人教版数学八年级上暑假预习课第十五讲 等边三角形（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第十五讲 等边三角形
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 等边三角形的定义及性质
等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。任意一角的平分线所在直线都是它的对称轴。
典例剖析1
例1-1．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
例1-2．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD=2，CE=6，则BC=（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
例1-3．如图，AB=4，AC=2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的最小值是（　　）
A. B. 4-2
C. 4- D. 4-4
知识点2 等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
说明：①等边三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
典例剖析2
例2-1．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
例2-2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
例2-3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点，若，BC＝8，连接EM，DM，求△EDM的面积．
知识点3 等边三角形的性质和判定综合
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[
典例剖析3
例3-1．如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号)
例3-2．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论．
例3-3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度数．
（3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
变式训练
变式1 等边三角形的定义及性质
1．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（　　）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
2．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．
3．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，
（1）求证：；
（2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）当为何值时，是直角三角形？
变式2 等边三角形的判定
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且AE=BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
变式3 等边三角形的性质与判定综合
1．【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是_______________．
【类比应用】（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】（3）在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长．
2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在边BC的延长线上，线段AC，CD的垂直平分线交于点E，连接AE，CE，DE，AD．
（1）若∠BAC=60°，求证：△ADE是等边三角形；
（2）求∠AED与∠ACB之间的数量关系．
3．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，若∠BAO＝30°，AB＝4，点C的坐标为（2，0）．
（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形．
（2）如图2，点D是x轴上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，在点D运动过程中，求线段CE的最小值．
（3）如图3，若将△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△，在平移过程中，是否存在这样的点，使得△为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
4．课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．
课本中给出一种证明方法如下：
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠A=∠ADE=∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
“想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全：
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C，∠A=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=①_____，
∴②_____=③_____，
∴AD=AE．（④_____）
∴△ADE是等腰三角形．
又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形．
（2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE=AD，求证：△ADE是等边三角形．
5．已知∠AOB=120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合．
（1）依据题意补全图1；
（2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；
（3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ=4，并证明．
能力提升
提升1 等边三角形的定义及性质
1．在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积．
2．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．
（1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间．
（3）当为直角三角形时，运动时间t的值是
3．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上．
（1）求证：AD是BC的垂直平分线．
（2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数．
提升2 等边三角形的判定
1 .已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD=_____°时，△BED是等边三角形．
2．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
3 .综合与实践
【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）若，，求的长．
【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系．
提升3 等边三角形的性质与判定综合
1．在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA=PM．
2．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
3．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
4．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．
人教版数学八年级上暑假预习课
第十五讲 等边三角形
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 等边三角形的定义及性质
等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。任意一角的平分线所在直线都是它的对称轴。
典例剖析1
例1-1．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】C
【解析】根据等边三角形的性质可得∠ABC=60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD=30°，再根据作图可知BD=ED，进一步可得∠DEC的度数．
解：在等边△ABC中，∠ABC=60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∵BD=ED，
∴∠DEC=∠CBD=30°，
故选：C．
