人教版数学八年级上暑假预习课第十一讲 全等三角形自学检测卷（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第十一讲 全等三角形自学检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
时间120分钟 满分120分
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等
3．如图，已知，要使得，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在中，，点在的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是（ ）

A． B．与是同旁内角
C． D．
7．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的有（ ）
①的面积的面积；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，若则 °．
12．如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ．
13．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等．
14．如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ．
15．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是 ．（填写序号）
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）将沿方向平移，得到．
(1)若，求的度数；
(2)若，求平移的距离．
17．（8分）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：．求作：，使得．作法：如图．（1）画；（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，
∴_____．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①；②；③；④
18．（8分）如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
19．（8分）如图，小林家门前有一口池塘，不能直接到达两个端点A、B测距离．小林提出了一种测量方案：如图，过点B作，在的延长线上取一点C，再由点D观测，使．这时只要测出的长即为A、B之间的距离．请判断这个方案是否可行，并说明理由．
20．（9分）先阅读材料再解决问题．
【阅读材料】
学习了三角形全等的判定方法“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：“当和满足时，和是否全等”．

如图1，这小组同学先画，再画．在画的过程中，先过作于点，发现如下几种情况：
当时，不能构成三角形．
当时，根据“HL”或“AAS”，可以得到．
当时，又分为两种情况．
①当时，和不一定全等．
②当时，和一定全等．
【解决问题】
(1)对于的情况，请你用尺规在图2中补全和，使和不全等．（标明字母并保留作图痕迹）

(2)对于的情况，请在图3中画图并证明．

21．（9分）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角；
项目数据 …
任务：
(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
(2)若，则 ；
(3)请你说明他们作法的正确性．
22．（12分）综合与实践：
(1)如图1是小华设计的一个角平分仪，其中（，．将点O放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则射线就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性．
(2)如图2，在中，，、分别是和的平分线，、相交于点 G．
①求的度数；
②如图3，在上截取，在上截取．若为等腰三角形，则的度数为 ．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点分别在轴、轴正半轴上，且，满足关系式；
(1)如图(1)，若点坐标为，连接、，求的面积；
(2)如图(2)，是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点，求度数；
(3)如图(3)，以为边长作为等边三角形，，，若点、点分别是线段、线段上的两个动点，且，与相交于点，在点、点运动过程中，请问的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．
人教版数学八年级上暑假预习课
第十一讲 全等三角形自学检测卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
时间120分钟 满分120分
评卷人 得分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1.如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案．D
【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵，
，
在中，，，
．
故选：D
2．下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可．
【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误；
B、全等三角形的面积相等，该选项正确；
C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；
D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误．
故选：B．
3．如图，已知，要使得，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的证明条件，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．根据证明即可．
【详解】解：在，中，
，
，
故选B．
4．如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，添加的条件为，
∵，，
∴，
故选：D．
5．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
根据，求出，，从而求得，再根据三角形全等证明即可．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
．
故选：B．
6．如图，在中，，点在的延长线上，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论正确的是（ ）

