第三章 抛物线及其标准方程 教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 第三章 抛物线及其标准方程 教案（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 289.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-30 18:13:20 | ||
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文档简介
教学设计
教学案例基本信息
学科 数学 学段 第二学段 年级 高二
案例名称 抛物线及其标准方程
教材 书名：普通高中教科书（选择性必修第一册）出版社：人民教育出版社出版日期：2022年7月
课程说明(信息技术与学科内容结合方面的指导思想与理论依据）
建构主义学习理论是认知学习理论的一个重要分支.建构主义学习理论认为，对事物的理解不是简单由事物本身决定的，人是以原有的知识经验为基础来建构自己对现实世界的解释和理解，学习是一个积极的意义建构过程，教学并不是把知识经验从外部装进学生的头脑中，而是要引导学生从原有经验出发，生长(建构)起新的经验.由于建构主义所要求的学习环境得到了当代最新信息技术成果的强有力支持,教师注重对学习环境的创设，通过计算机多媒体技术和网络技术在教学中为学生提供个性化的支持和帮助，培养学生通过协作学习解决问题的能力，提高学生学习效率和教师教学效率.
信息技术环境软硬件要求及搭建环境情况
几何画板和flash动画软件，PPT软件，投影.
教学背景分析
教学内容:著名的李邦河院士曾说:“数学是玩概念的”，概念是进行一切数学活动的基础，因此，教学中要重视对数学的概念，定义的理解及应用，引导学生感悟数学本质.圆锥曲线问题是中学数学研究的一类重点问题，蕴含着经典的数学思想和方法.动点运动变化过程中的不变量是几何问题本身研究的核心内容，这类问题的背后有许多有趣的结论可探究，因此，本节课一方面为学生研究动点问题提供了相关方法;另一方面，让学生体验像数学家一样发现问题的方法，为进一步掌握和学习圆锥曲线内容提供行之有效的思想方法.抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直线(不经过定点)是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念，类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标法推导抛物线的标准方程.教学思想： 本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示.另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法;在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念;在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想;求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法:对二次函数的图象为什么是抛物线的研究用到了化归与转化思想等等.学情分析： 所授课班级高二14班属理科尖子班，学生思维活跃，具有一定的归纳总结能力，但数学语言表达能力以及证明推理能力还有待提高.本节课是在学生学习了圆锥曲线椭圆和双曲线之后去学习另外一种圆锥曲线，有了研究之前两种曲线概念的经验，再加之借助几何画板的动态演示，学生有能力构建出抛物线的概念和特征，建立抛物线的标准方程.
教学目标
目标能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的几何特征，发展直观想象和抽象概括素养.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象和数学运算素养.教学重点：抛物线的定义以及标准方程 教学难点：抛物线定义的形成过程以及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）
教学过程
教学阶段 教师活动 学生活动 设计意图 技术应用 时间安排
设置情境导入新课 利用flash动画软件给出生活实例：投篮和小球上抛的运动的动画. 思考：篮球和小球运动过得轨迹是怎样的曲线？ 激发学生学习兴趣，直接引入主题. flash动画软件 1分钟
引导探究获得新知 问题1：（几何画板展示）如图1：是定点，是不经过点的定直线，是直线上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点.拖动点，点随之运动，你能发现满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 观察几何画板展示的点的变化轨迹.思考：（1）动点是如何获得的？（2）线段和线段的几何意义分别是什么？变化的量有哪些？变化顺序如何？变化中是否存在不变的关系？当直线经过点时，线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系？ 强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数字中的应用价值.引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特点，抽象出抛物线的概念，发展学生数学抽象素养. 几何画板软件 6-8分钟
