【人教九上中档题专题提优】专题六 根与系数的关系（含解析）

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专题六 根与系数的关系
核心考点一 利用根与系数的关系直接求值
01.已知是方程的两根,则 , ,＝ .
02.若方程的一个根为,则方程的另一个根为x＝ ，c＝ .
03.已知方程的两个根分别为,则 .
核心考点二 结合完全平方公式和公式利用根与系数的关系求值
04.若是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1);(2);(3);(4).
核心考点三 结合根的定义和根与系数的关系,整体代换或者降次代换求代数式的值
05.(2024东西湖)设是方程的两个实数根,则 .
06.已知是方程的两根,则代数式 .
07.若是方程的两个实数根,则 .
08.若和是方程的两个实数根,则代数式的值为 .
核心考点四 利用根与系数的关系求参数的范围,容易忽略判别式的应用
09.关于的方程的两个实数根分别为,且,则的取值范围是 .
10.(2024青山)关于的一元二次方程的两个实数根为,且有,则实数的取值范围为 .
11.已知方程有一个正根,一个负根,那么的取值范围是 .
12.已知方程的两个实数根的平方和为,求的值.
解:设为方程两根,则,
,
即,
,
当时,;
当时,,
.
13.已知关于的方程.
（1）求证:无论为何实数,方程总有实数根;
（2）若此方程有两个实数根,且,求的值.
(1)证明:.
①时,方程为;
②时,方程恒有根,
无论为何实数,方程总有实数根.
（2）解:依题意,有.又,
的值为1或.
核心考点五 满足一元二次方程定义的等式,构造方程利用根与系数的关系
14.若为互不相等的实数,且,则 .
15.(1)已知实数满足,求的值;
（2）若实数满足及,且,求的值.
解:(1)满足是的解,
①当时,;
②当时,原式的值为－47或2.
(2),由,得,
又与是的两不相等实根..
核心考点六 已知根与系数的关系结构构造方程,利用判别式求参数最值
16.已知满足,求正数的最小值.
解:由题知是一元二次方程的两个实数根.
又此方程必有实数根,此方程的,即.
,故正数的最小值是4.
专题六 根与系数的关系
核心考点一 利用根与系数的关系直接求值
01.已知是方程的两根,则.
02.若方程的一个根为,则方程的另一个根为___.
03.已知方程的两个根分别为,则.
核心考点二 结合完全平方公式和公式利用根与系数的关系求值
04.若是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1);(2);(3);(4).
解:依题意有:.
(1);(2);
(3);
(4).
核心考点三 结合根的定义和根与系数的关系,整体代换或者降次代换求代数式的值
05.(2024东西湖)设是方程的两个实数根,则.
06.已知是方程的两根,则代数式.
07.若是方程的两个实数根,则.
08.若和是方程的两个实数根,则代数式的值为－16.
核心考点四 利用根与系数的关系求参数的范围,容易忽略判别式的应用
09.关于的方程的两个实数根分别为,且,则的取值范围是且.
10.(2024青山)关于的一元二次方程的两个实数根为,且有,则实数的取值范围为.
11.已知方程有一个正根,一个负根,那么的取值范围是.
12.已知方程的两个实数根的平方和为,求的值.
解:设为方程两根,则,
,
即,
,
当时,;
当时,,
.
13.已知关于的方程.
（1）求证:无论为何实数,方程总有实数根;
（2）若此方程有两个实数根,且,求的值.
(1)证明:.
①时,方程为;
②时,方程恒有根,
无论为何实数,方程总有实数根.
（2）解:依题意,有.又,
的值为1或.
核心考点五 满足一元二次方程定义的等式,构造方程利用根与系数的关系
14.若为互不相等的实数,且,则.
15.(1)已知实数满足,求的值;
（2）若实数满足及,且,求的值.
解:(1)满足是的解,
①当时,;
②当时,原式的值为－47或2.
(2),由,得,
又与是的两不相等实根..
核心考点六 已知根与系数的关系结构构造方程,利用判别式求参数最值
16.已知满足,求正数的最小值.
解:由题知是一元二次方程的两个实数根.
又此方程必有实数根,此方程的,即.
,故正数的最小值是4.