人教版数学八年级上暑假预习课第十二讲 轴对称（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第十二讲 轴对称
知识点梳理
知识点1 轴对称
1.轴对称图形和轴对称　　
（1）轴对称图形
　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.轴对称的性质
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，所得图形与原图形全等．
(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
典例剖析1
例1-1．如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（　　）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
例1-2．下列图形中，直线l为该图形的对称轴的是（　　）
A. B.
C. D.
知识点2 设计轴对称图形
画已知图形的轴对称图形
依据：
如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，据此我们通过作出已知点的对称点的方法作出已知图形的轴对称图形．
(2)方法：
①选择一些特殊的点；
②过这些点分别作已知直线(对称轴)的垂线，并在垂线上找到一些点(截取)，使得这些点到对称轴的距离分别相等，从而得到已知点的对称点；
③顺次连接这些对称点得到的图形，即为已知图形的轴对称图形．
典例剖析2
例2-1.如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（ ）
A． B． C． D．
例2-2．如图，已知：△ABC是不等边三角形，请以AB为公共边，能作出（　　）个三角形与△ABC全等，且构成的整体图形是轴对称图形．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
例2-3．如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）作出△ABC关于x轴的对称图形△A'B'C'；（不用写作法）
（3）求△A'B'C'的面积．
知识点3 坐标与图形变换
1.关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点(x，y)
关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)
关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)
关于原点对称的点的坐标为(－x，—y)，
2.平面直角坐标系中的轴对称
方法：先求出已知图形中一些特殊点关于x轴(或y轴)的对称点的坐标，描出这些点，并顺次连接，就可得到这个图形关于x轴(或y轴)的对称图形．
3.P(x，y)关于直线x＝m，直线y＝n对称的点的坐标
（1）点(x，y)关于直线x＝m对称的点的坐标关系是：两对称点横坐标之和等于2m，即所求点的横坐标x1＝2m－x，纵坐标不变；
（2）关于直线y＝n对称的点的坐标关系是：两对称点纵坐标之和等于2n，即所求点的纵坐标y1＝2n－y. 横坐标不变。
典例剖析3
例3-1．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A. （-2，-3） B. （2，-3） C. （-2，3） D. （-3，-2）
例3-2．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m,-n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3-n,-m+1），则（m-n）2023的值为（　　）
A. 32023 B. -1 C. 1 D. 0
例3-3．平面直角坐标系内的点A（－1，3）与点B（－1，－3）的位置关系是（　 　）
A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称
C. 关于原点对称 D. 无法确定
知识点4 轴对称综合---几何变换
折叠：
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
典例剖析4
例4-1．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．100° B．104° C．108° D．112°
例4-2．如图，在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6，D为线段AC的中点，把△ABC沿BD折叠，C点的对应点为点E，若△ADE为直角三角形，则CD＝ ．
例4-3．如图，已知与关于直线成轴对称，，
(1)当时，求的度数；
(2)若，，则的面积为________.
例4-4 .如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
三、变式训练
训练1 轴对称
1．下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　　）
A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01
3．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：_____．
训练2 设计轴对称图形
1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．
2．如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；
（3）若点P（m,n）为△ABC边上一点，请直接写出点P经过（1）（2）两次图形变换后的对应点P2的坐标 _____．
3．(0分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 _____．
训练3坐标与图形变换
1.已知点E（x0，y0），点F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1=，y1=．在平面直角坐标系中有三个点A（1，-1），B（-1，-1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA=P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（　　）
A. （0，2） B. （2，0） C. （2，-4） D. （-4，2）
2．在平面直角坐标系中，点M（-4，1），先向右平移2个单位，再作关于y轴对称，最后得到的点的坐标为 _____．
3．如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），写出点B的坐标．
4．在平面直角坐标系中，点A（2，a），B（b,3），C（m,n），且+|b-4|=0．
（1）点A的坐标为 _____，点B的坐标为 _____；
（2）将线段AB平移至EF，点A和点E为对应点，点B和点F为对应点，当点E和点F分别落在两条坐标轴上时，求点E的坐标；
