿泉水厂向武汉市的某地区运送矿泉水，该地区人口约12万，每人每天需2瓶水，24瓶水装成一箱，则该厂每天需要装运多少箱矿泉水？
3．（1）两数的积是1，已知一个数是-2，求另一个数；
（2）两数的商是-3，已知被除数是4，求除数．
4．某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆．
（1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况；
（2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？
3 有理数乘除混合运算
1.计算，结果正确的是( )
A． B． C． D．
2甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米．
A．900 B．720 C．540 D．1080
3.定义一种新运算：．例如．则的值为（ ）
A． B．9 C．15 D．27
4.计算：
（1）-5×2+3÷ -（-1）；
（2）（ ）÷ ．
5.用简便方法计算：（﹣ ﹣ + ）÷（﹣ ）．
6.在计算时，小明的解法如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
回答：
(1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________；
(2)请在下面给出正确的解答过程．
7.某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：
与标准质量的差值（单位：千克） 0
箱数 1 4 3 4 5 3
(1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？
(2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？
(3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费）
8．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次）
星期 一 二 三 四 五 六 七
增减
(1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？
(2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？
(3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），该采样点在这周至少需要多少根采样管？
五、能力提升
提升1 有理数的除法
1.计算：．
2.计算．
提升2有理数除法的应用
1.根据如图给出的数轴，解答下面的问题：
（1）点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 ．若将数轴折叠，使得A与﹣5表
示的点重合，则B点与数 　 　　 表示的点重合；
（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：　 　；
（3）化简：＝　 　，并将化简的结果在下面的数轴上表示出来．
2.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，且甲比乙快.开始后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲刚好下到半山腰，求甲从出发到返回出发点共需多少小时？
3．一只船被发现漏水时，已经进了一些水，水均匀进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？
4．2022年2月6日，女足2022亚洲杯决赛，中国队以的比分逆转韩国队，时隔16年再次获得亚洲杯冠军.
（1）这场决赛，中国队的进球数是韩国队进球数的几倍？
（2）你了解足球吗？足球的表面是由32块的黑色五边形和白色六边形围成.其中黑色五边形的块数是3和4的最小公倍数，请问黑色五边形和白色六边形各有多少块？
（3）淘气是一名足球爱好者，他要从甲城到相距360千米的乙城去看一场期待已久的足球赛，已知他前3小时行驶了180千米，照这样的速度，行完全程需要几小时？
提升3 有理数乘除混合运算
1.(1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)．
2.计算：．
解法1：原式①②③
解法2：原式①②③
(1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）
(2)请给出正确解答．
3.请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是（﹣+）÷（）
＝（﹣+）×（﹣30）
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
4.如图A在数轴上所对应的数为．
(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
(3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度．
5.如图，
7 2 5 1
(1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______
(2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ，
(3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________
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第八讲 有理数的除法（解析版）
一、专题导航
二、知识点梳理
知识点1 有理数的除法
1.有理数除法法则
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
例1-1 .如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（　　）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是
【分析】根据数轴的性质即可求出答案．
【解答】解：由于两个有理数分布在原点两侧，故必为一正一负，
所以两个数相除所得的商是负数，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算，本题属于基础题型．
例1-2 .下面结论正确的是（　　）
A．互为相反数的两个数的商为﹣1
B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1
C．当|x|＝﹣x，则x＜0
D．带有负号的数一定是负数
【分析】根据数轴与实数的关系，绝对值的性质或举反例进行判断即可．
【解答】解：A．0的相反数为0，但它们的商无意义，
则A不符合题意；
B．∵一个点与数轴上与表示数4的点相距3个单位长度，
∴该点对应的数为：4﹣3＝1或4+3＝7，
则B符合题意；
C．当x≤0时，|x|＝﹣x，
则C不符合题意；
D．如﹣（﹣3）＝3，它是正数，
则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查实数的相关定义及性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.有理数除法运算
除法步骤：
①将除号变为乘号。
②将除数变为它的倒数。
③按照乘法法则进行计算
注意：先定符号，再计算绝对值
例1-3 .计算
(1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)；
(3)(－0.75)÷(0.25)．
解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；
(2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48；
(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.
