人教版数学八年级上暑假预习课第十三讲 轴对称二（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第十三讲 轴对称二
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 轴对称和轴对称图形
（1）轴对称图形
　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
典例剖析1
例1-1．下列说法正确的是（ ）
A．轴对称图形是由两个图形组成的 B．等边三角形有三条对称轴
C．两个等面积的图形一定轴对称 D．直角三角形一定是轴对称图形
例1-2．如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
知识点2 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
线段的垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
典例剖析2
例2-1．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
例2-2．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点B与点C关于直线l对称，直线l与的交点分别为点D，E．
（1）求点A到的距离；
（2）连接，补全图形并求的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，，直接写出点P的坐标．
例2-3．如图，在中，.
⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：；
⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数.
知识点3 尺规作线段的垂直平分线
线段垂直平分线的作法
已知：如图，线段MN.
求作：ＭＮ的垂直平分线.
作法：（１）分别以M、N为圆心，大于 相 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线
典例剖析3
例3-1 .尺规作图（保留做图痕迹）
如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且．
例3-2．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD．
小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下：
①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②连接MN，交BC于点D，连接AD；
③点D即为所求．
（1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____；
（2）补充下面的证明过程：
证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）．
知识点4 线段垂直平分线的综合
线段的垂直平分线的性质应用非常广泛，很多问题利用中垂线的性质解题，能达到事半功倍的效果，折叠问题、轴对称问题都可以转化成中垂线性质来解决。
典例剖析4
例4-1．如图，在中，AB边的垂直平分线交BC于点D，AC边的垂直平分线交BC于点E，与相交于点O.
图① 图② 图③
(1)如图①，当时，的度数为________；
(2)如图②，连接OA，OB，OC.若的周长为，的周长为.求线段BC，OA的长；
(3)如图③，若，求的度数.
例4-2．如图，在中，AF平分，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，，，求的度数.
答案：
解析：DE是AC的垂直平分线，
，
，
，
，
AF平分，
，
，
，
解得：.
三、变式训练
训练1轴对称与轴对称图形
1.如图，在9×9的正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（5，2），画出平面直角坐标系并写出点B的坐标；
（2）直线l经过点A且与y轴平行，写出点B、C关于直线l对称点B1、C1的坐标；
（3）直接写出BC上一点P（a，b）关于直线l对称点P1的坐标．
2 .如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．

3 .电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
训练2 线段的垂直平分线
1．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．求证：．
2．如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，．
（1）若，求的周长等于__________．
（2）若，求的度数
3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度数．
（3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
训练3 尺规作图：作线段的垂直平分线
1 .在中，，，．
（1）求线段的长；
（2）作边的垂直平分线分别交，于点和点（利用尺规作图，保留作图痕迹）；
（3）连接，若，求的度数．
2．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
3．如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
训练4 线段垂直平分线综合
1.如图，在中，，，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.
求证：.
2．如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点.
(1)若，则的周长是多少？为什么？
(2)若，求的度数.
四、能力提升
提升1 轴对称和轴对称图形
1．画出图中四边形关于直线l的轴对称图形.
2．如图，正方形网格中的与为轴对称图形.
(1)利用网格线作出与的对称轴l；
(2)如果每个小正方形的边长均为1，请求出的面积.
3．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
4．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）线段被直线l_____；
（3）在直线l上找一点P，使的长最短；
（4）的面积＝_____.