（3）若点C（m,n）在第一象限，且在直线AB上，点C关于x轴的对称点为点D．若△DAB的面积为8，求点D的坐标．
5．已知点A（a-5，1-2a），解答下列问题：
（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；
（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（-2，-3）关于x轴对称，求点A的坐标．
训练4 轴对称综合---几何变换
1.已知，，，在平面直角坐标系（如图）中画出符合要求的图形．
(1)画出；
(2)画出关于y轴对称的；点A的对应点的坐标是 ，点B的对应点的坐标是 ，点C的对应点的坐标是 ；
(3)试在x轴上找点P使最短，（要求完成作图并保留痕迹）
2．如图，，O为内部的一点，连接．
(1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：M，C，N三点在同一条直线上．
3．如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的三点坐标分别为．
(1)如图，连接，得到．将沿着轴翻折后连接求的面积与的面积的差．
(2)在上有一点．若对作平移运动，且平移后点的对应点坐标为，画出平移后的三角形，平移后点的坐标是______．
(3)将沿着轴折叠，点的对应点是．若在轴上存在一点，使最小，求点的坐标．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）当CF＝AB时，点E运动多长时间？并说明理由．
四、能力提升
能力提升1轴对称
1．一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置．如图所示，有三个物体A、B、C放在镜子前面，人眼能从镜子看见哪个物体？
2．如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整．
3.如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．若已知∠1＝55°，∠3＝75°，那么∠2等于　65　度．
能力提升2 设计轴对称图形
1．（1）小河的同旁有甲、乙两个村庄如图（1），现计划在河岸AB上建一个水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题．（保留作图痕迹）
①如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸AB上的何处？
②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又应建在河岸AB上的何处？
（2）如图（2），作出△ABC关于直线l的对称图形．
2．(0分)直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．
（1）如果∠AFE=65°，求∠CDF的度数；
（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
3．(0分)在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
（2）在图2、图3中各作一格点D，使得△ACD∽△DCB，并请连接AD、CD、BD．
能力提升3 坐标与图形变换
1.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示
（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标：
A（_____，_____）；B（_____，_____）
C（_____，_____）
（2）顶点A关于x轴对称的点A′的坐标（_____，_____），顶点C关于原点对称的点C的坐标（_____，_____）
（3）△ABC的面积为_____．
2．平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点关于轴的对称点为点，连接，，且交轴于点．
（1）在图中，补全图形，并填空：
①若点，则点的坐标是________；
②若，则________；
（2）如图，若，求证：垂直平分；
（3）当时，探究，，数量关系，并证明．
3．如图，在直角坐标系中，A（-1，5），B（-3，0），C（-4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）写出点C1的坐标．
能力提升4 轴对称综合---几何变换
1.【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为．
【理解】若点与点重合，则这个操作过程为[__________，__________]；
　　　　 　　　　
【尝试】
（1）若点恰为的中点(如图2)，求；
（2）经过操作，点落在处，若点在四边形的边上(如图3)，求出的值．
2．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．
（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；
（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上，求a的值.
3.将两个全等的△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F．
（1）求证：AF+EF＝DE；
（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转角a，且60°＜α＜180°，其他条件不变，如图2，请直接写出此时线段AF、EF与DE之间的数量关系．
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第十二讲 轴对称（解析版）
知识点梳理
知识点1 轴对称
1.轴对称图形和轴对称　　
（1）轴对称图形
　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.轴对称的性质
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，所得图形与原图形全等．
(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分
典例剖析1
例1-1．如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（　　）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】A
【解析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．
解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；
②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；
③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．
综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故选：A．