例1-4 .计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】①②③根据有理数的除法运算法则计算即可；
④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
【点睛】本题考查有理数的除法，有理数的乘法．有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，注意：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0；特别注意有多个数相除时，一般先将除法转化为乘法再进行运算．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．理解和掌握有理数除法、乘法法则是解题的关键．
知识点2有理数除法的应用
1.利用有理数除法的法则化简分数
分数化简的实质：
分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数的除法法则进行化简。
分数的符号法则：
分数的分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。
例2-1 .化简下列分数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)20
【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题考查有理数的除法，解题关键是先明确式子的符号，再利用除一个数就是乘这个数的倒数的计算法则计算．
2.有理数除法生活中的应用
读懂题意列出除法算式，利用有理数除法法则进行计算，得出结论。
例2-1.五（1）班要买24本故事书，现在有两家书店可供选择．大众书店：九折出售；求知书店：买5本赠送1本，不满5本不赠送．这两个书店的标价都是每本20元．请你算一算到哪家书店购买合算？
【答案】到求知书店购买合算．
【解析】解：到大众书店购买需要的钱数为：（元），
∵，
∴到求知书店购买需要的钱数为：（元），
∵，
∴到求知书店购买合算．
例2-2．小马在计算“”时，误将“÷”看成“+”，结果得35，则的值为________.
答案：
解析：根据题意，得：，
，
则，
故答案为：.
例2-3．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣几分的处罚？
《道路交通安全法实施条例》规定：超速以上扣12分；超速以上未达扣6分；超速未达扣3分.
答案：如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚
解析：
，
，
根据交通条例，如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚，
答：如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚.
知识点3 有理数乘除混合运算
1.有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
例3-1 .计算：
(1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)．
解：(1)原式＝－××(－)＝××＝1；
(2)原式＝(－)×(－)×(－)＝－(××)＝－4.
例3-2 .计算：
（1）（﹣36 ）÷9
（2）（﹣ ）×（﹣3 ）÷（﹣1 ）÷3．
【答案】 （1）解：原式=﹣（36+ ）× ，
=﹣（36× + × ），
=﹣4
（2）解：原式=﹣（ × × × ），
=﹣
【解析】【分析】（1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数进行计算即可；（2）首先根据除法法则统一成乘法，然后再确定结果的符号，然后计算即可．
2.有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的。
例3-3．计算下面各题.（能简算的要简算）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
答案：（1）5
（2）
（3）11
（4）
（5）
（6）
解析：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
；
例3-4．学校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出53册，就记作+3；如果某天借出40册，就记作-10.上星期图书馆借出图书记录如表：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
0 +8 +6 -2 -7
（1）上星期五借出图书多少册？
（2）上星期五天平均每天借出图书多少册？
答案：（1）43册
（2）51本
解析：（1）根据题意得：（册），
则上星期五借出图书43册；
（2）上星期平均每天借出图书：（本）.
例3-5．先计算，再阅读材料，解决问题：
（1）计算：.
（2）认真阅读材料，解决问题：
计算：.
分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：
解：原式的倒数是：
.
故原式.
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：.
答案：（1）8
（2）
解析：（1）计算：；
（2）原式的倒数是：
故原式.
