2023-2024学年河北省邢台市信都区邢台市第一中学高一下学期7月期末数学试题（含答案）

2023-2024学年河北省邢台市第一中学高一下学期7月期末
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.某校高一年级有名学生，高二年级有名学生，高三年级有名学生．该校心理咨询室为了解该校学生的心理健康状况，对该校所有学生按年级采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为的样本，则样本中高一年级的学生人数为( )
A. B. C. D.
3.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的
4.在中，，则( )
A. B. C. D.
5.一个袋子里装有个红球和个黑球，甲、乙每人随机不放回地取个球，则互斥且不对立的两个事件是( )
A. “甲取出球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B. “甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有个红球”
6.一个棱长为的正四面体木块如图所示，点在棱上，且，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为( )
A. B. C. D.
7.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点在同一水平面上测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离( )
A. B. C. D.
8.一个大正方体木块的表面积为，将大正方体木块的表面涂上红色颜料，并且分割成若干个棱长为的小正方体木块．若从这些小正方体木块中任取一个，恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，，，若，，，四个点能构成平行四边形，则点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
10.样本，的数据如下表：
样本编号

样本，的平均数分别记为和，样本，的方差分别记为和，则( )
A. B. C. D.
11.如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是矩形，，，，，，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱台的体积为
B. 该四棱台的侧面积为
C. 该四棱台外接球的表面积为
D. 若在该四棱台内有一个球体，则该球体半径的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
14.已知是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，满足，，．
若在上的投影向量为，求和的夹角；
若，，两两夹角为，且与垂直，求的值．
16.本小题分
某校高一年级共名学生参加某次数学考试后，学校随机抽取了若干份试卷对其得分满分分进行统计，按照，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
求的值；
试估计本次数学考试分数的中位数保留一位小数；
试估计本次数学考试分数不低于的人数．
17.本小题分
已知正方体．

证明：．
求二面角的余弦值．
18.本小题分
某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在岁到岁之间与年龄在岁到岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，已知甲岁、乙岁两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．
甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；
求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；
求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．
19.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
已知；
求面积的最大值；
延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.或
15.
在上的投影向量为，
因为，，所以，即，
所以，
即和的夹角为；
由与垂直，所以，
整理得，
又，，，且，，两两夹角为，
则，，，
则，解得，
综上，的值为或．

16.
由频率分布直方图可得，
所以；
因为，，
所以本次数学考试分数的中位数在这一组，
设本次数学考试分数的中位数为，则，
解得，
所以估计本次数学考试分数的中位数为；
由频率分布直方图可得数学分数不低于的频率为，
用样本估计总体，可以估计数学分数不低于的人数为，
所以估计本次数学考试分数不低于的人数为．

17.
连接．
在正方体中，平面，
平面，所以．
在正方形中，．
因为，平面，
所以平面．
因为平面，所以；
取的中点，连接，，则．
在正方体中，
因为平面，平面，所以．
又因为，，平面，
所以平面，平面，则．
又因为，所以为二面角的平面角．
连接，设正方体的棱长为在中，
，，
．
由余弦定理得．
故二面角的余弦值为．


18.
设甲、乙两人第次答对题目分别记为事件，，
则，．
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为．
设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件，则，
．
故所求概率为．
甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为．
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为．
故所求概率为．

19.
根据正弦定理角化边可知，，
即，
，
即，即，
即，，
所以，即，，
则；
因为，所以，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即面积的最大值为．
设的中点为．
．
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以．
故．
综上，的最小值为．

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