例1-2．下列图形中，直线l为该图形的对称轴的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合，以此逐项判断即可．
解：A．平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
知识点2 设计轴对称图形
画已知图形的轴对称图形
依据：
如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，据此我们通过作出已知点的对称点的方法作出已知图形的轴对称图形．
(2)方法：
①选择一些特殊的点；
②过这些点分别作已知直线(对称轴)的垂线，并在垂线上找到一些点(截取)，使得这些点到对称轴的距离分别相等，从而得到已知点的对称点；
③顺次连接这些对称点得到的图形，即为已知图形的轴对称图形．
典例剖析2
例2-1.如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．
【详解】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．
故选：B．
【点评】此题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
例2-2．如图，已知：△ABC是不等边三角形，请以AB为公共边，能作出（　　）个三角形与△ABC全等，且构成的整体图形是轴对称图形．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】直接利用轴对称图形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案．
解：如图所示：以AB为公共边，能作出2个三角形与△ABC全等，且构成的整体图形是轴对称图形．
故选：B．
例2-3．如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）作出△ABC关于x轴的对称图形△A'B'C'；（不用写作法）
（3）求△A'B'C'的面积．
【解析】（1）根据点A的坐标为（0，3），即可建立正确的平面直角坐标系；
（2）分别作点A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，C′A′则△A′B′C′即为所求；
（3）利用割补法求面积即可．
解：（1）所建立的平面直角坐标系如下所示；
（2）所作△A'B'C'如图所示；
（3）△A'B'C'的面积=4×4-×4×2-1×2-×3×4=5．
知识点3 坐标与图形变换
1.关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点(x，y)
关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)
关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)
关于原点对称的点的坐标为(－x，—y)，
2.平面直角坐标系中的轴对称
方法：先求出已知图形中一些特殊点关于x轴(或y轴)的对称点的坐标，描出这些点，并顺次连接，就可得到这个图形关于x轴(或y轴)的对称图形．
3.P(x，y)关于直线x＝m，直线y＝n对称的点的坐标
（1）点(x，y)关于直线x＝m对称的点的坐标关系是：两对称点横坐标之和等于2m，即所求点的横坐标x1＝2m－x，纵坐标不变；
（2）关于直线y＝n对称的点的坐标关系是：两对称点纵坐标之和等于2n，即所求点的纵坐标y1＝2n－y. 横坐标不变。
典例剖析3
例3-1．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A. （-2，-3） B. （2，-3） C. （-2，3） D. （-3，-2）
【答案】B
【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
解：点A（2，3）关于x轴对称的点的坐标为（2，-3）．
故选：B．
例3-2．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m,-n），其关于y轴对称的点F的坐标为（3-n,-m+1），则（m-n）2023的值为（　　）
A. 32023 B. -1 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】利用轴对称的性质构建方程组，求出m,n,可得结论．
解：∵E（2m,-n），F（3-n,-m+1）关于y轴对称，
∴，
解得，，
∴（m-n）2023=（-4+5）2023=1，
故选：C．
3．平面直角坐标系内的点A（－1，3）与点B（－1，－3）的位置关系是（　 　）
A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称
C. 关于原点对称 D. 无法确定
【答案】B
【解析】纵坐标互为相反数，横坐标不变可知两点关于x轴对称．
解：平面直角坐标系内的点A（－1，3）与点B（－1，－3）关于x轴对称．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
知识点4 轴对称综合---几何变换
折叠：
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
典例剖析4
例4-1．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．100° B．104° C．108° D．112°
【答案】D
【分析】利用三角形的内角和为180°求出∠B，从而根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，再由折叠的性质得出∠ADE=∠A'DE，利用平角的知识可求出∠A′DB的度数．
【详解】解：∵∠C=120°，∠A=26°，
∴∠B=180°-（∠A+∠C）=34°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=34°，
根据折叠的性质可得∠ADE=∠A'DE，
∴∠A'DE=∠ADE=∠B=34°，
∴∠A′DB=180°-∠ADE-∠A'DE=112°．
故选D．
【点睛】本题考查折叠的性质，注意掌握折叠前后对应角相等，另外解答本题需要用到三角形的内角和定理及平行线的性质，也要注意对这些基础知识的掌握．
例4-2．如图，在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6，D为线段AC的中点，把△ABC沿BD折叠，C点的对应点为点E，若△ADE为直角三角形，则CD＝ ．
【答案】6
【分析】由折叠可得，∠CDB＝∠EDB，由∠CDE＝90°，即可得到∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，即可得出CD＝CB．
【详解】解：由折叠可得，∠CDB＝∠EDB，
∵Rt△ADE中，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB＝6，
故答案为6．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
例4-3．如图，已知与关于直线成轴对称，，
(1)当时，求的度数；