例1-2．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD=2，CE=6，则BC=（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】在CB上取一点G使得CG=CD，即可判定△CDG是等边三角形，可得CD=DG=CG，易证∠BDG=∠EDC，即可证明△BDG≌△EDC，可得BG=CE，即可解题．
解：在CB上取一点G使得CG=CD，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵∠BDG+∠EDG=60°，∠EDC+∠EDG=60°，
∴∠BDG=∠EDC，
在△BDG和△EDC中，
，
∴△BDG≌△EDC（SAS），
∴BG=CE，
∴BC=BG+CG=CE+CD=8，
故选：B．
例1-3．如图，AB=4，AC=2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的最小值是（　　）
A. B. 4-2
C. 4- D. 4-4
【答案】D
【解析】以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM，证明△ABC≌△A′BD，可得AC=A′D=2，从而可得DM是△ABP的中位线，所以PB=2DM，当DM最小时，PB有最小值，根据△AA′B是等边三角形，M是AB中点，可得当点A′，D，M在同一条直线上时，DM有最小值，然后根据勾股定理即可求出结论．
解：如图，以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM，
在等边三角形A′AB和等边三角形BCD中，
AB=A′B，BC=BD，∠ABA′=∠CBD=60°，
∴∠ABC=60°-∠ABD，∠A′BD=60°-∠ABD，
∴∠ABC=∠A′BD，
在△ABC和△A′BD中，
，
∴△ABC≌△A′BD（SAS），
∴AC=A′D=2，
∵AD=PD，AM=BM，
∴DM是△ABP的中位线，
∴PB=2DM，
∴当DM最小时，PB有最小值，
∵△AA′B是等边三角形，M是AB中点，
∴当点A′，D，M在同一条直线上时，DM有最小值，
此时，A′A=4，AM=2，A′M⊥AB，
∴A′M===2，
∴DM=A′M-A′D=2-2，
∴PB的最小值是4-4．
故选：D．
知识点2 等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
说明：①等边三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
典例剖析2
例2-1．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断．
解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④三边都相等的三角形是等边三角形；
故选：D．
例2-2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD，得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，再根据DB=BC，即可证明结论．
【小问1详解】
解：证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
【小问2详解】
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴DC=DB，
又∵BD=BC，
∴DC=DB=BC，
∴△CBD是等边三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形与等边三角形，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．
例2-3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点，若，BC＝8，连接EM，DM，求△EDM的面积．
【答案】△EDM的面积为
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=ME=，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据等腰三角形两底角相等求出∠BME+∠CMD，然后求出∠DME=60°，可得证出△EDM是等边三角形，进而即可求解．
解：连接ME，MD，如图，
∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M是BC中点，
∴MD=ME==BM=CM，
∴点N是DE的中点，
，
∵MD=ME=BM=CM，
∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°，
∴∠DME=60°，
∴△MED是等边三角形．
在中，EM=ED=4，EN=ND=，
．
△EDM的面积为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，证明△MED是等边三角形是解题的关键．
知识点3 等边三角形的性质和判定综合
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[
典例剖析3
例3-1．如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号)
【答案】①②③
【解析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据题意得：∠EPM=∠FPN，再根据角平分线的性质定理可得PE=PF，从而得到Rt△POE≌Rt△POF，进而得到OE=OF，可得到△PEM≌△PFN，从而得到∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，可得S△PEM=S△PFN，OM+ON= 2OE，从而得到①②③正确，再由M，N的位置变化，可得MN的长度是变化的，再证得△PMN是等边三角形，可得故④错误，即可求解．
解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
∵OP=OP，PE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①正确；
∴S△PEM=S△PFN，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③正确；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确；
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，
∵PM=PN，∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴△PMN的周长是变化的，故④错误，
∴说法正确的有①②③．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识是解题的关键．
例3-2．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论．
【答案】，证明见解析
【解析】先证明是等边三角形，再证明，最后根据三角形内角和定理证明，在上截取，先证明，得出，再证明，得出，即可解决问题．
，
证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在上截取，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例3-3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度数．
（3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）60° （3）FE+FA=2FD，证明见解析
【解析】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明；
（2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案；
（3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证．
【小问1详解】
解：∵AD为边BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵△ACE为等边三角形，
∴AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠FEA=∠FBA；
【小问2详解】
解：∵AD为边BC的垂直平分线
∴AB=AC，FB=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEF，
∴∠AEF=∠ACF，
∵∠FME=∠CMA，
∴∠EFC=∠CAE，
∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，
∴∠EFC=60°．
【小问3详解】
解：FE+FA＝2FD，
证明：CF上取 N使得FN=FE，
由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，
∵FN=FE，
∴△EFN是等边三角形，
∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN，
在△EFA和∠ENC中，
EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，
∴△EFA≌△ENC（SAS），
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，
∴∠FCB=×60°=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，