深入探究推导方程 问题2：观察图1中的抛物线，如何选择坐标系可能使所求抛物线的方程形式简单？观察一下三种建立平面之角坐标系，根据抛物线的定义，推导抛物线的方程：问题3：根据抛物线的方程，类比椭圆、双曲线标准方程的不同性质，再获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和标准方程，并将结论填写在表格中. 学生观察抛物线的形状，思考建系的方式.（考虑对称性） 思考：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间一一对应的关系？三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？三种不同形式的抛物线方程是否有联系？小组合作完成完成上表.思考：（1）只研究表中四中形式的标准方策会给你基于怎样的思考？（2）你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程. 注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，对比分析，提升数学运算素养.类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，利用表格的形式呈现抛物线不同形式（焦点位置的不同）的标准方程.引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决问题实际应用问题奠定理论基础. 几何画板软件 15-18分钟
指导应用鼓励创新 例题分析：例1：（1）已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是,求它的标准方程.例2.一种卫星接收天线如图，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处.已知接收天线的口径（直径）卫4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标. 动手操作，知识应用.根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据抛物线焦点坐标求其标准方程.读懂题意，从给出的实物图中抽象出数学图形，建立坐标系，用待定系数法求解问题.练习：教材133页练习题.（口答） 理解抛物线方程中的意义，强化学生对抛物线标准方程、、焦点坐标以及准线方程的认识.让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程. 8分钟
课堂检测巩固新知 已知抛物线的准线方程是，求它的标准方程.已知抛物线上的点与焦点的距离等于7，求点的坐标.求抛物线的焦点坐标和准线方程. 学生自主完成检测（3名学生上板演示，学生自主评价、纠错、完善解答过程），调整自己的认知结构和经验结构，完成经验的自主构建的过程. 考查学生由已知条件求抛物线的标准方程.考查学生灵活运用抛物线标准方程及其几何特征解决问题.考查学生将方程变形为标准方程，然后运用标准方程获得焦点坐标、准线方程. 6分钟
课堂小结 引导学生带着下列问题回顾本节课所学和学习过程：抛物线的几何特征是什么？抛物线的标准方程是如何获得的？抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 学生根据教师所列问题进行自我总结（学生回答，其余同学补充） 引导学生自我反馈，自我总结、梳理数学知识、感悟数学思体会数学研究方法，内化知识和经验，促进目标达成. 2分钟
作业布置 必做：教材习题3.3第1-4题选做：探究二次函数的图像为什么是抛物线？ 查阅资料，动手操作，对本节课所学知识进行巩固和梳理，构建自己的认知（初高中认知的统一）. 作业梯度设计，以学生发展为本，使不同学生在数学上获得不同的发展，形成开放性的学习环境，满足不同学生的需求. 1分钟
学习效果评价
本课教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特点，抽象出抛物线的概念，又通过坐标法推导出抛物线的四种标准方程.在教学过程中，教师是主导者，通过动画展示生活中的抛物线运动，又用几何画板展示抛物线轨迹的形成过程，让学生通过分析动点的几何特征，得到抛物线的几何要素；然后让学生类比椭圆、抛物线的标准方程的推导过程来推导抛物线的标准方程.课堂结合问题设置以及思考，将学生引导至课堂深处，整节课又以学生为主体，让学生积极参与，学生通过直观感知，将原本抽象的问题具体生动的与同学老师一起分享交流，始终保持较高的学习积极性，在理解数学概念，把握数学知识的过程中领会以数学知识为载体的数学思想方法，构建圆锥曲线概念体系和坐标法求解动点轨迹方程的一般方法.
本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比的特点（300-500字数）
本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比，在信息技术环境下，能将抽象的抛物线数学概念形象化、简单化，互动性更强，更好地将概念的形成发展过程清晰地展现在学生面前，很容易的让学生找到抛物线的几何要素，降低了概念理解对学生的困扰.此外，借助几何画板软件，学生可以通过动态感知如何建立平面直角坐标系更为合理，更有利于我们推导抛物线的标准方程.另外，在探究抛物线的开口方向、焦点位置与抛物线的标准方程之间的关系时，如果没有信息技术的支持，学生很难想象到焦点位置不同，抛物线会呈现出四种不同的形态，但是借助几何画板，学生通过动手操作，就很容易可以直观的感知抛物线焦点的位置决定了抛物线的开口，从而决定了标准方程，为学生的推导标准方程提供了明确的方向.同时利用信息技术也解决了课堂容量不够的问题，并为学生来展示自己的成果留出了时间，增加了学生的课堂参与度，课堂有效时间更多了.
教学反思
信息技术与数学教学整合能够有效地帮助学生构建新的知识结构，有利于学生的观察和思考，但传统教学方式也不可全盘否定.教学时，学生是学习的主体，要加强师生的互动性，不能单调枯燥的利用信息技术，也不能只为了追求知识的量而进行灌溉教学，而应该把计算机技术有机地融入到教学中，使用黑板、粉笔、多媒体三者的结合，才能更好地适应当前学生的实际情况.信息技术进入课堂已成为一种必然，恰当、有效地使用信息技术，可以大大地提高课堂教学的效率，但任何一种多媒体的使用都是为课堂教学服务的，使用信息技术只是一种手段,而不是目的，所以在数学课堂教学中我们需要根据不同的课型，不同的知识等灵活应用，切不可为了追求课堂的数字化而舍本逐末，应该选择恰当的地方进行信息技术辅助教学.
