【人教九上中档题专题提优】专题五 根的判别式（含解析）

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专题五 根的判别式
核心考点一 不解方程,利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
01.不解方程,判断方程的根的情况是( )
A.无实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个实数根 D.随值的变化而变化,不能判定
核心考点二 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围
02.关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是 .
03.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围是 .
04.关于的方程有实数根,则满足( )
A. B.且 C.且 D.
核心考点三将二次等式理解为二次方程,利用判别式求字母的取值范围
05.若实数满足,则实数的取值范围是( )
A. B.或 C. D.
核心考点四 设参将二次式转化为二次方程,利用判别式求式子的最值
06.已知实数满足,求的最小值.
核心考点五 分类讨论
07.(2024蔡甸期中)已知关于的一元二次方程.
（1）求证:无论为何值,此方程总有一个根是定值;
（2）若直角三角形的一边为4,另两边恰好是这个方程的两根,求的值.
08.已知关于的方程.
（1）求证:无论取何值,方程一定有两个实数根;
（2）求证:无论取何值,方程总有一定根;
（3）若等腰的边长,另两边长恰好是这个方程的根,求的周长.
09.已知实数满足,求的最大值.
10.(2024七一华源月考)已知关于的方程有且仅有两个不相等的实根,则实数的取值范围为 .
核心考点六 利用判别式求几何图形的存在性
11.如图,矩形中,.
（1）若为上一动点（异于两点）,当在什么位置时,为直角三角形;
（2）为上一点（异于两点）,当满足什么条件时,使为直角三角形的点有且只有一个
专题五 根的判别式
核心考点一 不解方程,利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
01.不解方程,判断方程的根的情况是( B )
A.无实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个实数根 D.随值的变化而变化,不能判定
核心考点二 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围
02.关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是且.
03.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围是且
04.关于的方程有实数根,则满足( A )
A. B.且 C.且 D.
核心考点三将二次等式理解为二次方程,利用判别式求字母的取值范围
05.若实数满足,则实数的取值范围是( B )
A. B.或 C. D.
核心考点四 设参将二次式转化为二次方程,利用判别式求式子的最值
06.已知实数满足,求的最小值.
解:设,
,
的最小值为-3.
核心考点五 分类讨论
07.(2024蔡甸期中)已知关于的一元二次方程.
（1）求证:无论为何值,此方程总有一个根是定值;
（2）若直角三角形的一边为4,另两边恰好是这个方程的两根,求的值.
解:(1),无论为何值,此方程总有一个根是定值.
（2）分两种情况:
①当4为直角边时,,边长为正数,;
②当4为斜边时,,边长为正数,.
综上所述,值为5或.
08.已知关于的方程.
（1）求证:无论取何值,方程一定有两个实数根;
（2）求证:无论取何值,方程总有一定根;
（3）若等腰的边长,另两边长恰好是这个方程的根,求的周长.
解:(1)方程一定有两个实数根.
（2）,得,方程总有一定根为.
(3)①当时,,故,
满足三角形三边关系,,故的周长为7;
②当中有一个与相等时,不妨设,
则,
满足三角形三边关系,,故的周长为8.
综上所述,的周长为7或8.
09.已知实数满足,求的最大值.
解:,
,解得:的最大值为2.
10.(2024七一华源月考)已知关于的方程有且仅有两个不相等的实根,则实数的取值范围为或.
解:方程变为:,
则,方程看作的一元二次方程,
①当,即时,方程有两个相同的实数根,
②当时,关于的方程有一正根和一负根,原方程有两个不同的实数根,
,即,所以的范围为或.
核心考点六 利用判别式求几何图形的存在性
11.如图,矩形中,.
（1）若为上一动点（异于两点）,当在什么位置时,为直角三角形;
（2）为上一点（异于两点）,当满足什么条件时,使为直角三角形的点有且只有一个
解:(1).
设,
,当时,为直角三角形.
（2）同(1)可列方程,
当时,点有且只有一个,
此时.