∴FE+FA=2FD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
变式训练
变式1 等边三角形的定义及性质
1．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（　　）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解．
解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，
=∠PBC+∠PBA，
=∠ABC，
=60°．
故选：B．
2．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．
【答案】
【解析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．
解：连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC．
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4，
∴∠DEB=60°，DE=2．
∵EF⊥AC，∠C=60°，EC=2，
∴∠FEC=30°，EF=．
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．
∵G是EF的中点，
∴EG=．
在RtΔDEG中，DG=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．
3．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，
（1）求证：；
（2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）当为何值时，是直角三角形？
【答案】（1）见解析 （2）不变，
（3）或
【解析】（1）根据等边三角形的性质得出，，根据点，的运动速度相等，得出，即可证明；
（2）由（1）得，根据三角形的外角的性质，即可求解．
（3）分，两种情况讨论，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵点、的速度相同，
∴，
在和中
∴；
【小问2详解】
解：的大小不发生变化，
∵，
∴，
∴
；
【小问3详解】
∵运动时间为秒，则，
∴，
当时，
∵，则
∴，
∴，解得，
当时，
∵，
∴，则
∴，解得，
∴当为或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
变式2 等边三角形的判定
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【解析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，又根据DB=BC，即可证明结论．
证明：（1）∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴DC=DB，
又∵BD=BC，
∴DC=DB=BC，
∴△CBD是等边三角形．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且AE=BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【解析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是180°，可以求得∠CAE的度数；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立．
解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AE=BE，
∴∠B=∠EAB，
∴∠EAB=30°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠BAC-∠EAB=120°-30°=90°，
即∠CAE=90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AEC=60°，
∴∠DEA=60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
又∵∠DEA=60°，
∴∠DEA=∠DAE=60°，
∴∠ADE=60°，
∴∠DEA=∠DAE=∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AEC=60°，AE=CE，
∴∠DEA=60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD=CE=DE，
∴AD=DE=AE，
∴△ADE是等边三角形．
变式3 等边三角形的性质与判定综合
1．【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是_______________．
【类比应用】（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】（3）在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的长为或
【解析】（1）证明，可得，从而证明；
（2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得；
（3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解．
解：（1）如图1，∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）．理由是：
取中点G，连接，如图2
∵点G是斜边中点，
∴，
∵，，点D为的中点，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接，
当，，时，
，此时F在的延长线上，
同（2）可得：，
∴，
∵，，
∴，
当点E在延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：的长为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系．
2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在边BC的延长线上，线段AC，CD的垂直平分线交于点E，连接AE，CE，DE，AD．
（1）若∠BAC=60°，求证：△ADE是等边三角形；
（2）求∠AED与∠ACB之间的数量关系．
【解析】（1）根据线段AC，CD的垂直平分线交于点E，得到AE=DE=AD，根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理确定∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=60°得证．
（2）根据等腰三角形的性质，四边形内角和定理，邻补角计算即可．
解：（1）∵线段AC，CD的垂直平分线交于点E，
∴AE=DE=CE，∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD，
∴∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=360°-∠ACE-∠ACD-∠ECD=360°-2∠ACD，
∵∠BAC=60°，∠B=90°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=90°+60°=150°，
∴∠AED=360°-300°=60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）∠AED与∠ACB之间的数量关系为∠AED=2∠ACB．理由如下：
∵线段AC，CD的垂直平分线交于点E，
∴AE=DE=CE，∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD，
∴∠AED=360°-∠EAC-∠ACD-∠EDC=360°-∠ACE-∠ACD-∠ECD=360°-2∠ACD，
∵∠ACD=180°-∠ACB，
∴∠AED=360°-2（180°-∠ACB）=2∠ACB，
∴∠AED=2∠ACB．
3．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，若∠BAO＝30°，AB＝4，点C的坐标为（2，0）．
（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形．
（2）如图2，点D是x轴上的一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，在点D运动过程中，求线段CE的最小值．
（3）如图3，若将△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△，在平移过程中，是否存在这样的点，使得△为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）点A'的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．
【解析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质得BO=2，∠ABC=60°，可得直线AO垂直平分BC，则AB=AC，即可得出结论；
（2）过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F，因为线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，所以易证得△ADO≌△AEF（AAS）．可得AO=AF=2，则点E的运动轨迹是直线FE，当点E与H重合时，CE的值最小，求出CH即可；
