中小学教育资源及组卷应用平台
第十二章《全等三角形》单元提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABE≌△ACD，若AB＝8，AE＝5，则BD的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，添加下列一个条件后，仍无法判断△ABO≌△DCO的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠C C．OB＝OC D．AB＝DC
3．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
4．根据下列条件不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝5°
5．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
6．如图，点E、F在直线AC上，AE＝CF，AD＝BC，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件，给出下列条件：①∠A＝∠C；②BE＝DF；③BE∥DF；④AD∥BC，其中符合要求的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
7．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（ ）
A．3＜AC＜17 B．3＜AC＜15 C．1＜AC＜6 D．2＜AC＜12
8．如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
二．填空题（共8小题）
11．如果两个三角形全等，那么它们的周长 相等．（填“一定”或“不一定”）
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
13．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算FH的长为 ．
14．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 cm．
15．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠B的度数为 ．
16．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ cm．
17．如图，AB∥CD，AD∥BC，可得△ABC≌△CDA的依据是 ．
18．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧．已知BE＝CF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．
20．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．
（1）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数．
21．如图，AD为△ABC中∠BAC的平分线，且BD＝DC，求证：AB＝AC．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE．求证：∠ADB＝∠EDC．
23．如图，BM，CN是△ABC的高，点P在直线BM上，Q在直线CN上，且BP＝AC，CQ＝AB．
（1）猜想AQ与AP的大小关系，并证明你的结论．
（2）判断AQ与AP有何特殊的位置关系？并证明你的结论．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD＝DF．
（Ⅰ）求证：CF＝AE；
（Ⅱ）若AE＝3，BF＝4，求AB的长．
25．如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．则BE＝ ；
（2）如图2，若AB＝7，AC＝5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠C＝2∠B，AB＝m，AC＝n，请直接写出BD的长（用含m，n的式子表示）．
26．为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知：在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°．
（1）如图①，当∠B＝90°时，求证：CB＝CD；
（2）如图②，当∠B＜90°时，
①求证：CB＝CD；
②若AB＝13cm，AD＝6cm，∠B＝45°，则点C到AB的距离是 cm．中小学教育资源及组卷应用平台
第十二章《全等三角形》单元提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABE≌△ACD，若AB＝8，AE＝5，则BD的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】由全等三角形的对应边相等，得到AD＝AE＝5，而AB＝8，即可求出BD的长．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝5，
∵AB＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝3．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
2．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，添加下列一个条件后，仍无法判断△ABO≌△DCO的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠C C．OB＝OC D．AB＝DC
【思路点拔】由全等三角形的判定定理，即可判断．
【解答】解：A、∠A＝∠D，又OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，由ASA判定△ABO≌△DCO，故A不符合题意；
B、∠B＝∠C，又∠AOB＝∠DOC，OA＝OD由AAS判定△ABO≌△DCO，故B不符合题意；
C、OB＝OC，又∠AOB＝∠DOC，OA＝OD由SAS判定△ABO≌△DCO，故C不符合题意；
D、AB＝DC，∠AOB和∠DOC分别是AB和DC的对边，不能判定△ABO≌△DCO，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
3．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【思路点拔】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．根据下列条件不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝5°
【思路点拔】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．符合全等三角形的判定定理SSS，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
B．符合全等三角形的判定定理SAS，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
C．符合两直角三角形全等的判定定理HL，能作出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
D．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的△ABC，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【思路点拔】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“ASA”即可画出一个与原来完全样的三角形．