A． B．与是同旁内角
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，三角形的外角的性质，由图可得，结合三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解： A．不能判断，故该选项不正确，不符合题意；
B． 与是不同旁内角，故该选项不正确，不符合题意；
C．由已知条件不能判断，故该选项不正确，不符合题意；
D．由作图可得，
∵
∴，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
7．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：，
，
，
在与中，
，
，
，
则
壁虎以的速度B处往处爬，
．
故选：C．
8．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作于，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
同理，，
设的面积为，由题意得，
，
解得，
即的面积为11，
故选：A
9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的有（ ）
①的面积的面积；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【详解】是中线，
的面积的面积(等底等高的三角形的面积相等)，故①正确；
是角平分线，
，
为高，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
为高，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
即，故③正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；
因此正确的有：①②③，个
故选：C
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
10．如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】①作高线EH，先根据角平分线定理得：CE=EH，再证明△ACE≌△AHE(AAS)可得：AH=AC，根据线段的和可得结论；
②先证明点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°；
③作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌△BCG，根据等腰三角形三线合一得BD=DG，知道：△BDC和△CDG的面积相等，由此可得：；
④根据③知：AB=AG=AC+CG，在△CDG中，可知CD>CG，从而得结论．
【详解】①过点E作EH⊥AB于H，如图1，
∵∠ABC=45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
∵AE平分∠CAB，
∴EH=CE，
∴CE=BH，
在△ACE和△AHE中，
∵ ，
∴△ACE≌△AHE(AAS)，
∴AH=AC，
∴AB AC=AB AH=BH=CE，
故①正确；
②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135°
故②正确；
③如图2，延长BD、AC交于点G，
∵AD平分∠BAG，AD⊥BG，
∴BD=DG，
∴CD是Rt△BCG的斜边的中线，
∴CD=BD， ，
∴∠DBC=∠DCB=22.5°，
∴∠CBG=∠CAE=22.5°，
∵AC=BC，∠ACE=∠BCG，
∴△ACE≌△BCG，
∴ ，
故③正确；
④∵AB=AG=AC+CG，
∵BG=2CD>AC，CD>CG，
∴AB≠3CD，
故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅助线的做法证明三角形全等是解题的关键.
评卷人 得分
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，若则 °．
【答案】115
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
先根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵，
∴．
在中，∵，，
∴
故答案为：115．
12．如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键．
分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可．
【详解】解：设点运动的时间为，
由题意知：，，则，
当时，，即，
解得；
当时，，，
即，，
解得，
则，
解得，
综上，的值为3或．
故答案为：3或．
13．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点、的运动时间为，的运动速度为，则，，，再根据全等三角形的性质分当时，，和当时，，两种情况讨论即可，熟练掌握全等三角形的性质及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】，点为的中点，
，
设点、的运动时间为，的运动速度为，则，，
，
，
，
与全等共有两种情况：
当时，则有，，
，，
，
，故点的运动速度为；
当时，则有，，
，，
，
，故点的运动速度为，
综上所述：点的运动速度为或．
14．如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ．
【答案】/135度
【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【详解】解：∵点到三边的距离相等，
∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
15．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是 ．（填写序号）
【答案】①③④⑤．
【分析】①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.
【详解】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°
∴∠ACE＝60°
∴∠ACD＝∠BCE＝120°
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD＝BE；
②∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD＝∠CBE
在△ACN和△BCM中
∴△ACN≌△BCM(ASA)
∴AN＝BM；
③∵∠CAD+∠CDA＝60°
而∠CAD＝∠CBE
∴∠CBE+∠CDA＝60°
∴∠BPD＝120°
∴∠APM＝60°；
④∵△ACN≌△BCM
∴CN＝BM
而∠MCN＝60°
∴△CMN为等边三角形；
⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图
∵△ACD≌△BCE
∴CQ＝CH
∴CP平分∠BPD.
故答案为：①③④⑤．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.
评卷人 得分
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）将沿方向平移，得到．
(1)若，求的度数；
(2)若，求平移的距离．
【答案】(1)80°
(2)1cm
【分析】本题考查图形的平移：
（1）根据平移的性质，得到，得到，利用三角形的内角和进行求解即可；
（2）用，求解即可．
【详解】（1）解：∵平移，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）∵，
∴．
∴平移的距离为1 cm．
17．（8分）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：．求作：，使得．作法：如图．（1）画；（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
(1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，
∴_____．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①；②；③；④
【答案】(1)
(2)④
【分析】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
（1）先根据作图可知，，再根据三角形全等的判定定理即可得；
（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．
【详解】（1）证明：由作图可知，，，
在和中，
∴，
故答案为：；
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，
故答案为：④；
18．（8分）如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并准确识图确定出全等的三角形是解题的关键．
（1）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
，，
；
（2）解：，
，
在和中，
，
，
．
19．（8分）如图，小林家门前有一口池塘，不能直接到达两个端点A、B测距离．小林提出了一种测量方案：如图，过点B作，在的延长线上取一点C，再由点D观测，使．这时只要测出的长即为A、B之间的距离．请判断这个方案是否可行，并说明理由．
【答案】这位同学设计的方案可行，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的应用．利用证明，即可得出结论．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】解：这位同学设计的方案可行．
理由：因为，
所以．
在和中，
，
所以，
所以，
所以这位同学设计的方案可行．
20．（9分）先阅读材料再解决问题．
【阅读材料】
学习了三角形全等的判定方法“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：“当和满足时，和是否全等”．