教学案例基本信息
学科 数学 学段 第二学段 年级 高二
案例名称 抛物线及其标准方程
教材 书名：普通高中教科书（选择性必修第一册）出版社：人民教育出版社出版日期：2022年7月
课程说明(信息技术与学科内容结合方面的指导思想与理论依据）
建构主义学习理论是认知学习理论的一个重要分支.建构主义学习理论认为，对事物的理解不是简单由事物本身决定的，人是以原有的知识经验为基础来建构自己对现实世界的解释和理解，学习是一个积极的意义建构过程，教学并不是把知识经验从外部装进学生的头脑中，而是要引导学生从原有经验出发，生长(建构)起新的经验.由于建构主义所要求的学习环境得到了当代最新信息技术成果的强有力支持,教师注重对学习环境的创设，通过计算机多媒体技术和网络技术在教学中为学生提供个性化的支持和帮助，培养学生通过协作学习解决问题的能力，提高学生学习效率和教师教学效率.
信息技术环境软硬件要求及搭建环境情况
几何画板和flash动画软件，PPT软件，投影.
教学背景分析
教学内容:著名的李邦河院士曾说:“数学是玩概念的”，概念是进行一切数学活动的基础，因此，教学中要重视对数学的概念，定义的理解及应用，引导学生感悟数学本质.圆锥曲线问题是中学数学研究的一类重点问题，蕴含着经典的数学思想和方法.动点运动变化过程中的不变量是几何问题本身研究的核心内容，这类问题的背后有许多有趣的结论可探究，因此，本节课一方面为学生研究动点问题提供了相关方法;另一方面，让学生体验像数学家一样发现问题的方法，为进一步掌握和学习圆锥曲线内容提供行之有效的思想方法.抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直线(不经过定点)是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念，类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标法推导抛物线的标准方程.教学思想： 本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示.另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法;在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念;在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想;求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法:对二次函数的图象为什么是抛物线的研究用到了化归与转化思想等等.学情分析： 所授课班级高二14班属理科尖子班，学生思维活跃，具有一定的归纳总结能力，但数学语言表达能力以及证明推理能力还有待提高.本节课是在学生学习了圆锥曲线椭圆和双曲线之后去学习另外一种圆锥曲线，有了研究之前两种曲线概念的经验，再加之借助几何画板的动态演示，学生有能力构建出抛物线的概念和特征，建立抛物线的标准方程.
教学目标
目标能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的几何特征，发展直观想象和抽象概括素养.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象和数学运算素养.教学重点：抛物线的定义以及标准方程 教学难点：抛物线定义的形成过程以及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）
教学过程
教学阶段 教师活动 学生活动 设计意图 技术应用 时间安排
设置情境导入新课 利用flash动画软件给出生活实例：投篮和小球上抛的运动的动画. 思考：篮球和小球运动过得轨迹是怎样的曲线？ 激发学生学习兴趣，直接引入主题. flash动画软件 1分钟
引导探究获得新知 问题1：（几何画板展示）如图1：是定点，是不经过点的定直线，是直线上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点.拖动点，点随之运动，你能发现满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 观察几何画板展示的点的变化轨迹.思考：（1）动点是如何获得的？（2）线段和线段的几何意义分别是什么？变化的量有哪些？变化顺序如何？变化中是否存在不变的关系？当直线经过点时，线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系？ 强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数字中的应用价值.引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特点，抽象出抛物线的概念，发展学生数学抽象素养. 几何画板软件 6-8分钟
深入探究推导方程 问题2：观察图1中的抛物线，如何选择坐标系可能使所求抛物线的方程形式简单？观察一下三种建立平面之角坐标系，根据抛物线的定义，推导抛物线的方程：问题3：根据抛物线的方程，类比椭圆、双曲线标准方程的不同性质，再获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和标准方程，并将结论填写在表格中. 学生观察抛物线的形状，思考建系的方式.（考虑对称性） 思考：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间一一对应的关系？三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？三种不同形式的抛物线方程是否有联系？小组合作完成完成上表.思考：（1）只研究表中四中形式的标准方策会给你基于怎样的思考？（2）你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程. 注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，对比分析，提升数学运算素养.类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，利用表格的形式呈现抛物线不同形式（焦点位置的不同）的标准方程.引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决问题实际应用问题奠定理论基础. 几何画板软件 15-18分钟
