江苏地区期末真题重组卷（含解析）-2023-2024学年高一数学下学期

中小学教育资源及组卷应用平台
江苏地区期末真题重组卷-2023-2024学年高一数学下学期
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏南京·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（ ）
A．与C互斥 B．A与C相互独立 C．B与D互斥 D．B与D相互独立
2．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·江苏无锡·期末）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出两只球，则至少有一个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知的内角所对的边分别为，且，某同学根据上述条件推断了以下四个结论：①角一定是锐角；②；③；④的最小值为，则这四个结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．26π B．28π
C．34π D．14π
7．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．，，，，则 D．，，，则
8．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．不存在
二、多选题
9．（23-24高一下·江苏无锡·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为偶数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与D互为对立事件
C． D．
10．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（ ）
A．为钝角三角形
B．的最大内角是最小内角的2倍
C．若为中点，则
D．若，则
11．（23-24高一下·江苏扬州·期末）以下命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若复数满足，则对应的点在第二象限
D．是复数为纯虚数的充分不必要条件
三、填空题
12．（23-24高一下·江苏徐州·期末）的面积为，角的对边分别为，若，则 .
13．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，展现的是一种被称为“旋四角反棱柱”的十面体，其上下底面平行且均为正方形，上下底面的中心所在直线垂直于两底面．已知此多面体上下底面的边长为，上下底面之间的距离为，则此十面体体积的最大值为 ．
14．（23-24高一下·江苏淮安·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·江苏无锡·期末）记的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长
16．（23-24高一下·江苏南通·期末）已知复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，复数
(1)求，的值；
(2)求，的值．
17．（23-24高一下·江苏南通·期末）如图在中，，，设，
(1)用表示向量．
(2)若，，，求．
(3)若，，求．
18．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，在正方体中，，分别是，的中点，．
(1)若中点为，求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
19．（23-24高一下·江苏盐城·期末）2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：

(1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；
(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
参考答案：
1．C
【分析】根据互斥、独立事件的概念判断各选项的正确与错误.
【详解】记表示基本事件：第一枚骰子的点数为，第二枚骰子的点数为.
对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误；
对B：因为，，事件包含基本事件，，所以，
因为，所以不独立，故B错误；
对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，所以事件和互斥，故C正确；
对D：因为，，，因为，所以不独立，故D错误.
故选：C
2．A
【分析】利用投影向量定义，由数量积的坐标表示代入计算可得结果.
【详解】由可得；；
根据投影向量的定义可得在上的投影向量为.
故选：A
3．C
【分析】利用古典概型，分有一个红球和有两个红球的情况来求解．
【详解】解：有一个红球时：，
有两个红球时：，
故，
故选：C．
4．B
【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】依题意，
，，
为钝角，①错误.
，
，②正确.
，由正弦定理得，
，，
由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.③正确.
，
，
整理得，
由于为钝角，，所以，
当且仅当时等号成立.
所以，④错误.
故选：B.
5．C
【分析】利用正方体的性质，通过平行至相交直线所成角，再利用余弦定理即可求解.
【详解】
如图，设为底面中心，为上底面中心，易得，
所以异面直线与所成的角就是或其补角，
设正方体的棱长为，可得，，，
由余弦定理得：，
所以，异面直线与所成的角是，
故选：C.
6．C
【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积.
【详解】如图，因为面，四边形为正方形，
所以可将四棱锥补成长方体，
则四棱锥的外接球也是长方体的外接球.
由面，所以就是与平面所成的角，
则，所以，
设四棱锥的外接球的半径为，
因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，
所以，所以，
所以四棱锥的外接球的表面积为.
故选：C
7．D
【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据空间直线的位置关系判断B，根据面面平行的判定定理判断C，根据线面平行的性质定理判断D.
【详解】当，，时，不能推出，故A错误；
当，时，可能相交，也可能异面，不能推出，故B错误；
当，，，，若不相交，则推不出，故C错误；
当，，，由线面平行的性质定理知，故D正确.
故选：D
8．D
【分析】把代入，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求出，进而求出面积的最大值.
【详解】由及，得，
在中，由正弦定理得，
即，整理得，
而，即，因此，即，
，当且仅当时取等号，即，，
等号无法取到，面积的最大值不存在.
故选：D
9．ABD
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念及古典概型公式求解.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，样本空间，
则，，，.
AB选项：根据互斥与对立事件的概念可知，A与B互斥，A与D互为对立事件，故AB正确；
C选项：，故C错误；
D选项：，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】依题意由正弦定理得，不妨设，则，故求出最大边所对的角即最大角即可判断A；由余弦定理以及二倍角公式即可判断B；求出中线即可判断C；借助求出角平分线即可判断D.
【详解】由题知内角所对的边分别为，
由正弦定理可知，不妨设，则，
对于A，由上知边为最大边，故为最大角，
由余弦定理知，故为锐角，所以为锐角三角形，故错误；
对于，由上知A为最小角，且，
又，知，即，
又均为锐角，则，故B正确；
对于，因为为中点，所以，