（3）分四种情况画出图形，根据等腰三角形性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4
∴BO=2，∠ABC=60°，
∵点C的坐标为（2，0），
∴CO=2，
∴BO=CO，
∴直线AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
【小问2详解】
解：如图2，过点E作x轴垂线EH，过点A作y轴垂线，两条垂线相交于点F，
∴∠AOD=∠AFE=90°，∠DAE=90°，∠OAF=90°，
∴∠OAD=∠FAE，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AE=AD，
∴△ADO≌△AEF（AAS）．
∴AO=AF．
在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4，
∴AO＝，
∴AF＝．
∴点E的运动轨迹是直线FE，
∴当点E与H重合时，CE的值最小，CE的最小值=CH= 2；
【小问3详解】
解：存在，
∵△ABO沿直线AC平移，记平移后的△ABO为△A'B'O'，
∴，，，
∴=OA=，
①如图， = =，过点O′作H⊥C于H，延长交x轴于D，
∴A′H=CH=C，
∵，
∴∠=∠OAC=30°，
∴H=3，
∴C=6，
∴CD=3，D=，
∴OD=CD=OC=3-2=1，
∴点A'的坐标是（-1，）；
②=C，如图，交x轴于D，
∵AC=AB=4，
∴C==，
∵OA，
∴∠C=∠OAC=30°，
∴CD=，A′D=3，
∴OD=OC-CD=2-，
∴点A'的坐标是（2-，3）；
③C= C，如图，交x轴于D，
∵OA，OA⊥BC，
∴⊥BC，
∴D=D==，
∵∠C=∠OAC=30°，
∴CD=1，
∴OD=OC-CD=2-1=1，
∴点A'的坐标是（1，）；
④C=，如图，过点作D⊥y轴于D，
∴C= =2，
∴A=4+2，
∵∠OAC=30°，
∴D=2+，AD=2+3，
∴OD=AD-OA=2+3-2=3，
∴点的坐标是（2+3，-3）；
综上，存在，点的坐标是（-1，3）或（2-，3）或（1，）或（2+3，-3）．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转、平移的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
4．课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．
课本中给出一种证明方法如下：
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠A=∠ADE=∠AED，
∴△ADE是等边三角形．
“想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全：
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C，∠A=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=①_____，
∴②_____=③_____，
∴AD=AE．（④_____）
∴△ADE是等腰三角形．
又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形．
（2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE=AD，求证：△ADE是等边三角形．
【答案】(1)∠AED;(2)∠ADE;(3)∠AED;(4)等角对等边;
【解析】（1）由等边三角形的性质可得出答案；
（2）由等边三角形的判定可得出答案．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C，∠A=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE（等角对等边），
∴△ADE是等腰三角形．
又∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线，
∴，．
∵∠ADE为△ABD的外角，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°，
∵AE=AD，
∴△ADE是等边三角形．
5．已知∠AOB=120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合．
（1）依据题意补全图1；
（2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；
（3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ=4，并证明．
【解析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据四边形内角和为360°可得答案；
（3）连接OC，在射线OA上取点D，使得DP=OQ，连接CD，首先证明△COQ≌△CDP，然后△COD为等边三角形，进而可得答案．
解：（1）补图如图1：
（2）∠CQO+∠CPO=180°，
理由如下：∵四边形内角和360°，
且∠AOB=120°，∠PCQ=60°，
∴∠CQO+∠CPO=∠1+∠2=180°．
（3）OC=4时，对于任意点P，总有OP+OQ=4．
证明：连接OC，在射线OA上取点D，使得DP=OQ，连接CD．
∴OP+OQ=OP+DP=OD．
∵∠1+∠2=180°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3．
∵CP=CQ，
在△CQO和△CPD中
，
∴△COQ≌△CDP（SAS）．
∴∠4=∠6，OC=CD．
∵∠4+∠5=60°，
∴∠5+∠6=60°．
即∠OCD=60°．
∴△COD是等边三角形．
∴OC=OD=OP+OQ=4．
能力提升
提升1 等边三角形的定义及性质
1．在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）∠DEC =60°＋α；（3）2
【解析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论．
（2）证明∠ECD＝60°，∠CDE＝∠CAE＝60° α，可得结论．
（3）证明BC＝CD，AF＝DF，可得结论．
（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：如图2中，设AE交CD于O．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝180° ∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝∠ACE ∠ACB＝60°，
∵∠AOC＝∠DOE，∠ACO＝∠DEO＝60°，
∴∠EDC＝∠CAO＝60° α，
∴∠DEC＝180° ∠EDC ∠ECD＝180° （60° α） 60°＝60°＋α；
（3）解：如图3中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADE＝60°，AC＝BC，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB＝90°，
∴∠ADB＝90° 60°＝30°，
∴∠BAD＝180° ∠B ∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠CDA＝60°，
∴∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴CA＝CD，
∴CB＝CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∵EA＝ED，CA＝CD，
∴CE垂直平分线段AD，
∴AF＝DF，
∴S△ACF＝S△ACD＝2．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．
（1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间．
（3）当为直角三角形时，运动时间t的值是
【答案】（1）线段的中点，6
（2）存在，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形
（3），，，9
【解析】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，可得，再解方程即可；
（2）先证明，可得，再建立方程，即可得到答案；
（3）当点N在上运动时，如图3，若，如图4，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
【小问1详解】
解：当点 N 第一次到达 B 点时，，
此时运动了，
∴点M的位置在线段BC的中点，
设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，，
解得：，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M．
【小问2详解】
当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设是等腰三角形，
∴，
∴．
∴，
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
在和中，
∵，，
∴
∴，
∴，
解得，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形．
【小问3详解】
当点N在上运动时，如图3，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，解得．