(2)若，，则的面积为________.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握对称的性质．
（1）根据对称的性质可得，再根据三角形的内角和即可求解；
（2）根据对称的性质可得，，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：与关于直线成轴对称，
，
，
;
（2）与关于直线成轴对称，
，，即，
，
，
故答案为：．
例4-4 .如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根据∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的内角和定理分别求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数．
【解析】在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，
则28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
则∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折叠的性质可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
三、变式训练
训练1 轴对称
1．下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　　）
A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01
【答案】C
【解析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是10：51，
故选：C．
3．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：那么它的实际车牌号是：_____．
【答案】K62897
【解析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称．
解：实际车牌号是K62897．
故答案为：K62897．
训练2 设计轴对称图形
1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】（1）取格点，作平行四边形，利用平行四边形对角顶点关于对角线交点对称即可求点F；平行四边形对边在网格中与格线的交点等高，连接等高点即可作出；
（2）取格点，作垂直平分线即可作出线段AH；利用垂直平分线的性质，证明三角形全等，作出，两点关于直线对称
【小问1详解】
解：作图如下：
取格点，连接，且，所以四边形是平行四边形，连接 ，与AC的交点就是点E，所以BE=EF，所以点F即为所求的点；
连接CF，交格线于点M，因为四边形ABCF是平行四边形，连接DM交AC于一点，该点就是所求的G点；
【小问2详解】
解：作图如下：
取格点D、E，连接DE，AC平行于DE，取格点R，连接BR并延长BR交DE于一点H，连接AH，此线段即为所求作线段；
理由如下：取格点W连接AW、CW，连接CR，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵点是的中点，
∴点是的中点，
即，
∴垂直平分，
∴．
连接，交AC于点，连接交于点，则该点就是点关于直线的对称点．
理由如下：∵垂直平分，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，
∴，
∴，两点关于直线对称.
【点睛】本题考查了用无刻度直尺在网格中作图的知识，找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解决本题的关键．
2．如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；
（3）若点P（m,n）为△ABC边上一点，请直接写出点P经过（1）（2）两次图形变换后的对应点P2的坐标 _____．
【答案】（-m,n-5）
【解析】（1）根据轴对称即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到△A2B2C2；
（3）结合（1）（2）即可写出点P经过上述两次图形变换后的对应点P2的坐标．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）点P2的坐标为（-m,n-5）．
故答案为：（-m,n-5）．
3．(0分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 _____．
【答案】（2，0）
【解析】（1）关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B，与x轴交于点P，连接AP，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标．
解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，
∴点A1（1，-1），B1（4，-2），C1（3，-4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点P即为所求，
点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
训练3坐标与图形变换
1.已知点E（x0，y0），点F（x2，y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1=，y1=．在平面直角坐标系中有三个点A（1，-1），B（-1，-1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA=P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（　　）
A. （0，2） B. （2，0） C. （2，-4） D. （-4，2）
【答案】A
【解析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
解：由题意，P1（2，-4），P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，-2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，-4），……
可得每6次为一个循环，
∵2022÷6=337，
∴点P2022的坐标是（0，2），
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，点M（-4，1），先向右平移2个单位，再作关于y轴对称，最后得到的点的坐标为 _____．
【答案】（2，1）
【解析】先求出平移后的坐标，再利用关于y轴对称点的性质得出答案．
解：∵点M（-4，1），先向右平移2个单位得（-2，1），
∴点（-2，1）关于y轴对称的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
3．如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），写出点B的坐标．