3.有理数的加减乘除混合运算的应用
根据实际问题分析题意，列出数学算式；
通过有理数的运算解决问题。
例3-6．阅读理解：
阅读材料：如今网络团购已经走进我们的生活，聪聪的爸爸妈妈准备星期天带他去吃火锅(预计总消费在200元以上).妈妈说，她在网上发现团购代金券了，70元一张，可抵100元消费，每桌限用两张，多余部分不找零钱，不足部分用现金补齐.爸爸打电话订座位时，服务员告诉他可以享受消费七五折优惠，但使用代金券不能优惠.爱动脑筋的聪聪听后，立即拿出纸笔演算起来：“使用代金券最多可节省(元)，如果采用打折方式，要想节省60元钱，总的消费额应达到(元)，总消费额越多，节省钱数就越多.”一想到这里，聪聪兴奋地对爸爸妈妈说：“老爸、老妈，如果我们消费的钱数少于240元，使用代金券比较划算，如果我们消费的钱等于240元，两种方式消费的钱数一样多，如果我们消费的钱数大于240元，采用打折方式比较划算”，爸爸妈妈听了，直夸聪聪爱动脑筋!
在生活中，有许多实际问题可以像上面这样分段考虑，进行合理选择!
问题解决：
某游泳馆推出两种付费方式：单次卡，每次收费30元；办理会员年卡，一次性缴纳360元会员费，每次游泳另收费18元(一年内有效).王叔叔打算去该游泳馆游泳，选择什么方式更划算呢？请你帮王叔叔算一算，选一选.
(1)王叔叔叔一年游泳达______次，两种付费方式所用钱数相等.
(2)请根据上面的计算结果，给王叔叔提出合理建议？
答案(1)30
(2)见详解
解析：(1)
(次)
答：王叔叔叔一年游泳达30次，两种付费方式所用钱数相等，故答案为：30；
(2)王叔叔一年游泳不足30次时，不用办会员；正好30次时，可办也可以不办会员；超过30次时，办会员划算.
易错点点拨
易错点1除法的符号法则与加减运算符号法则混淆出错
例1 .计算的结果为（ ）
A． B．1 C． D．4
错解-4
正解
【答案】D
【分析】根据乘除混合运算的规则进行计算求解即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算．解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则
易错点2 有理数除法运算中误用分配律
计算
错解:
．
正解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则和运算顺序，正确的计算，是解题的关键．
易错点3 有理数混合运算的实际应用中混淆数量关系
例3. 一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是，小莉此时在山脚测得温度是7． 已知该地区高度每增加100m，气温大约降低0.8，这个山峰的高度大约是多少米？
错解：x0.8x100=640
正解
【答案】1000米
【分析】先求出山脚和山顶的温差，然后用温差除以0.8，所得的结果乘以100即为山峰高度．
【详解】解：由题意知，（米），
答：这个山峰的高度大约是1000米．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用．解题的关键在于理解题意并正确运算．
四、针对训练
1 有理数的除法
1. ．
【答案】/
【解析】解：.
2.计算：
(1)(－18)÷(－)； (2)16÷(－)÷(－)．
解：(1)(－18)÷(－)＝(－18)×(－)＝18×＝27；
(2)16÷(－)÷(－)＝16×(－)×(－)＝16××＝.
3.计算
(1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)；
(3)(－0.75)÷(0.25)．
解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；
(2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48；
(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.