提升2 线段的垂直平分线
1．在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使得．
（1）如图1，延长到点F，使得，连接，．
①求证：；
②若，求证：；
（2）连接，交的延长线于点H，连接，依题意请补全图2．若，试探究线段、与的数量关系．
2．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______．
3．已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
提升3 尺规作图;作线段垂直平分线
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°．
（1）请用尺规完成基本作图：作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接 BE，若 BE 平分∠ABC，DE = 4，求 BE 的长．
提升4 线段垂直平分线综合
1 .如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为．

(1)求的长；
(2)分别连接，，，若的周长为，求的长．
2.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
3.如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
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第十三讲 轴对称二（解析版）
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 轴对称和轴对称图形
（1）轴对称图形
　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
典例剖析1
例1-1．下列说法正确的是（ ）
A．轴对称图形是由两个图形组成的 B．等边三角形有三条对称轴
C．两个等面积的图形一定轴对称 D．直角三角形一定是轴对称图形
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义逐一进行判定解答．
【详解】解：A、轴对称图形可以是1个图形，不符合题意；
B、等边三角形有三条对称轴，即三边垂直平分线，符合题意；
C、两个等面积的图形不一定轴对称，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义与性质，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
例1-2．如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
【答案】见解析
【分析】本题考查了轴对称图形的概念与轴对称的概念；根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可作答．轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形；
知识点2 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
线段的垂直平分线的判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
典例剖析2
例2-1．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
【答案】见解析
【解析】
作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点．
解：如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
例2-2．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点B与点C关于直线l对称，直线l与的交点分别为点D，E．
（1）求点A到的距离；
（2）连接，补全图形并求的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）5 （2），图见解析
（3）
【解析】（1）作于点F，得到，进而根据点到直线的距离和点A，B，C的坐标求解即可；
（2）根据题意补全图形，首先求出是等腰直角三角形，然后由题意可知，直线l是线段的垂直平分线，于点D，，得到为等腰直角三角形，进而求出，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）由（2）可得，，可得到点P和点E重合，然后根据点D的坐标和的长度求解即可．
【小问1详解】
作于点F，则．
由，
可得．
∴点A到的距离为5．
【小问2详解】
补全图形如下：
由，
可得．
∴．
∴．
∴在中，
．
由题意可知，直线l是线段的垂直平分线，于点D，．
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形，．
∴．
∴
∴．
【小问3详解】
由（2）可得，，
∴点P和点E重合，
∵，
∴点E的坐标为，
∴点P的坐标为．
【点睛】此题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
例2-3．如图，在中，.
⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：；
⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数.
【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°.
【解析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.
（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°.
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.
知识点3 尺规作线段的垂直平分线
线段垂直平分线的作法
已知：如图，线段MN.
求作：ＭＮ的垂直平分线.
作法：（１）分别以M、N为圆心，大于 相 线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线
典例剖析3
例3-1 .尺规作图（保留做图痕迹）
如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且．
【答案】作图见解析
【解析】连接，作出线段的垂直平分线和的平分线，线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点P．
解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
例3-2．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD．
小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下：
①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②连接MN，交BC于点D，连接AD；
③点D即为所求．
（1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____；
（2）补充下面的证明过程：
证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）．
【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(2)垂直的定义;(3)CD;(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
解：（1）如图所示，
作图依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
（2）证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，（垂直的定义）DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=CD．（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理依据）．
故答案为：垂直的定义，CD，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
知识点4 线段垂直平分线的综合
线段的垂直平分线的性质应用非常广泛，很多问题利用中垂线的性质解题，能达到事半功倍的效果，折叠问题、轴对称问题都可以转化成中垂线性质来解决。
典例剖析4
例4-1．如图，在中，AB边的垂直平分线交BC于点D，AC边的垂直平分线交BC于点E，与相交于点O.
图① 图② 图③
(1)如图①，当时，的度数为________；
(2)如图②，连接OA，OB，OC.若的周长为，的周长为.求线段BC，OA的长；
(3)如图③，若，求的度数.
答案：(1)
(2)，
(3)
解析：(1)如图①，是AB边的垂直平分线，是AC边的垂直平分线，
图①
，，
，
，，，
；
故答案为：；
(2)如图②，是AB边的垂直平分线，是AC边的垂直平分线，
图②
，，，，
的周长，
的周长为，
，
的周长，的周长为，
，
解得；
(3)如图③，是AB边的垂直平分线，是AC边的垂直平分线，
图③
，，
，，
，
，
.