【解析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果．
解：由题意，可知点B与点A关于x轴对称，
又∵点A的坐标为（1，-2），
∴点B的坐标为（1，2）．
4．在平面直角坐标系中，点A（2，a），B（b,3），C（m,n），且+|b-4|=0．
（1）点A的坐标为 _____，点B的坐标为 _____；
（2）将线段AB平移至EF，点A和点E为对应点，点B和点F为对应点，当点E和点F分别落在两条坐标轴上时，求点E的坐标；
（3）若点C（m,n）在第一象限，且在直线AB上，点C关于x轴的对称点为点D．若△DAB的面积为8，求点D的坐标．
【答案】(1)（2，6）;(2)B（4，3）;
【解析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性确定a和b的值，从而求解；
（2）利用平移的性质求解；
（3）待定系数法求得直线AB的解析式，然后结合图形利用三角形的面积公式列方程求解．
解：（1）∵+|b-4|=0，
∴=0，|b-4|=0，
解得：a=6，b=4．
∴A（2，6），B（4，3）；
（2）由平移性质可得：
将线段AB平移EF，A和E为对应点，B和F为对应点，
当E和F分别落在两条坐标轴上时，此时E的坐标为E（0，3）或E（-2，0）；
（3）由题意可得：点C（m,n）且点C关x轴的对称点为D．
∴点D（m,-n），即CD=2n
设直线AB的解析式y=kx+b（k≠0），
将A（2，6），B（4，3），代入得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+9，
∵点C在直线AB上，
∴n=-m+9，
∴CD=2n=-3m+18，
∴S△ABD=×CD×2=-3m+18=8，
解得：m=，
∴n=-×+9=4，
∴C点坐标为（，4），即D点坐标为（，-4）．
5．已知点A（a-5，1-2a），解答下列问题：
（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；
（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（-2，-3）关于x轴对称，求点A的坐标．
【解析】（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；
（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．
解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a-5=1-2a,
解得：a=2，
则a-5=1-2a=-3，
∴点A的坐标为（-3，-3），
若点A在第二象限或第四象限，则a-5+1-2a=0，
解得a=-4，
则a-5=-9，1-2a=9，
∴点A的坐标为（-9，9），
综上所述，点A的坐标为（-3，-3）或（-9，9）；
（2）∵若点A向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1-2a），
又∵点A向右平移若干个单位后与点B（-2，-3）关于x轴对称，
∴1-2a+（-3）=0，
a=-1，a-5=-1-5=-6，
1-2a=1-2×（-1）=3，
即点A的坐标为（-6，3）．
训练4 轴对称综合---几何变换
1.已知，，，在平面直角坐标系（如图）中画出符合要求的图形．
(1)画出；
(2)画出关于y轴对称的；点A的对应点的坐标是 ，点B的对应点的坐标是 ，点C的对应点的坐标是 ；
(3)试在x轴上找点P使最短，（要求完成作图并保留痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，、、
(3)见解析
【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
（1）根据、、三点坐标作图可得；
（2）分别作出点、、关于轴对称轴的点，然后顺次连接；
（3）连接，与轴的交点就是点．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是、点的对应点的坐标是，
故答案为：、、；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．
2．如图，，O为内部的一点，连接．
(1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：M，C，N三点在同一条直线上．
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据要求作出图形，
（2）证明即可，
本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵关于对称，
，
∵关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴共线．
3．如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的三点坐标分别为．
(1)如图，连接，得到．将沿着轴翻折后连接求的面积与的面积的差．
(2)在上有一点．若对作平移运动，且平移后点的对应点坐标为，画出平移后的三角形，平移后点的坐标是______．
(3)将沿着轴折叠，点的对应点是．若在轴上存在一点，使最小，求点的坐标．
【答案】(1)的面积与的面积的差等于
(2)画图见解析，
(3)
【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质，画平移图形，平移的性质，熟练的画图是解本题的关键．
（1）先画图，可得与关于轴对称，从而可得答案；
（2）由的对应点可得平移方式：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；再画图即可，再根据平移方式可得平移后D的坐标；
（3）先画关于轴对称的图形，结合，关于轴对称，再连接与轴交于点，则，此时最小，再结合图形可得答案．
【详解】（1）解：如图，
∵，；，关于轴对称，关于轴对称的点为，
∴与关于轴对称，
∴，
∴的面积与的面积的差等于．
（2）如图，即为所求作的三角形；
∵平移到，
∴平移方式为：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；
∵，
∴平移后D的坐标为．
（3）如图，与关于轴对称，
∵，关于轴对称，
∴连接与轴交于点，则，此时最小，
∴．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）当CF＝AB时，点E运动多长时间？并说明理由．
【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，继而得出BE的长，从而得出答案．
【解析】（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）如图，当点E在射线BC上移动时，
∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，
∴∠A＝∠ECF，
在△CFE与△ABC中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7，
