位似
基础梳理
1.如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ，那么这样的两个图形叫做
，这点叫做 .对应边的比叫做 ，位似比等于 .
2.一般的在平面坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使他与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为 .
【位似求坐标问题】
1.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( )
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
2.如图，已知点A和点B是直线的两点，A点坐标（2，）若AB=5，则点B的坐标是 ．
3.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，
相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是 ．
【画位似图形】
4.在13×13的网格中，已知△ABC和点M(1，2) ．
(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
5.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比不为1．
6.如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（－2，4），B（－2,1），C（－5,2）
①请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2、B2、C2 ，请画出△A2B2C2 ；
③求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即=________（不写解答过程，直接写出结果）．
7.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为(，1)，(，4)，(，2)．
（1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；
（2）以原点为位似中心，位似比为1:2，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
（3）如果点(，)在线段上，请直接写出经过（2）的变化后的对应点的坐标．
位似
一、自主学习
1.位似图形上某一对对应顶点到位中心的距离分别为5 cm和15 cm，则它们的相似比为_________
2.如图27-33，蜡烛与成像板之间的距离为3m，小孔纸板距蜡烛1m，若蜡烛AB长20cm，则所成的像长为_________cm.
图27-33
3.四边形ABCD和四边形A＇B＇C＇D＇是位似图形，O为位似中心，若OA∶OA＇，=1∶2，那么AB∶A＇B＇=________，S四边形ABCD∶S四边形A＇B＇C＇D＇=________.
二、基础巩固
4.如图27-34所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是________，点O是_____，相似比是________.
图27-34 图27-35
5.如图27-35所示，矩形AOBC与DOEF是位似图形，且O为位似中心，相似比为1∶，若A(0，1)、B(2，0)，则F点的坐标为________.
6.下列两个图形不是位似图形的是( )
7.把△ABC三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以3得△A＇B＇C＇，的坐标A＇，(0，3)、B＇(6，0)、C(9，6)，那么△ABC与△A＇B＇C＇是______图形，位似中心是_______，相似比为________
8.把△ABC三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以-3，得△A＇B＇C＇，的坐标A＇(0，-3)、B(-6，0)、C＇(-9，-6)，那么△ABC与△A＇B＇C＇是_____图形，位似中心是_____，相似比为_____.
9.如图27-36所示，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，则下列说法：
(1)△ABC与△DEF是位似形.
(2)△ABC∽△DEF.
(3)△ABC与△DEF周长的比为2∶1
(4)△ABC与△DEF面积的比为4∶1.其中正确的个数是( )
图27-36
A.1 B.2 C.3 D.4
10.图27-36中，△ABC与△DEF是位似图形.那么，DE与AB平行吗?为什么?EF与BC呢?DF与AC呢?
11.如图27-37所示，O为四边形ABCD上一点，以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍.
12.如图27-38所示，O为位似中心，将△ABC缩小为原来的(要求对应顶点在位似中心的同旁).
13.如图27-39所示，O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍(要求对应顶点在位似中心的两旁).
图27-37 图27-38 图27-39
三、能力提高
14.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( )
A.9 B.3 C. D.
15.在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( )
A.一定点 B.原三角形三边垂直平分线的交点
C.原三角形角平分线的交点 D.位置不定的一点
16.下列说法正确的个数是( )
①位似图形一定是相似图形;
②相似图形一定是位似图形;
③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间;
④若五边形ABCDE与五边形A＇B＇C＇D＇E＇位似，则其中△ABC与△A＇B＇C＇也是位似的且相似比相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
17.若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( )
A.每对对应点所在的直线相交于同一点; B.两个图形上的对应线段之比等于相似比
C.两个图形上对应线段必平行 D.两个图形的面积比等于相似比的平方
18.如图27-40所示，在直角坐标系中，A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1)围成四边形ABCD.作出四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点.
图27-40
19.(1)如图27-41所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1；
(2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，
求四边形A＇B＇C＇D＇的面积.
图27-41
20.正方形ABCD各顶点的坐标分别为A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，2)，D(1，2)，以坐标原点为位似中心，将正方形ABCD放大，使放大后的正方形A＇B＇C＇D＇的边是正方形边的3倍。(1)写出A＇B＇C＇D＇的坐标;(2)直线AC与直线B＇D＇垂直吗?说明理由.
21.如图27-42所示，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32d m2，两边空白各0.5 dm，上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是xdm，四周空白的面积为Sdm2.
(1)求S与x的关系式.
(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?
(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?
图27-42
四、模拟链接
22.如图27-43所示，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法).
图27-43
23.如图27-44，方格中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间的连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(-1，-1).
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
(2)把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得△A2B2C2，画出△A2B2C2的图形并写出B2的坐标；
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，画出△AB3C3的图形.
图27-44
24.在如图27-45的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形.
(1)画出此中心对称图形的对称中心O；
(2)画出将△A1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2；
(3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度?(不要求证明)
图27-45
25.早上小欣与妈妈同时从家里出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，如图27-46是他们离家的路程y(米)与时间x(分)的函数图象，妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，即以原速度骑车前往小欣学校，并与小欣同时到达学校.已知小欣的步行速度为每分50米，求小欣家与学校的距离及小欣早晨上学需要的时间.