【解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是ASA．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
6．如图，点E、F在直线AC上，AE＝CF，AD＝BC，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件，给出下列条件：①∠A＝∠C；②BE＝DF；③BE∥DF；④AD∥BC，其中符合要求的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【思路点拔】添加条件∠A＝∠C，由SAS判定△ADF≌△CBE，添加条件BE＝DF，由SSS判定△ADF≌△CBE，由BE∥DF，得到CEB＝∠AFD，但∠CEB，∠AFD分别是BC，AD的对角，因此不能判定△ADF≌△CBE，由AD∥BC，得到∠A＝∠C，因此由SAS判定△ADF≌△CBE．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∵AD＝BC，
∴添加条件∠A＝∠C，由SAS判定△ADF≌△CBE，
故①符合题意；
添加条件BE＝DF，由SSS判定△ADF≌△CBE，
故②符合题意；
∵BE∥DF，
∴CEB＝∠AFD，
∵∠CEB，∠AFD分别是BC，AD的对角，
∴不能判定△ADF≌△CBE，
故③不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∴由SAS判定△ADF≌△CBE，
故④符合题意．
∴其中符合要求的是①②④．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
7．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（ ）
A．3＜AC＜17 B．3＜AC＜15 C．1＜AC＜6 D．2＜AC＜12
【思路点拔】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE，
即5+5﹣7＜AC＜5+5+7，
3＜AC＜17．
故选：A．
【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
8．如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拔】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，证△ACM≌△BCN，推出AM＝BN，即可解决问题．
【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，
则∠CMA＝∠CNB＝90°，
∵C（5，5），
∴CN＝CM＝5，
∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°，
∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠MCN，
∴∠ACM＝∠BCN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴AM＝BN，
∴OA+OB＝OA+0N+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
【思路点拔】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【思路点拔】过E点作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线的性质得到EF＝EB，则可判断Rt△ABE≌Rt△AFE，所以AB＝AE，∠AEB＝∠AEF，由于EC＝EB＝EF，则可判断Rt△DEC≌Rt△DEF，所以DC＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠FDE＝∠CDE，于是可对②进行判断；利用∠AED＝∠AEF+∠DEF∠BEF∠CEF可对①进行判断；利用DE＞EC，EC＝BE可对③进行判断；利用AF＝AB，DF＝DC可对④进行判断．
【解答】解：过E点作EF⊥AD于F，如图，
∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，EB⊥AB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AB＝AE，∠AEB＝∠AEF，
∵点E是BC的中点，
∴EC＝EB，
∴EC＝EF，
在Rt△DEC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△DEC≌Rt△DEF（HL），
∴DC＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∵∠AED＝∠AEF+∠DEF∠BEF∠CEF
∴∠AED＝90°，所以①正确；
∵DE＞EC，而EC＝BE，
∴DE＞BE，所以③错误；
∵AF＝AB，DF＝DC，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了角平分线的性质．
二．填空题（共8小题）
11．如果两个三角形全等，那么它们的周长 一定 相等．（填“一定”或“不一定”）
【思路点拔】由全等三角形的对应边相等，即可得到答案．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴两个全等三角形的对应边相等，
∴它们的周长一定相等．
故答案为：一定．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 AB＝AC ．
【思路点拔】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
13．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算FH的长为 16 ．
【思路点拔】证△EFA≌△AGB，得AF＝BG＝3，AG＝EF＝6．同理△BGC≌△CHD（AAS），得GC＝DH＝4，CH＝BG＝3．即可解决问题．
【解答】解：∵AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，
∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG，
在△EFA和△ABG中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS），
∴AF＝BG＝3，AG＝EF＝6．
同理△BGC≌△CHD（AAS），
∴GC＝DH＝4，CH＝BG＝3．
∴FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 10 cm．
【思路点拔】根据全等的SAS定理证得△AOB≌△A′OB′，即可得到A′B′＝AB，进而得出答案．
【解答】解：连接A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB，
∵A'B'＝10cm，
∴AB＝10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
15．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠B的度数为 55° ．
【思路点拔】由图示知：∠DFC+∠AFD＝180°，则∠DFC＝35°．通过全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）的对应角相等推知∠B＝∠C，则可得出答案．
【解答】解：∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，
∴∠CFD＝35°．