∴BE＝BC+CE＝12，
∴t＝12÷2＝6（s）；
当点E在射线CB上移动时，
同理△CF′E′≌△CBA（AAS），
∴CE′＝AC＝7，
∴BE′＝CE′﹣CB＝2，
∴t＝2÷2＝1（s）
总之，当点E在射线CB上移动6s或1s时，CF＝AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
四、能力提升
能力提升1轴对称
1．一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置．如图所示，有三个物体A、B、C放在镜子前面，人眼能从镜子看见哪个物体？
【解析】作出相应对称点，找到像在人眼范围内的点即可．
解：物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体，它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围的．
分别作A、B、C三点关于直线MN的对称点A′、B′、C′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B两物体．
2．如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整．
【解析】作出BC和AD的入射光线，相交处即为点S所在位置．
解：
3.如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．若已知∠1＝55°，∠3＝75°，那么∠2等于　65　度．
【分析】由光线的入射角等于反射角，结合三角形内角和定理易求∠2．
【解答】解：根据题意：光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6＝55°，∠5＝∠3＝75°，
则180°﹣∠2﹣∠4＝180°﹣∠6﹣∠5．
即2∠2＝130度．
故∠2＝65度．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质，在镜面反射中，入射角等于反射角．解决此类题应认真观察，注意技巧．
能力提升2 设计轴对称图形
1．（1）小河的同旁有甲、乙两个村庄如图（1），现计划在河岸AB上建一个水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题．（保留作图痕迹）
①如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸AB上的何处？
②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又应建在河岸AB上的何处？
（2）如图（2），作出△ABC关于直线l的对称图形．
【解析】（1）①利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
②利用轴对称解决最短问题即可．
（2）分别作出A，B，C关于直线l的对称点A′，B′，C′即可．
解：（1）①如图（1）中，点E即为所求．
②如图（1）-1中，点E即为所求．
（2）如图（2）中，△A′B′C′即为所求．
2．(0分)直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．
（1）如果∠AFE=65°，求∠CDF的度数；
（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
【解析】（1）在△CDF中，求出∠CFD即可解决问题；
（2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
解：（1）根据翻折不变性可知：∠AFE=∠DFE=65°，
∴∠CFD=180°-65°-65°=50°，
∵∠C=90°，
∴∠CDF=90°-50°=40°．
（2）∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分类如下：
①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x,
解得：x=22.5°．此时∠B=2x=45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD=BE时，则∠B=（180°-4x）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°-4x,
解得x=37.5°，此时∠B=（180-4x）°=30°．
图形（2）说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE时，则∠B=（）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+，
此方程无解．
∴DE=BE不成立．
综上所述∠B=45°或30°．
3．(0分)在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
（2）在图2、图3中各作一格点D，使得△ACD∽△DCB，并请连接AD、CD、BD．
【解析】（1）利用相似三角形的性质得出答案；
（2）利用相似三角形的性质得出D点位置．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：△ACD∽△DCB．
能力提升3 坐标与图形变换
1.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示
（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标：
A（_____，_____）；B（_____，_____）
C（_____，_____）
（2）顶点A关于x轴对称的点A′的坐标（_____，_____），顶点C关于原点对称的点C的坐标（_____，_____）
（3）△ABC的面积为_____．
【答案】(1)-4;(2)3;(3)3;(4)0;(5)-2;(6)5;(7)-4;(8)-3;(9)2;(10)-5;(11)10;
【解析】（1）根据点在坐标系中的位置，直接写出点的坐标，
（2）由对称点坐标之间的关系，直接写出其对应点的坐标，关于x轴对称的两个点其横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于原点对称的两个点，其纵横坐标均互为相反数．
（3）在网格中，转化为长为7，宽为5的矩形面积减去相应的三个直角三角形的面积即可
解：（1）故答案为：（-4，3），（3，0），（-2，5），
（2）故答案为：（-4，-3），（2，-5），
（3）△ABC的面积为：5×7-（2×2）÷2-（7×3）÷2-（5×5）÷2=10，
故答案为：10．
2．平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点关于轴的对称点为点，连接，，且交轴于点．
（1）在图中，补全图形，并填空：
①若点，则点的坐标是________；
②若，则________；
（2）如图，若，求证：垂直平分；
（3）当时，探究，，数量关系，并证明．
【答案】（1）①；②60
（2）见解析 （3），证明见解析