图27-46
参考答案
一、自主学习
1.位似图形上某一对对应顶点到位中心的距离分别为5 cm和15 cm，则它们的相似比为_________
答案：
2.如图27-33，蜡烛与成像板之间的距离为3m，小孔纸板距蜡烛1m，若蜡烛AB长20cm，则所成的像长为_________cm.
图27-33
答案：40
3.四边形ABCD和四边形A＇B＇C＇D＇是位似图形，O为位似中心，若OA∶OA＇，=1∶2，那么AB∶A＇B＇=________，S四边形ABCD∶S四边形A＇B＇C＇D＇=________.
答案：1∶2 1∶4
二、基础巩固
4.如图27-34所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是________，点O是_____，相似比是________.
图27-34 图27-35
答案：位似图形 位似中心 1∶2
5.如图27-35所示，矩形AOBC与DOEF是位似图形，且O为位似中心，相似比为1∶，若A(0，1)、B(2，0)，则F点的坐标为________.
答案：(，)
6.下列两个图形不是位似图形的是( )
答案：A
7.把△ABC三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以3得△A＇B＇C＇，的坐标A＇，(0，3)、B＇(6，0)、C(9，6)，那么△ABC与△A＇B＇C＇是______图形，位似中心是_______，相似比为________
答案：位似 原点O 3
8.把△ABC三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以-3，得△A＇B＇C＇，的坐标A＇(0，-3)、B(-6，0)、C＇(-9，-6)，那么△ABC与△A＇B＇C＇是_____图形，位似中心是_____，相似比为_____.
答案：位似 原点O 3
9.如图27-36所示，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，则下列说法：
(1)△ABC与△DEF是位似形.
(2)△ABC∽△DEF.
(3)△ABC与△DEF周长的比为2∶1
(4)△ABC与△DEF面积的比为4∶1.其中正确的个数是( )
图27-36
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
10.图27-36中，△ABC与△DEF是位似图形.那么，DE与AB平行吗?为什么?EF与BC呢?DF与AC呢?
答案：略
11.如图27-37所示，O为四边形ABCD上一点，以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍.
答案：略
12.如图27-38所示，O为位似中心，将△ABC缩小为原来的(要求对应顶点在位似中心的同旁).
答案：略
13.如图27-39所示，O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍(要求对应顶点在位似中心的两旁).
图27-37 图27-38 图27-39
答案：略
三、能力提高
14.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( )
A.9 B.3 C. D.
答案：C
15.在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( )
A.一定点 B.原三角形三边垂直平分线的交点
C.原三角形角平分线的交点 D.位置不定的一点
答案：D
16.下列说法正确的个数是( )
①位似图形一定是相似图形;
②相似图形一定是位似图形;
③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间;
④若五边形ABCDE与五边形A＇B＇C＇D＇E＇位似，则其中△ABC与△A＇B＇C＇也是位似的且相似比相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
17.若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( )
A.每对对应点所在的直线相交于同一点; B.两个图形上的对应线段之比等于相似比
C.两个图形上对应线段必平行 D.两个图形的面积比等于相似比的平方
答案：C
18.如图27-40所示，在直角坐标系中，A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1)围成四边形ABCD.作出四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点.
图27-40
答案：略
19.(1)如图27-41所示，作山四边形ABCD的位似图形A＇B＇C＇D＇，使四边形ABCD与四边形A＇B＇C＇D＇的相似比为2∶1；
(2)若已知AB=2cm，BC=cm，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥DA，
求四边形A＇B＇C＇D＇的面积.
图27-41
答案：(1)略；(2)
20.正方形ABCD各顶点的坐标分别为A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，2)，D(1，2)，以坐标原点为位似中心，将正方形ABCD放大，使放大后的正方形A＇B＇C＇D＇的边是正方形边的3倍.
(1)写出A＇B＇C＇D＇的坐标.
(2)直线AC与直线B＇D＇垂直吗?说明理由.
答案：(1)A(3，3)、B(-3，3)、C(-3，6)、D(3，6)或A(-3，-3)、B(3，-3)、C(3，-6)、D(-3，-6)；
(2)垂直，略.
21.如图27-42所示，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32d m2，两边空白各0.5 dm，上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是xdm，四周空白的面积为Sdm2.
(1)求S与x的关系式.
(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?
(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?
图27-42
答案：(1)S=2x+2；(2)长10 dm,宽5 dm；
(3)提示:说明满足位似图形的三个条件.
四、模拟链接
22.如图27-43所示，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法).
图27-43
答案：略
23.如图27-44，方格中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间的连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(-1，-1).
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
(2)把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得△A2B2C2，画出△A2B2C2的图形并写出B2的坐标；
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，画出△AB3C3的图形.
图27-44
答案：略
24.在如图27-45的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形.