∴∠C＝90°﹣∠CFD＝55°，
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠CDF＝90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C＝55°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
16．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10cm，CF＝3cm，则AC＝ 13 cm．
【思路点拔】由AE＝BE，DE是AB的垂线得出AD＝BD，根据SAS证明△ADF≌△BDF，即可得到AF＝BF，再根据线段的和差即可得解．
【解答】解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，
∴AD＝BD，∠ADE＝∠BDE＝90°，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF＝BF，
∴AC＝AF+CF＝BF+CF，
∵BF＝10cm，CF＝3cm，
∴AC＝13cm，
故答案为：13．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据SAS证明△ADF≌△BDF是解此题的关键．
17．如图，AB∥CD，AD∥BC，可得△ABC≌△CDA的依据是 ASA ．
【思路点拔】由题意可得∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠BCA，由“ASA”可证△ABC≌△CDA．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠BCA，且AC＝AC
∴△ABC≌△CDA（ASA）
故答案为：ASA
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
18．如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是 ①②③④ ．
【思路点拔】由BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，BA＝BE，根据“SAS”证明△ABD≌△EBC，可判断①正确；由全等三角形的性质得∠BCE＝∠BDA，由∠BDC＝∠BCD，∠BDC＝∠ADE，得∠BCD＝∠ADE，则∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠ADE＝180°，可判断②正确；因为∠ADE＝∠BDC（180﹣∠DBC）（180﹣∠ABE）＝∠BEA，所以AD＝AE，而AD＝EC，则AD＝AE＝EC，可判断③正确；在BA上截取BG＝BC，连接GE，可证明△AGE≌△ACE，得EG＝EC，则EG＝AE，因为EF⊥AG，所以GF＝AF，则BA﹣BF＝BF﹣BG，即可证明BA+BC＝2BF，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
故①正确；
∴∠BCE＝∠BDA，
∵∠BDC＝∠BCD，∠BDC＝∠ADE，
∴∠BCD＝∠ADE，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠ADE＝180°，
故②正确；
∵∠ABE＝∠DBC，∠BEA＝∠BAE，∠BDC＝∠BCD，
∴∠ADE＝∠BDC（180﹣∠DBC）（180﹣∠ABE）＝∠BEA，
∴AD＝AE，
∵AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
故③正确；
在BA上截取BG＝BC，连接GE，
在△AGE和△ACE中，
，
∴△AGE≌△ACE（SAS），
∴EG＝EC，
∴EG＝AE，
∵EF⊥AG，
∴GF＝AF，
∴BA﹣BF＝BF﹣BG，
∴BA+BG＝2BF，
∴BA+BC＝2BF，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠ADE＝∠BEA是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧．已知BE＝CF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的判定证得AB＝AC，再证明△ABF≌△ACE即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DAC＝∠BAE＝30°，再根据等腰三角形的性质求得∠ADC＝∠ACD＝75°，进而得到∠BAD＝∠ADC即可证的结论．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AE＝AF；
（2）证明：∵△ABF≌△ACE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE＝30°，
∵AD＝AC，
∴，
又∵∠BAD＝75°，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥DC．
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用全等三角形证明线段相等或角相等是解答的关键．
20．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．
（1）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数．
【思路点拔】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADE，进而可得结论；
（2）结合（1）和三角形内角和定理即可求出∠DEB的度数．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE．
∴∠EAC＝∠BAD；
（2）解：∵AC＝AE，∠EAC＝42°，
∴∠AEC＝∠C（180°﹣∠EAC）（180°﹣42°）＝69°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝69°，
∴∠DEB＝180°﹣∠AED﹣∠C＝180°﹣69°﹣69°＝42°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△ADE．
21．如图，AD为△ABC中∠BAC的平分线，且BD＝DC，求证：AB＝AC．
【思路点拔】过点D分别作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，证明△AED与△AFD全等，再进而证明即可
【解答】解：AB＝AC，理由如下：
过点D分别作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，
∵AD为△ABC中∠BAC的角平分线，
∴ED＝FD，
在△AED与△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
在Rt△BED与Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△DFC（HL），
∴EB＝FC，
∴AB＝AC．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明△AED与△AFD全等．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE．求证：∠ADB＝∠EDC．
【思路点拔】由“ASA”可证△ABD≌△CAM，可得∠ADB＝∠M，AD＝CM，BD＝AM，由“SAS”可证△CDE≌△CME，可得结论．
【解答】证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，
则∠ACM＝90°＝∠BAC，
∴CM∥AB，