【解析】（1）①根据关于y轴的对称的性质即可解答；②根据C、D两点关于y轴的对称，可知y轴是线段的垂直平分线可得、，再根据平角的定义可得，然后由等边得，可得，最后根据三角形的外角性质即可解答；
（2）由可得，即，然后根据平角得的度数、的度数,进而得到，再根据等腰三角形的性质即可证得结论；
（3）先证，可得，然后作，证可得，最后证即可解答．
【小问1详解】
解：补全图形如下图
①∵C、D两点关于y轴的对称的两点，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∵，
∴；
故答案为；
②∵C、D两点关于y轴的对称，，
∴
∴,
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴,
∴
∴．
故答案为60．
【小问2详解】
解：如下图：延长交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴垂直平分．
【小问3详解】
解：，证明如下：
如图：作，连接，
∵C、D两点关于y轴的对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了关于y轴的对称的性质、等边三角形的性质、三角形的内角与外角的性质、垂直平分线的判定、在直角三角形中，30°的所对的边是斜边的一半、全等三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
3．如图，在直角坐标系中，A（-1，5），B（-3，0），C（-4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）写出点C1的坐标．
【解析】（1）根据轴对称的定义直接画出．
（2）由点位置直接写出坐标．
解：（1）如图所示：
（2）点C1的坐标为：（4，3）．
能力提升4 轴对称综合---几何变换
1.【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为．
【理解】若点与点重合，则这个操作过程为[__________，__________]；
　　　　 　　　　
【尝试】
（1）若点恰为的中点(如图2)，求；
（2）经过操作，点落在处，若点在四边形的边上(如图3)，求出的值．
【答案】；（1）30°；（2）5
【分析】由题目条件可知，当点与点重合时，=45°，，即可得到结论；
（1）见详解中图2，延长ND交OA的延长线于M ，根据折叠性质得，，由点D为AB的中点得到D点为MN的中点，所以OD垂直平分MN，则，根据等腰三角形的性质得，则，计算得到；
（2）见详解中图3，作EH⊥OA于H，根据折叠性质得AB⊥直线l，，由于，AB⊥直线l，即直线l平分∠AOC，则∠A=45°，所以△AHE为等腰直角三角形，则，所以，即．
【详解】理解:由题目条件可知，当点与点重合时，=45°，，所以；
（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，
∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，
∴，，
∵点D为AB的中点，
∴D点为MN的中点，
∴OD垂直平分MN，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)如图3，作ED⊥OA于D，
∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处，
∴AB⊥直线l，，
∵，AB⊥直线l，
即直线l平分∠AOC，
∴∠A=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为： ；（1）30°；（2）5
【点睛】本题考查图形的翻折综合应用，灵活运用翻折的性质，即得到全等图形和正确地作出辅助线是解题的关键．
2．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．
（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；
（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上，求a的值.
【答案】（1）θ=30°（2）a=8
【详解】试题分析：（1）延长ND交OA的延长线于M，根据折叠性质得∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，由点D为AB的中点得到D点为MN的中点，所以OD垂直平分MN，则OM=ON，根据等腰三角形的性质得∠MOD=∠NOD=θ，则∠θ+∠θ+∠θ=90°，计算得到∠θ=30°；（2）作ED⊥OA于D，根据折叠性质得AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，由于θ=45°，AB⊥直线l，即直线l平分∠AOC，则∠A=45°，所以△ADE为等腰直角三角形，则AD=DE=2，所以OA=OD+AD=3+2=5，即a=5．
试题解析：：（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，∵点D为AB的中点，∴D点为MN的中点，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON，∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°；故答案为30°；（2）若点E四边形0ABC的边AB上，∴AB⊥直线l 由折叠可知，OD=OC=5，DE=BC=3．∵θ=45°，AB⊥直线l，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=DE=3，∴OA=OD+AD=5+3=8，∴a=8
考点：翻折变换（折叠问题）．
3.将两个全等的△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F．
（1）求证：AF+EF＝DE；
（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转角a，且60°＜α＜180°，其他条件不变，如图2，请直接写出此时线段AF、EF与DE之间的数量关系．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可证Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由线段之间关系可求解；
（2）由全等三角形的性质可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可证Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由线段之间关系可求解．
证明：（1）连接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴DE＝AC＝AF+CF＝AF+EF
（2）连接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴AF＝AC+CF＝DE+EF
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
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