2有理数除法的应用
1.化简下列分数：
＝ ；
＝ ；
＝ ．
【答案】 （1） ﹣8 （2） （3） 0
【分析】根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：；
；
，
故答案为：﹣8；；0．
【点睛】本题考查了有理数的除法法则，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0是解题的关键．
2．在湖北省抗击新冠病毒期间，国家实行“一省帮一市对口”支援，春雨矿泉水厂向武汉市的某地区运送矿泉水，该地区人口约12万，每人每天需2瓶水，24瓶水装成一箱，则该厂每天需要装运多少箱矿泉水？
【解析】先计算每天需要矿泉水的瓶数，再用总瓶数除以每箱矿泉水的瓶数即可得出答案．
解：120000×2÷24=10000（箱），
答：则该厂每天需要装运10000箱矿泉水．
3．（1）两数的积是1，已知一个数是-2，求另一个数；
（2）两数的商是-3，已知被除数是4，求除数．
【解析】根据题意列出算式即可求出答案．
解：（1）1÷（-2）=1×（-）=-；
（2）4÷（-3）=×（-）=-
4．某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆．
（1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况；
（2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？
【解析】（1）在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．比400辆多出的数记作正数，比400辆少的记作负数；
（2）本周实际共生产自行车的辆数=本周内每日实际生产量之和，再除以7即得平均每日实际生产自行车的辆数．
解：（1）以每日生产400辆自行车为标准，多出的数记作正数，不足的数记作负数，则有
+5，-7，-3，+10，-9，-15，+5；
（2）405+393+397+410+391+385+405=2786（辆），2786÷7=398（辆）．
即总产量为2786辆，平均每日实际生产398辆．
3 有理数乘除混合运算
1.计算，结果正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解： ，故选：A．
2甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米．
A．900 B．720 C．540 D．1080
【答案】A
【解析】解：
，
，
（米），
3.定义一种新运算：．例如．则的值为（ ）
A． B．9 C．15 D．27
【答案】C
【分析】先求出的值，再计算即可．
【详解】解：∵，
∴
=
=
=，
∴
=
=
=
=15．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的有理数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
答：A、B两地相距900米，
4.计算：
（1）-5×2+3÷ -（-1）；
（2）（ ）÷ ．
【答案】 （1）解：原式=-10+3×3+1=-10+9+1=0，
故答案为：0；
（2）解：原式=
，
故答案为：-23．
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减乘除混合运算计算求解即可；
（2）利用有理数的加减乘除混合运算计算求解即可。
5.用简便方法计算：（﹣ ﹣ + ）÷（﹣ ）．
【答案】 解：原式=（﹣ ﹣ + ）×（﹣36）
=16+15﹣6
=25．
【解析】【分析】根据乘法的分配律计算即可.
6.在计算时，小明的解法如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
回答：
(1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________；
(2)请在下面给出正确的解答过程．
【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算
(2)见解析
【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误；
（2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可．
【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误，
故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．．
7.某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：
与标准质量的差值（单位：千克） 0
箱数 1 4 3 4 5 3
(1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？
(2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？
(3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费）
【答案】(1)这20箱樱桃质量相差最大是1．3千克
(2)这20箱樱桃的总质量是205千克
(3)该水果店销售这批樱桃共盈利1312元
【详解】（1）解：（千克）
答：这20箱樱桃质量相差最大是1.3千克．
（2）
（千克）
这20箱樱桃的总质量是205千克．
（3）
（元）
（元）
（元）
答：该水果店销售这批樱桃共盈利1312元．
8．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次）
星期 一 二 三 四 五 六 七
增减
(1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？
(2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？
(3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），该采样点在这周至少需要多少根采样管？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：（人次）
答：该采样点前三天共完成了人次的核酸采样；
（2）解：（人次）
答：采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了人次；
（3）解：（人次）
（根）
答：该采样点在这周至少需要根采样管
五、能力提升
提升1 有理数的除法
1.计算：．
【答案】．
【详解】解：
．
2.计算．
【答案】
【详解】原式
提升2有理数除法的应用
1.根据如图给出的数轴，解答下面的问题：
（1）点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 ．若将数轴折叠，使得A与﹣5表
示的点重合，则B点与数 　 　　 表示的点重合；
（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：　 　；
（3）化简：＝　 　，并将化简的结果在下面的数轴上表示出来．
【分析】（1）根据数轴上的点表述的特点，对称的性质来填空即可；
（2）根据数轴两点的距离定义来做即可；
（3）利用分数的性质约分，并在数轴上表示出来．
【解答】解：（1）点A表示的数是 1，点B表示的数是﹣3．若将数轴折叠，使得A点与﹣5表示的点重合，则B点与数﹣1表示的点重合；
故答案为：1；﹣3；﹣1；
（2）根据数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5；
故答案为：﹣3或5；
（3）化简：＝2.5；
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了数轴与有理数的除法，解题的关键是掌握数轴的意义，约分．
2.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，且甲比乙快.开始后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲刚好下到半山腰，求甲从出发到返回出发点共需多少小时？
答案：1.5小时
解析：下山的600米相当于上山：（米），
甲下山走一半的路程，相当于甲用上山的速度走的路程，也就是乙上山走一个全程，
甲上山走一个个全程.