∴∠MCE＝∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAF＝∠ADB，∠ADB+∠FAD＝90°，∠ABD+∠BAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAM，
在△ABD和△CAM中，
，
∴△ABD≌△CAM（ASA），
∴∠ADB＝∠M，AD＝CM，BD＝AM，
∵D为AC中点，
∴AD＝DC＝CM，
在△CDE和△CME中，
，
∴△CDE≌△CME（SAS），
∴∠M＝∠CDE，
∴∠ADB＝∠EDC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．如图，BM，CN是△ABC的高，点P在直线BM上，Q在直线CN上，且BP＝AC，CQ＝AB．
（1）猜想AQ与AP的大小关系，并证明你的结论．
（2）判断AQ与AP有何特殊的位置关系？并证明你的结论．
【思路点拔】（1）结论：AQ＝AP，易证∠ABP＝∠ACQ，即可求证△ACQ≌△PBA，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AP＝AQ；
（2）结论：AQ⊥AP．根据全等三角形对应角相等即可求得AP⊥AQ；
【解答】解：（1）结论：AQ＝AP．
理由：∵∠ABP+∠BAM＝90°，∠ACQ+∠CAN＝90°，
∴∠ABP＝∠ACQ，
在△ACQ和△PBA中，
，
∴△ACQ≌△PBA（SAS），
∴AP＝AQ．
（2）结论：AQ⊥AP．
理由：∵△ACQ≌△PBA，
∴∠Q＝∠PAB，
∵∠Q+∠QAN＝90°，
∴∠PAB+∠QAN＝90°，
∴∠QAP＝90°
∴AP⊥AQ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACQ≌△PBA是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD＝DF．
（Ⅰ）求证：CF＝AE；
（Ⅱ）若AE＝3，BF＝4，求AB的长．
【思路点拔】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；
（Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE＝BC，再进行等量代换即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DC，∠AED＝90°，
在Rt△CDF与Rt△EDA中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL），
∴CF＝AE；
（Ⅱ）∵CF＝AE，AE＝3，
∴CF＝3，
∵BF＝4，
∴BC＝BF+CF＝4+3＝7，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DEB＝∠C，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△BED和△BCD中，
，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BE＝BC＝7，
∴AB＝BE+AE＝7+3＝10．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记全等三角形的判定定理及角平分线的性质是解题的关键．
25．如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．则BE＝ 2 ；
（2）如图2，若AB＝7，AC＝5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠C＝2∠B，AB＝m，AC＝n，请直接写出BD的长（用含m，n的式子表示）．
【思路点拔】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；
（2）过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出BD的长．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA＝∠EFA，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，
故答案为：2；
（2）过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴DF＝DE，
∵AC＝5，△ACD的面积是10，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∴S△ABDAB DF7×4＝14，
∴△ABC的面积＝24；
（3）在AB上取AN＝AC，
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠NAD＝∠CAD，
在△ADN与△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（SAS），
∴∠AND＝∠C，DN＝CD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AND＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，
∴CD＝DN＝m﹣n，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
，
∴，
∴BDm．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．
26．为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知：在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°．
（1）如图①，当∠B＝90°时，求证：CB＝CD；
（2）如图②，当∠B＜90°时，
①求证：CB＝CD；
②若AB＝13cm，AD＝6cm，∠B＝45°，则点C到AB的距离是 3.5 cm．
【思路点拔】（1）先证明∠B＝∠D＝90°，再由角平分线的性质即可证明结论；
（2）①过点C作CE⊥BA交于点E，过点C作CF⊥AD交于点F，先证明∠B＝∠FDC，再由角平分线的性质得到CF＝CE，通过证明△CDF≌△CBE，即可求解；②证明△ACF≌△ACE，可得AD+BE＝AB﹣BE，再由已知得到CE＝BE＝3.5cm，则点C到AB的距离是3.5cm．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CD＝BC；
（2）①证明：过点C作CE⊥BA交于点E，过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F，如图②，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠FDC＝180°，
∴∠B＝∠FDC，
∵AC平分∠BAD，CE⊥BA，CF⊥AD
∴CF＝CE，
∵∠F＝∠CEB＝90°，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝BC；
②解：由①可知CF＝CE，∠F＝∠CEA＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAF＝∠CAE，
又∵AC＝AC，
∴△ACF≌△ACE（AAS），
∴AF＝AE，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，即AD+BE＝AB﹣BE，
∵AB＝13cm，AD＝6cm，
∴BE＝3.5cm，
∵∠B＝45°，
∴∠BCE＝45°＝∠B，
∴CE＝BE＝3.5cm，
∴点C到AB的距离是3.5cm，
故答案为：3.5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定及性质，角平分线的性质是解题的关键．