例4-2．如图，在中，AF平分，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，，，求的度数.
答案：
解析：DE是AC的垂直平分线，
，
，
，
，
AF平分，
，
，
，
解得：.
三、变式训练
训练1轴对称与轴对称图形
1.如图，在9×9的正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（5，2），画出平面直角坐标系并写出点B的坐标；
（2）直线l经过点A且与y轴平行，写出点B、C关于直线l对称点B1、C1的坐标；
（3）直接写出BC上一点P（a，b）关于直线l对称点P1的坐标．
【分析】（1）由点A的坐标为（2，1），可得点A向左平移2个单位长度，向下平移一个单位长度，即是坐标原点，建立平面直角坐标系，再写出点B的坐标即可；
（2）根据轴对称的性质得到点B1、C1的坐标；
（3）根据轴对称的性质得出点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，B（4，4）；
（2）如图所示，B1（0，4），C1（﹣1，2）；
（3）解：∵点P1为BC上一点P（a，b）关于直线l的对称点，
∴P1（4﹣a，b）．
2 .如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．

【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．本题根据轴对称图形的概念即可找出符合题意的小方格，注意不要遗漏．
【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．

故答案为：．
3 .电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【答案】C
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．
故选：C．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
训练2 线段的垂直平分线
1．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接证明 再求解 可得 从而可得答案.
证明：如图，连接
的垂直平分线分别交于点D，E，
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键.
2．如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，．
（1）若，求的周长等于__________．
（2）若，求的度数
【答案】（1）9 （2）见解析
【解析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据垂直平分线的性质以及等边对等角可得， ，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度数．
（3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）60° （3）FE+FA=2FD，证明见解析
【解析】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明；
（2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案；
（3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证．
【小问1详解】
解：∵AD为边BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵△ACE为等边三角形，
∴AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠FEA=∠FBA；
【小问2详解】
解：∵AD为边BC的垂直平分线
∴AB=AC，FB=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEF，
∴∠AEF=∠ACF，
∵∠FME=∠CMA，
∴∠EFC=∠CAE，
∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，
∴∠EFC=60°．
【小问3详解】
解：FE+FA＝2FD，
证明：CF上取 N使得FN=FE，
由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，
∵FN=FE，
∴△EFN是等边三角形，
∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN，
在△EFA和∠ENC中，
EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，
∴△EFA≌△ENC（SAS），
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，
∴∠FCB=×60°=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，
∴FE+FA=2FD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
训练3 尺规作图：作线段的垂直平分线
1 .在中，，，．
（1）求线段的长；
（2）作边的垂直平分线分别交，于点和点（利用尺规作图，保留作图痕迹）；
（3）连接，若，求的度数．
【答案】（1）10 （2）见解析
（3）
【解析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意作边的垂直平分线分别交，于点和点；
（3）在中，三角形内角和定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据即可求解．
【小问1详解】
在中，，，，
根据勾股定理得：，
即：线段的长为10．
【小问2详解】
如图所示，线段的垂直平分线、点、为所求．
【小问3详解】
解：如图，连接，
在中，，，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，尺规作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
2．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
【答案】（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°．
【解析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线．
（2）要求∠CAD的度数，只需求出∠CAB，而由（1）可知：∠BAD=∠B
解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．
（2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．
又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°．
∴∠CAD=53°-37°=16°．
3．如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，
∴点D为所求点．
【小问2详解】
解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四边形ABCD是梯形，
∴，
∴四边形AECD是矩形，
∴，
∴四边形ABCD的面积为，
故答案：．
【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
训练4 线段垂直平分线综合
1.如图，在中，，，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.
求证：.
答案：如图，连接AF.
，，，
EF垂直平分AC，，
，
，
，.
解析：
2．如图，直线与分别是边和的垂直平分线，与分别交边于点和点.
