2023-2024学年吉林实验中学等友好学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年吉林实验中学等友好学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.如果和是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )
A. B. C. D.
3.的内角，，的对边分别为、、，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，，，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )
A. B. C. D.
6.已知，为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则( )
A. ， B. 与相交，且交线平行于
C. ， D. 与相交，且交线垂直于
7.在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
8.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有名女员工，女员工的平均体重为，标准差为；有名男员工，男员工的平均体重为，标准差为则样本中所有员工的体重的标准差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量，，，则( )
A. B.
C. D.
10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝下”，下列结论中正确的是( )
A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件
C. D.
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算______．
13.年四川省高考分数公布后，石室中学再续辉煌，某基地班的名同学成绩分别是单位：分：，，，，，，，，，，，，则这名学生成绩的下四分位数为______．
14.中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，设．
求；
若，的面积为，求的值．
16.本小题分
已知，，．
求与的夹角；
求的值．
17.本小题分
如图，四边形是矩形，平面，，点为线段的中点．
求证：平面；
求证：平面．
18.本小题分
某城市户居民的月平均用电量单位：度以，，，分组的频率分布直方图如图所示．
估计这户居民的月平均用电量的平均数，中位数；同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表
按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在，的居民中抽取户居民，再从这户居民中随机抽取户，求这户居民中至少有户月平均用电量在的概率．
19.本小题分
如图梯形中，，，，，且，将梯形沿折叠得到图，使平面平面，与和交于，点在上，且，是的中点，过、、三点的平面交于在图中：
证明：是的中点；
是上一点，已知二面角的正切值为，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由，
得，由正弦定理得，
由余弦定理，
所以，
因为，
所以；
由于的面积为，
即，
可得，又因为，
由余弦定理得：，
解得．
16.解：因为，所以，
故，
所以，
因为，所以，
因为，，，
所以，
，
故．
17.证明：因为平面，平面，所以，
又，点为线段的中点，所以，
又，平面，平面，
故CF平面；
连接交于，连接，
因为四边形是矩形，
则为的中点，又点为线段的中点，
可得，而平面，平面，
故DE平面．
18.解：由频率分布直方图可知，估计这户居民的月平均用电量的平均数为；
设中位数为，
用电量在的频率为，
用电量在的频率为，
故中位数位于第三组中，故，解得
由题意得月平均用电量在的居民有户，分别设为，，，，
月平均用电量在的居民有户，分别设为，，
所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个．
记为“户居民中至少有户月平均用电量在”，
则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个，
所以．
19.解：证明：如图：因为，，，，且，
所以，，，
图中：
在中，，，所以，
又平面，平面，
所以平面，
平面，平面平面，
所以，
在中，为中点，所以为中点．
如图：
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
作于，则平面，作于，连，
则为二面角的平面角，
设，
因为，
因为为等腰直角三角形，所以，
又，
在直角中，，
即．
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