2023-2024学年吉林省吉林八校高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年吉林省吉林八校高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知某校有名男学生，名女学生，为了了解该校学生的体重情况，按男女分层抽样的方法随机抽取名学生进行调查，则被抽取到的女学生人数是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.在平静的湖面上，小船甲从处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在的正东方向，且相距千米的处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过小时后，这两艘小船在处相遇，则小船甲的速度是( )
A. 千米时 B. 千米时 C. 千米时 D. 千米时
7.在边长为的正中，，点在线段上，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某篮球运动员进行投篮训练，共进行了组，每组投篮次，每组投篮命中的个数分别为，，，，，，，，，已知这组数据的平均数为，方差为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为的共轭复数，若，下列结论正确的是( )
A. 在复平面内对应的点位于轴上 B. 的实部为
C. 的虚部为 D.
10.已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11.如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是( )
A. 三棱锥的体积不变 B. 平面
C. D. 平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的方向向是为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是 ．
13.在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该园台形容器的上底面圆的直径是米，下底面圆的直径是米，母线长为米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是 立方米．
14.在中，角，，的对边分别是，，，，，是内角的角平分线，和的面积分别是，，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量单位：进行统计，所得数据都在内，按，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数；
若这批鱼有条，估计这批鱼中重量在内
数量．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点．
证明：平面．
证明：平面平面．
17.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求；
若，求的周长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，分别是棱的中点，，平面平面．
证明：平面．
求二面角的正弦值．
19.本小题分
在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个次单位根，因为，因此只有两个次本原单位根．
直接写出复数的次单位根，并指出那些是复数的次本原单位根无需证明．
若是复数的次本原单位根，证明：．
若是复数的次本原单位根，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 或
15.解：由频率分布直方图可得，
解得；
设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为，
因为，，
所以
则，解得，
即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为；
由频率分布直方图可知这批鱼中重量在内的频率是，
则这批鱼中重量在内的数量是条

16.解：记，连接．
因为四边形是正方形，所以是的中点．
因为是的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．

连接．
因为四边形是正方形，所以是的中点．
因为，所以．
因为四边形是正方形，所以．
因为平面，且，所以平面．
因为平面，所以平面平面．

17.解：因为，所以．
又，所以，则，
因为，所以．
因为，所以．
由余弦定理，得．
整理得，解得或．
因，则．
当时，，不合题意排除；
当时，，满足题意．
则，的周长为．

18.解：连接．
因为是的中点，所以．
因为，所以四边形是菱形，
则．
因为是的中点，所以．
因为平面平面，且平面平面平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为平面，且，所以平面．
取的中点，连接，易证两两垂直，
故以为原点，以，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得，
则．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则令，得．
设二面角为，则，
故，即二面角的正弦值为．

19.解：由题意可得的解为，
则复数的次单位根为，
由于因为，的一次方以及次方均不等于，
故复数的次本原单位根为．
证明：因为是复数的次本原单位根，所以．
因为，所以，
所以，
则．
因为是复数的次本原单位根，所以，
设，则．
因为，所以，所以，
所以．
因为，所以，即，
则，即．

第1页，共1页