平方得，
，又，故，故C正确；
对于D，由，得，又，
所以，由，即，
故，故D正确，
故选：BCD.
11．BC
【分析】由复数不能比较大小判断A；计算判断B；由复数的几何意义判断C；由复数为纯虚数的条件判断D.
【详解】对于A：复数不能比较大小，所以错误，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：若复数满足，则对应的点，
所以对应的点在第二象限，故C正确；
对于D：当时，若，则复数为实数，
所以是复数为纯虚数的不充分条件，
若复数为纯虚数，则，
所以是复数为纯虚数的必要条件，故D错误.
故选：BC.
12．
【分析】根据三角形面积公式和余弦定理代入化简计算即可得.
【详解】易知，
即，
则.
故答案为：.
13．
【分析】首先计算每个平行于底面的平面截该十面体得到的截面面积在一个特殊情况同时取到最大，然后在此种条件下通过分割几何体的方法求出体积的最大值.
【详解】
如图，设有一平行于底面的平面，并设该十面体被平面截得的截面为八边形.
并设平面和下底面之间的距离为，则
，，，，，，，.
将所有的点都投影到一个平行于底面的平面上，得到两个外接圆相同的正方形和一个八边形，如下图所示.
设在投影后的图中，的面积为，则.
根据相似三角形性质有，，
所以.
由于，，故每个截面的面积最大值都在时取到.
这个时候，，此时原组合体的体积取到最大值.
在该条件下，我们计算原几何体的体积，此时有，.
记下底面和上底面的中心分别为和，则直线垂直于两底面，并设的中点为.
在线段上分别取点，使得，则由于，且，故四边形为平行四边形.
而平面，且直线在平面内，故，所以四边形为矩形.
所以，而由可知，且和在平面内交于点，故平面.
同理，平面.
现在，由于，，故点到的距离.
根据对称性，点到平面的距离也为，同时，直线和的距离等于的长度，即.
同理，点到平面的距离和点到平面的距离均为，与，和与的距离都是.
所以.
同理.
而，
同理.
又有.
所以在该条件下，该几何体的体积为
.
综上，此十面体体积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的分割方式计算组合体的体积.
14． ； 或或或或或或或或．
【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果．
【详解】由题意，；
由，
得，
则
，
即，
即，
即，
即，
解得或，
又，，
故或或或或或或或或，
故x的取值集合为
故答案为1，或或或或或或或或．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，再结合三角形内角和定理和诱导公式可求角.
（2）由三角形面积公式和角，可求的值，再结合余弦定理可求，即可得三角形的周长.
【详解】（1）由
又得
其中
化简得
又得.
即
因为是三角形的内角，所以.
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周长为．
16．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念以及几何意义可得和，即可得结果；
（2）根据（1）中结果，利用两角和差公式分析求解，注意角之间的关系.
【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，
则，可得；
又因为复数，
则，可得.
（2）由（1）可知：，，
所以；
.
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算分析求解即可；
（2）根据题意可得，根据模长公式结合数量积的运算律分析求解；
（3）根据垂直关系分析可得，，结合夹角公式分析求解.
【详解】（1）由题意可知：
所以；
.
（2）由题意可知：，则，
可得，
所以.
（3）若， 则，
整理可得，
又因为，且，
整理可得，
则，可得，即，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证线面平行，再由面面平行的判定定理得证；
（2）根据等体积法求点到面的距离即可得解.
【详解】（1）∵为的中点，是的中点，∴，
又平面，平面，∴平面，
∵是的中点，为的中点，∴，
∵，，
∵平面，，平面，∴平面，
∵，平面，，∴平面平面
（2）根据题意可得，
∴，
，
设点到面的距离为，
根据等体积法可得，
∴，解得，
∴点到平面的距离为
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；
（2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：
；
（2）样本中年龄在区间的频率为，
年龄在区间的频率为，
则年龄在区间抽取人，分别记作、、、，
年龄在区间抽取人，分别记作、，
从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、
、、、、、、、、共个，
其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，
所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)