如图4，当，
同理可得：由得，解得；
当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：
当点N在上运动时，
如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，
即是直角三角形，
则，解得．
如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当，，，9时，可得到直角三角形．
【点睛】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
3．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上．
（1）求证：AD是BC的垂直平分线．
（2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠EDF＝60°．
【解析】（1）求出AB=AC，BD=DC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）过D作DM⊥EF，连接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可；
（3）求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，证出△EBD≌△EMD，推出∠BDE=∠EDM，同理∠CDF=∠FDM，进而得出2∠EDF=∠BDC=120°．
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵BD＝DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线
（2）过D作DM⊥EF，连接AD，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝DC，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
∴DB⊥AB，DC⊥AC，
∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，
∴BD＝DM，BD＝DC，
∴DM＝DC，
∴FD平分∠EFC；
（3）如图，
∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE，
∴DB＝DM，DM＝DC，∠EBD＝∠EMD＝90°，
在△EBD和△EMD中
，
∴△EBD≌△EMD，
∴∠BDE＝∠EDM，
同理∠CDF＝∠FDM，
∴2∠EDF＝∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠EDF＝60°．
【点睛】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.
提升2 等边三角形的判定
1 .已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD=_____°时，△BED是等边三角形．
【答案】150
【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=AC，DE=AC，从而得到BE=DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB=∠DAB，即可得出∠DAB=30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．
证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC边的中点，
∴BE=AC，DE=AC，
∴BE=DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，
∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°．
故答案为：150．
2．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【解析】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．
解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．
3 .综合与实践
【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）若，，求的长．
【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系．
【答案】问题解决：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；类比探究：线段，与之间的等量关系是．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定是解答本题的关键．
问题解决：
（1）利用等边三角形的性质，得到是等边三角形．
（2）由于是等边三角形，得到，从而，所以，进而，得到答案．
类比探究：
过点作，交的延长线于点，由平行线的性质得到，得出为等边三角形，则，证明，得出，进而得到．
【详解】问题解决：
解：（1）是等边三角形理由是：
是等边三角形
又
是等边三角形．
（2）是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
．
类比探究：
线段，与之间的等量关系是理由是：
是等边三角形，
，
过点作，交的延长线于点，如图，
，
，，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
提升3 等边三角形的性质与判定综合
1．在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA=PM．
【解析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B=60°
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°
∵AP=AQ
∴∠AQB=∠APC=80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APQ-∠B=∠AQP-∠C，
即∠PAB=∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，
∵AP=AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA=PM．
2．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【解析】（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM=BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可．
解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED=∠CDE=60°，
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，
=∠ADC+60°+∠BED，
=∠CED+60°，
=60°+60°，
=120°，
∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=AD，BN=BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM=CN，
∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=60°，
∴∠ACM+∠MCB=60°，
∴∠BCN+∠MCB=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△MNC是等边三角形．
3．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【解析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
4．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．
【解析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；
（2）先证明∠1+∠2=120°，∠2+∠3=120°．可得∠1=∠3．同理∠3=∠4．则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD=BE=CF．
解：（1）△DEF是等边三角形．
证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，
又∵AD=BE=CF，
∴DB=EC=FA，（2分）
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分）
∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；（4分）
（2）AD=BE=CF成立．
证明如下：
如图，∵△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴∠1+∠2=120°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，（6分）
同理∠3=∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（7分）
∴AD=BE=CF．（8分）
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