(1)画出此中心对称图形的对称中心O；
(2)画出将△A1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2；
(3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度?(不要求证明)
图27-45
答案：(1)略 (2)略 (3)90°
25.早上小欣与妈妈同时从家里出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，如图27-46是他们离家的路程y(米)与时间x(分)的函数图象，妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，即以原速度骑车前往小欣学校，并与小欣同时到达学校.已知小欣的步行速度为每分50米，求小欣家与学校的距离及小欣早晨上学需要的时间.
图27-46
答案：1250米，25分(提示：可用相似形知识求解，也可用其他方法)
位似
专题一 开放探究题
1．在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和△ABC.
(1)请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向）,得到△；
(2)请用适当的方式描述△的顶点的位置.
专题二 实际应用题
2．如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为( )
A.8 cm B.20 cm C.3.2 cm D.10 cm
3．如图，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32 dm2，两边空白各0.5 dm，上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是x dm，四周空白的面积为S dm2.
(1)求S与x的关系式；
(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?
(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?
专题三一题多变题
4．已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O是位似中心，OD∶OD′=2∶3，如图所示，求S五边形ABCDE与S五边形A′B′C′D′E′之比是多少？
（1）一变：若已知条件不变，五边形ABCDE的周长为32 cm，求五边形A′B′C′D′E′的周长；
（2）二变：已知条件不变，试判断△ODE与△OD′E′是位似图形吗？
专题四 阅读理解题
5．阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．”
（1）选择：如图1，点O是等边△PQR的中心，P′、 Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为( )
A．2，点P B．，点P C．2，点O D．，点O
（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法：
①在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上，
②连结OE并延长交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，过点E′作E′D′∥ED交OB于点D′；
③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形，求证：△C′D′E′是等边三角形．
【知识要点】
1．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形.
2．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者－k.
【温馨提示】
1．位似图形的位似中心可以在任何位置.
2．解决位似图形中相关图形的周长、面积问题时，一般地首先要确定位似图形的相似比，然后再根据相似形的性质解决问题.
【方法技巧】
1．利用位似，可以将一个图形放大或缩小.
2．判定两个图形是位似图形，必须同时满足两个条件：（1）两个图形相似；（2）两个图形所有对应顶点所在直线相交于同一点.
3．在数学上，往往先在一个已知图形中通过探究找出一个正确的结论，再将图形进行适当变换，然后探究这个结论在变换后的图形中是否成立，最后利用发现的一般规律去指导并解决问题，这种研究问题的方法是训练发散思维与创新意识的有效途径.
参考答案
解:（1）按位似作图在O点与△ABC同侧把△ABC缩小一半，得到△；第（2）问是一个开放性问题，对描述△的顶点的位置的方式不确定，如果建立直角坐标系来描述的位置，假设以O为坐标原点，建立平面直角坐标系.那么A′的坐标为（-4，1），B′的坐标为（-5，-1），C′的坐标为（-2，-1）.
2．B【解析】8:投影三角形的对应边长=2:5.
3．解:(1)根据题意,得S=x++2.
(2)根据题意,得x++2=18,整理,得x2-16x+64=0,∴(x-8)2=0,∴x=8,∴x+2=10.所以这张广告纸的长为10 dm,宽为+2×0.5=5(dm).
(3)内外两个矩形是位似图形,理由如下:因为内外两矩形的长,宽的比都为2,
∴.
∵矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′.
∵AC和BD,A′C′和B′D′都相交于O点,
∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形.
4．解:∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，OD：OD′=2：3，
∴===．
（1）由题意可知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的位似比为=，
∴==．
∵C五边形ABCDE=32cm，∴C五边形A′B′C′D′E′=C五边形ABCDE×=32×=48（cm）．
（2）∵五边形ABCDE与五边形ABCDE是位似图形，∴==，
∴△ODE∽△OD′E′．由题图可知△ODE与△OD′E′的对应点的连线都经过点O，
∴△ODE与△OD′E′是位似图形．
5．解:(1)由位似的定义，观察图l知：点O是位似中心，根据三角形中位线的性质可推出位似比为1／2，故选D．
(2)证明：∵EC∥E′C′，∴，∠CEO=∠C′E′O．
∵ED∥E′D′，∴，∠DEO=∠D′E′O′，
故，∠CED=∠C′E′D′．
∵△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∠CED=60°.
∴C′E′=E′D′，∠C′E′D′=60°，∴△C′D′E′是等边三角形．
位似
1.如图（1）火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm,OB=15 cm，则火焰的长度为________.
2. 如图（2），五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为. 若五边形ABCDE的面积为17 cm2， 周长为20 cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为________，周长为________.
3.已知，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.
4.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
小明在一块玻璃上画上了一幅画，然后用手电筒照着这块玻璃，将画映到雪白的墙上，这时我们认为玻璃上的画和墙上的画是位似图形.请你再举出一些生活中的位似图形来？并说明一对对应线段的位置关系.
将有一个锐角为30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.
一三角形三顶点的坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.
8、经过不同位似中心将同一图形进行放大和缩小，试问放大后的图形和缩小后的图形能否也是位似图形？谈谈你的看法.
参考答案：