甲乙两人的速度比是，
甲上山速度是：（米/小时），
甲下山速度是（米/小时）.
1个上山全程是（米）.
出发1小时后，甲还有下山路（米），
要走（小时）；
一共要走（小时）.
答：甲从出发到返回出发点共需1.5小时.
3．甲、乙两地相距720千米.一辆汽车从甲地匀速开往乙地，已经行驶了4小时，剩下的路程比已经行驶的多40千米.这辆汽车的速度是多少千米/时？
答案：这辆汽车的平均速度是85千米/时
解析：（千米/时），
答：这辆汽车的平均速度是85千米/时.
3．一只船被发现漏水时，已经进了一些水，水均匀进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？
答案：14
解析：设一人一小时淘出的水量定为1，
3小时的总水量：，
8小时的总水量：，
每小时的进水量：，
2小时的总水量：，
需要的人数：（人），
答：需要安排多少人淘水14人.
4．2022年2月6日，女足2022亚洲杯决赛，中国队以的比分逆转韩国队，时隔16年再次获得亚洲杯冠军.
（1）这场决赛，中国队的进球数是韩国队进球数的几倍？
（2）你了解足球吗？足球的表面是由32块的黑色五边形和白色六边形围成.其中黑色五边形的块数是3和4的最小公倍数，请问黑色五边形和白色六边形各有多少块？
（3）淘气是一名足球爱好者，他要从甲城到相距360千米的乙城去看一场期待已久的足球赛，已知他前3小时行驶了180千米，照这样的速度，行完全程需要几小时？
答案：（1）倍
（2）12块，20块
（3）6小时
解析：（1），
即中国队的进球数是韩国队进球数的倍；
（2）3和4的最小公倍数是，
则黑色五边形有12块，
则白色六边形有块；
（3）因为前3小时行驶了180千米，
所以每小时行驶千米，
所以照这样的速度，行完全程需要小时.
提升3 有理数乘除混合运算
1.(1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)．
解：(1)原式＝－××(－)＝××＝1；
(2)原式＝(－)×(－)×(－)＝－(××)＝－4.
2.计算：．
解法1：原式①②③
解法2：原式①②③
(1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）
(2)请给出正确解答．
【答案】(1)①；③ (2)解答过程见详解
(1)解：解法1，步骤①中“先算加减后算乘除”不符合有理数混合运算法则，故步骤①错误；
解法2，，步骤③不符合有理数加法法则，故步骤③错误．
故答案为：①；③．
(2)解：原式
3.请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是（﹣+）÷（）
＝（﹣+）×（﹣30）
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数（﹣+﹣）÷（﹣）的结果，再算出原式结果即可．
【解答】解：原式的倒数是：
（﹣+﹣）÷（﹣）
＝（﹣+﹣）×（﹣42）
＝﹣（×42﹣×42+×42﹣×42）
＝﹣（7﹣9+28﹣12）
＝﹣14，
故原式＝﹣．
【点评】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键．
4.如图A在数轴上所对应的数为．
(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
(3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度．
【答案】(1)点B所对应的数是4；
(2)A，B两点间的距离是14个单位长度；
(3)经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度．
【详解】（1）解：，
故点B所对应的数是4；
（2）解：（秒），
（个单位长度），
故A，B两点间的距离是14个单位长度；
（3）解：①运动后的B点在A右边4个单位长度，
（秒）；
②运动后的B点在A左边4个单位长度，
（秒），
故经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度．
5.如图，
7 2 5 1
(1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______
(2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ，
(3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________
【答案】(1)35
(2)
(3)，2，5，1；（答案不唯一）
【详解】（1）解：从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是，
故答案为：35；
（2）从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是；
故答案为：；
（3）选取：，2，5，1；
算式为：（答案不唯一）
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