(1)若，则的周长是多少？为什么？
(2)若，求的度数.
答案：(1)的周长；
(2)°.
四、能力提升
提升1 轴对称和轴对称图形
1．画出图中四边形关于直线l的轴对称图形.
答案：见解析
解析：如图，四边形为所求作的图形.
2．如图，正方形网格中的与为轴对称图形.
(1)利用网格线作出与的对称轴l；
(2)如果每个小正方形的边长均为1，请求出的面积.
答案：(1)见解析
(2)3
解析：(1)如图(1)，直线l为所作.
(2)如图(2)，由题意可得
.
3．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
答案：见详解
解析：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴，
第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴，
第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴，
在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图，
在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加.
4．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；
（2）线段被直线l_____；
（3）在直线l上找一点P，使的长最短；
（4）的面积＝_____.
答案：（1）见详解
（2）垂直平分
（3）
（4）3
解析：（1）如图，为所作；
（2）C点与关于直线l对称，
线段被直线l垂直平分.
故答案为：垂直平分.
（3）如图，当P，C，三点共线时，最小，
最小值为，
故答案为：；
（4）的面积；
故答案为3.
提升2 线段的垂直平分线
1．在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使得．
（1）如图1，延长到点F，使得，连接，．
①求证：；
②若，求证：；
（2）连接，交的延长线于点H，连接，依题意请补全图2．若，试探究线段、与的数量关系．
【答案】（1）①证明过程见解析；②证明过程解析
（2）作图见解析；，证明过程见解析
【解析】（1）根据全等三角形的判定证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，即可得出结论；
（2）依题意如图所示：延长到F，使，连接、，根据线段垂直平分线的判定与性质可得，证明，可得，，可证，再根据可证，
，从而证明，即可得出结论．
【小问1详解】
①证明：在和中，
，
∴；
②∵，
，
，
，
；
【小问2详解】
解；依题意如图所示：延长到F，使，连接、，
，，
是线段的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
在中，，
，
，
，，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质及勾股定理的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
2．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______．
【答案】或
【解析】分点O在内部和点O在外部两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质，结合中位线性质，等腰三角形的判定和性质，求出即可．
解：当点O在内部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，A为的中点，
∴，
∴；
当点O在外部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示：
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴、A、O、M四点共圆，
∴，
∵为的中点，A为的中点，
∴，
∴；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论，作出图形，构造全等三角形解决问题．
3．已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）见解析
【解析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；
（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；
（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
【小问2详解】
（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键．
提升3 尺规作图;作线段垂直平分线
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°．
（1）请用尺规完成基本作图：作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接 BE，若 BE 平分∠ABC，DE = 4，求 BE 的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】(1)根据作线段垂直平分线作法即可解答；
(2)根据线段垂直平分线的性质可知：AE=BE，可得，再由BE 平分∠ABC，可得，再根据直角三角形的性质，即可求得，据此即可求得．
【小问1详解】
解：作图如下：
【小问2详解】
解：如图：连接BE，
垂直平分AB，
，
，
又BE 平分∠ABC，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，熟练掌握和运用线段垂直平分线的作法和性质是解决本题的关键．
提升4 线段垂直平分线综合
1 .如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为．

(1)求的长；
(2)分别连接，，，若的周长为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，（1）由线段垂直平分线的性质推出，，由的周长为，得到，即可求出；（2）由线段垂直平分的性质得到，由的周长，，即可求出，得到．由线段垂直平分线的性质得到，，是解题的关键．
【详解】（1）解：垂直平分，
，
同理，得，
的周长为，
，
；
（2）如图，连接，，，

垂直平分，
．
同理，得，
的周长，，
，
．
2.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解析】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
3.如图，△ABE和△ADC分别沿着边AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根据∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的内角和定理分别求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出∠EFC的度数．
【解析】在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，
则28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
则∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折叠的性质可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
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