【人教九上中档题专题提优】专题七 一元二次方程的实际应用(1)一一面积问题（含解析）

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专题七 一元二次方程的实际应用(1)一一面积问题
核心考点一 边框设计问题
01.在一幅长,宽的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的面积为,设纸边的宽为,则可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
02.如图,在一幅长,宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是,设金色纸边的宽为,则可列方程为 .(化为一般式)
核心考点二 甬路问题与平移
03.如图,为改善小区环境,争创文明家园.某社区决定在一块长,宽的矩形场地上修建三条同样宽的小路,其中两条与平行另一条与平行,其余部分种草,且草坪部分的总面积为.求小路的宽为多少
04.有一块长为,宽为的矩形场地,计划在该场地上修筑宽是米的两条互相垂直的道路,余下的四块矩形场地建成草坪.
（1）已知,并且四块草坪的面积和为,请求出每条道路的宽为多少米
（2）已知,并且四块草坪的面积和为,请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米
（3）已知,要在场地上修筑宽为的纵横小路,其中条水平方向的小路,条竖直方向的小路(为正整数),使草坪地的总面积为,则的值为多少 (直接写出答案).
核心考点三 靠墙围栏问题——注意自变量的取值范围
05. 如图，某工程队利用互相垂直的两面墙AE、AF，用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形．已知墙AE长90米，墙AF长60米．
（1）若可利用的铁栅栏总长为180米，设BC＝x米，则CD为　　米，四边形ABCD的面积为
　　米2；（直接写出结果）
（2）若所有铁栅栏采用双层加固（两层铁栅栏间的缝隙忽略不计），为了方便运输货物，CD边上需留出两个宽均为2.5米的缺口，已知可利用的铁栅栏总长为390米，求围成的长方形场地的最大面积．
06. 如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成480平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）
（3）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）
核心考点四 折叠纸盒问题
07.(2024武珞路)如图,有一张长,宽的矩形纸片,在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是,根据题意,可列方程为（ D ）
A. B.
C. D.
08.(2022外校) 有一块矩形铁皮，长12dm，宽4dm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制作一个无盖方盒，如果要使制作的无盖方盒的侧面积占矩形铁皮面积的八分之五，设各角切去的正方形的边长为xdm．
（1）用含x的代数式表示，盒底的长为　　dm，盒底的宽为　　dm；
（2）求x的值．
专题七 一元二次方程的实际应用(1)一一面积问题
核心考点一 边框设计问题
01.在一幅长,宽的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的面积为,设纸边的宽为,则可列出方程为（ C ）
A. B.
C. D.
解:依题意有:,整理得:.
02.如图,在一幅长,宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是,设金色纸边的宽为,则可列方程为.(化为一般式)
解:依题意有:,整理得:.
核心考点二 甬路问题与平移
03.如图,为改善小区环境,争创文明家园.某社区决定在一块长,宽的矩形场地上修建三条同样宽的小路,其中两条与平行另一条与平行,其余部分种草,且草坪部分的总面积为.求小路的宽为多少
解:设小路的宽为,依题意有:,
整理得:,解得.
又,不合题意,故舍.答:小路的宽为.
04.有一块长为,宽为的矩形场地,计划在该场地上修筑宽是米的两条互相垂直的道路,余下的四块矩形场地建成草坪.
（1）已知,并且四块草坪的面积和为,请求出每条道路的宽为多少米
（2）已知,并且四块草坪的面积和为,请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米
（3）已知,要在场地上修筑宽为的纵横小路,其中条水平方向的小路,条竖直方向的小路(为正整数),使草坪地的总面积为,则的值为多少 (直接写出答案).
解:(1),解得(舍),每条道路的宽为.
（2）设,解得(舍),
长为,宽为.
（3）,
,且为正整数,
时,时,时,,或或.
核心考点三 靠墙围栏问题——注意自变量的取值范围
05. 如图，某工程队利用互相垂直的两面墙AE、AF，用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形．已知墙AE长90米，墙AF长60米．
（1）若可利用的铁栅栏总长为180米，设BC＝x米，则CD为　　米，四边形ABCD的面积为
　　米2；（直接写出结果）
（2）若所有铁栅栏采用双层加固（两层铁栅栏间的缝隙忽略不计），为了方便运输货物，CD边上需留出两个宽均为2.5米的缺口，已知可利用的铁栅栏总长为390米，求围成的长方形场地的最大面积．
解：（1）由题意可得：CD＝（180﹣2x）； x（180﹣2x）；
故答案为：（180﹣2x）； x（180﹣2x）；
（2）依题意，得：
∵2（CD﹣5）+4x＝390，
∴CD＝200﹣2x，
设面积为S，则S＝x（﹣2x+200）＝﹣2（x﹣50）2+5000，
∵200﹣2x≤90，
∴55≤x≤60，
∴当x＝55时，S最大＝4950m2，
答：围成的长方形场地的最大面积为4950m2．
06. 如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成480平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）
（3）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）
【思路点拔】（1）根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC＝xm，则AB（60﹣x+2）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
（2）思路同（1），根据实际情况对x的值进行取舍；
（3）利用根的判别式进行判断即可．
解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（1）（60﹣x+2）x＝300，x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）（60﹣x+2）x＝480，x2﹣62x+960＝0，解这个方程得：x1＝32，x2＝30，
∵28＜30＜32，
∴x1＝32，x2＝30（不合题意，舍去），
答：不能围成480平方米的矩形花园．
（3）（60﹣x+2）x＝500，
x2﹣62x+1000＝0，
△＝622﹣4000＝﹣156＜0，
则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．
核心考点四 折叠纸盒问题
07.(2024武珞路)如图,有一张长,宽的矩形纸片,在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是,根据题意,可列方程为（ D ）
A. B.
C. D.
解:设剪去小正方形的边长是,
则纸盒底面的长为,宽为,
纸盒的底面(图中阴影部分)面积是.
08.(2022外校) 有一块矩形铁皮，长12dm，宽4dm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制作一个无盖方盒，如果要使制作的无盖方盒的侧面积占矩形铁皮面积的八分之五，设各角切去的正方形的边长为xdm．
（1）用含x的代数式表示，盒底的长为　　dm，盒底的宽为　　dm；
（2）求x的值．
【思路点拔】（1）由矩形铁皮的长宽及剪去小正方形的边长，可得出盒底的长和宽；
（2）根据制作的无盖方盒的侧面积占矩形铁皮面积的八分之五，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵各角切去的正方形的边长为xdm，
∴盒底的长为（12﹣2x）dm，盒底的宽为（4﹣2x）dm．
故答案为：（12﹣2x）；（4﹣2x）；
（2）依题意，得：2[x（12﹣2x）+x（4﹣2x）]12×4，
整理，得：4x2﹣16x+15＝0，
解得：x1，x2．
当x时，4﹣2x＝1，符合题意；
当x时，4﹣2x＝﹣1，不符合题意，舍去．
答：x的值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边长之间的关系，利用含x的代数式表示出盒底的长和宽；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．