指导应用鼓励创新 例题分析：例1：（1）已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是,求它的标准方程.例2.一种卫星接收天线如图，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处.已知接收天线的口径（直径）卫4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标. 动手操作，知识应用.根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据抛物线焦点坐标求其标准方程.读懂题意，从给出的实物图中抽象出数学图形，建立坐标系，用待定系数法求解问题.练习：教材133页练习题.（口答） 理解抛物线方程中的意义，强化学生对抛物线标准方程、、焦点坐标以及准线方程的认识.让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程. 8分钟
课堂检测巩固新知 已知抛物线的准线方程是，求它的标准方程.已知抛物线上的点与焦点的距离等于7，求点的坐标.求抛物线的焦点坐标和准线方程. 学生自主完成检测（3名学生上板演示，学生自主评价、纠错、完善解答过程），调整自己的认知结构和经验结构，完成经验的自主构建的过程. 考查学生由已知条件求抛物线的标准方程.考查学生灵活运用抛物线标准方程及其几何特征解决问题.考查学生将方程变形为标准方程，然后运用标准方程获得焦点坐标、准线方程. 6分钟
课堂小结 引导学生带着下列问题回顾本节课所学和学习过程：抛物线的几何特征是什么？抛物线的标准方程是如何获得的？抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 学生根据教师所列问题进行自我总结（学生回答，其余同学补充） 引导学生自我反馈，自我总结、梳理数学知识、感悟数学思体会数学研究方法，内化知识和经验，促进目标达成. 2分钟
作业布置 必做：教材习题3.3第1-4题选做：探究二次函数的图像为什么是抛物线？ 查阅资料，动手操作，对本节课所学知识进行巩固和梳理，构建自己的认知（初高中认知的统一）. 作业梯度设计，以学生发展为本，使不同学生在数学上获得不同的发展，形成开放性的学习环境，满足不同学生的需求. 1分钟
学习效果评价
本课教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特点，抽象出抛物线的概念，又通过坐标法推导出抛物线的四种标准方程.在教学过程中，教师是主导者，通过动画展示生活中的抛物线运动，又用几何画板展示抛物线轨迹的形成过程，让学生通过分析动点的几何特征，得到抛物线的几何要素；然后让学生类比椭圆、抛物线的标准方程的推导过程来推导抛物线的标准方程.课堂结合问题设置以及思考，将学生引导至课堂深处，整节课又以学生为主体，让学生积极参与，学生通过直观感知，将原本抽象的问题具体生动的与同学老师一起分享交流，始终保持较高的学习积极性，在理解数学概念，把握数学知识的过程中领会以数学知识为载体的数学思想方法，构建圆锥曲线概念体系和坐标法求解动点轨迹方程的一般方法.
本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比的特点（300-500字数）
本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比，在信息技术环境下，能将抽象的抛物线数学概念形象化、简单化，互动性更强，更好地将概念的形成发展过程清晰地展现在学生面前，很容易的让学生找到抛物线的几何要素，降低了概念理解对学生的困扰.此外，借助几何画板软件，学生可以通过动态感知如何建立平面直角坐标系更为合理，更有利于我们推导抛物线的标准方程.另外，在探究抛物线的开口方向、焦点位置与抛物线的标准方程之间的关系时，如果没有信息技术的支持，学生很难想象到焦点位置不同，抛物线会呈现出四种不同的形态，但是借助几何画板，学生通过动手操作，就很容易可以直观的感知抛物线焦点的位置决定了抛物线的开口，从而决定了标准方程，为学生的推导标准方程提供了明确的方向.同时利用信息技术也解决了课堂容量不够的问题，并为学生来展示自己的成果留出了时间，增加了学生的课堂参与度，课堂有效时间更多了.
教学反思
信息技术与数学教学整合能够有效地帮助学生构建新的知识结构，有利于学生的观察和思考，但传统教学方式也不可全盘否定.教学时，学生是学习的主体，要加强师生的互动性，不能单调枯燥的利用信息技术，也不能只为了追求知识的量而进行灌溉教学，而应该把计算机技术有机地融入到教学中，使用黑板、粉笔、多媒体三者的结合，才能更好地适应当前学生的实际情况.信息技术进入课堂已成为一种必然，恰当、有效地使用信息技术，可以大大地提高课堂教学的效率，但任何一种多媒体的使用都是为课堂教学服务的，使用信息技术只是一种手段,而不是目的，所以在数学课堂教学中我们需要根据不同的课型，不同的知识等灵活应用，切不可为了追求课堂的数字化而舍本逐末，应该选择恰当的地方进行信息技术辅助教学.