2023-2024学年安徽省铜陵市等三市高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省铜陵市等三市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为：：现用分层抽样的方法从全体职工中抽取人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
4.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，为异面直线，，，，，则
5.如图，已知过点的函数的图象与函数的图象相交于，两点，且，则( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，已知若有两个解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知随机事件，，满足，，则下面说法正确的是( )
A. 若事件与互斥，则 B. 若，则事件与可能互斥
C. 若事件与相互独立，则 D. 若，则事件与互斥
8.截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形已知正三棱锥，满足，，，，点在内部含边界运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若为虚数，则且
B. 若复平面内表示复数的点位于第二象限，则
C. 若，则
D. 若且，则
10.已知正数，满足，则下面不等式正确的是( )
A. B. C. D.
11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则下列说法正确的是( )
A. 点，，，四点共面
B. 几何体的外接球的体积为
C. 满足平面的点的轨迹长度为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一个扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则该扇形的弧长为______．
13.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 ______．
14.甲、乙两队进行答题比赛，每队名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得分，答错一题得分已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中名选手答对题的概率分别为在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，函数．
求函数的解析式；
若且在第三象限，求的值．
16.本小题分
如图，已知圆锥，为底面直径，是底面圆周上不同于、的一点，母线长为．
若点为的中点，证明：平面；
若该圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的表面积．
17.本小题分
某学校高一年级进行某学科的考试，所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在．
年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，估计此次考试成绩优胜的分数线；
现用分层随机抽样的方法在第二组和第四组中选取人，进行成绩情况调研．
从这人中抽取人，求这人不在同一组的概率；
若抽取的同学中，第二组的成绩的平均数和方差分别为和，第四组的成绩的平均数和方差分别为和，据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差．
18.本小题分
如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点．
证明：；
当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值；
当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值．
19.本小题分
在锐角三角形中，内角，，所对应的边分别为，，，点，分别为边，的中点，满足．
求的值；
求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，，
所以
，
故解析式为；
因为，
所以，则，，解得，，
因为在第三象限，所以可取，，
则．
16.证明：连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：因为该圆锥的轴截面是，
所以，
所以，
又，所以或，
当时，为等边三角形，所以，则，
所以该圆锥的表面积，
当时，则，
所以，
所以该圆锥的表面积；
综上可得该圆锥的表面积为或．
17.解：根据题意可得估计此次考试成绩优胜的分数线为：分；
第二组和第四组的比例为：：，
在第二组和第四组中选取的人，其在第二组和第四组中分别为人；人，
设其分别为，；，，，，
则再从这人中抽取人，所得样本空间为：
，，，，，，，，，，，，，，，其中共有个样本点，
设事件“这人不在同一组“，则，，，，，，，，其中共有个样本点，
所求概率为；
第二组和第四组的比例为：，
根据题意可估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的加权平均数为：，
估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差为．
18.解：证明：设的边长为，连接、，则，
因为，所以，又，
所以，
所以；
因为，所以，又，，平面，
所以平面，连接，
则为与平面所成角，
又平面，所以，
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，
所以，
即与平面所成角的余弦值为；
由于，将底面补成矩形，连接、，
则且，
所以为异面直线与所成角或其补角，
因为点为的中点，则点为的中点，所以，
又，，
所以≌，所以，
所以，所以，
若，此时舍去，
所以，
又，所以，
所以．
19.解：由点，分别为边，的中点，满足，
可得，即，
即有，
化简可得，即；
由三角形为锐角三角形，可得，，，
即，，，可得，，
化简可得，
则，
设，由对勾函数的单调性可得在递减，
在递增，
即有的最小值为，或时，，
则的取值范围是
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