如图1，这小组同学先画，再画．在画的过程中，先过作于点，发现如下几种情况：
当时，不能构成三角形．
当时，根据“HL”或“AAS”，可以得到．
当时，又分为两种情况．
①当时，和不一定全等．
②当时，和一定全等．
【解决问题】
(1)对于的情况，请你用尺规在图2中补全和，使和不全等．（标明字母并保留作图痕迹）

(2)对于的情况，请在图3中画图并证明．

【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理并灵活运用是解题的关键．
（1）根据题意作图；
（2）分两种情况，根据全等三角形的判定定理证明．
【详解】（1）如图，和不全等

（2）证明：

当时，
，
，
，
又，
，
．
当时，作于．

，
，
．
，
又，
，
．
21．（9分）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角；
项目数据 …
任务：
(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
(2)若，则 ；
(3)请你说明他们作法的正确性．
【答案】(1)D
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的方法．
（1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到，标记直杆的底端点，测量的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得；
（2）根据判定和全等，得到，进一步解答即可；
（3）根据判定的合理性说明他们作法的正确性．
【详解】（1）正确的顺序应是：
②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；
④记下直杆与地面的夹角；
③使直杆顶端缓慢下滑，直到；
①标记测试直杆的底端点，测量的长度．
故答案为：；
（2）在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（3）证明：由（2）知，在和中，
，
，
．
即测量的长度，就等于的长度，即点的高度．
22．（12分）综合与实践：
(1)如图1是小华设计的一个角平分仪，其中（，．将点O放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则射线就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性．
(2)如图2，在中，，、分别是和的平分线，、相交于点 G．
①求的度数；
②如图3，在上截取，在上截取．若为等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，或
【分析】（1）由全等三角形的判定定理可得，，即可求解，
（2）①由，根据三角形内角和定理可得，由、分别是和的平分线，得到，，代入可得，根据三角形内角和定理即可求解，②由、分别是和的平分线，得到，，结合，，，，得到，，，，代入得到，，当时，，代入得到，结合，可得∴，，当时，，根据三角形内角和得到，代入得，结合，可得，，当时，，据三角形内角和得到，代入得，结合，可得，，
本题考查了，三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴射线是的平分线，
（2）解：①∵，，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
②∵、分别是和的平分线，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
即：，，
当时，，即：，
∴，由（1）得，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
故答案为：①，②，或．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点分别在轴、轴正半轴上，且，满足关系式；
(1)如图(1)，若点坐标为，连接、，求的面积；
(2)如图(2)，是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点，求度数；
(3)如图(3)，以为边长作为等边三角形，，，若点、点分别是线段、线段上的两个动点，且，与相交于点，在点、点运动过程中，请问的大小是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值．
【答案】(1)
(2)
(3)的大小不会发生改变，，见解析
【分析】（1）根据算术平方根以及绝对值的非负性得出方程组，求得的值，即可得出的坐标，过点作轴于点，根据，即可求解；
（2）设，则，根据三角形的外角的性质，即可求解；
（3）证明，根据全等三角形的性质以及三角形的外角的性质可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
解得：
∴
∴
如图所示，过点作轴于点，
∵
∴
∴，，
∴，
∴
；
（2）解：如图
设，则
∵是邻补角的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点，
∴，，
∴
（3）解：°，理由如下，
如图所示，
∵，，，
∴
∴
∴
∴°
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解二元一次方程组，坐标与图形，三角形内角和定理以及三角形的外角性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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