2023-2024学年湖南省益阳市安化县高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省益阳市安化县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
2.已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.下列说法中不正确的是( )
A. 三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥
B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C. 平行的线段在直观图中仍然平行
D. 在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面
4.在中，若，，，则的大小为( )
A. B. C. D. 或
5.根据气象学上的标准，如果连续天的日平均气温都低于即为入冬现将连续天的日平均气温单位：的记录数据记录数据都是自然数作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有( )
A. 平均数小于 B. 平均数小于且极差小于或等于
C. 平均数小于且标准差小于或等于 D. 众数等于且极差小于或等于
6.正边长为，、为线段的三等分点，则( )
A. B. C. D.
7.的三个内角，，的对边分别为，，，若，，则的形状是( )
A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
8.在棱长为的正方体，中，是的中点，点是正方体的表面包括边界上的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从，，，，中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有( )
A. “三个都为偶数”和“三个都为奇数”
B. “至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C. “至少有一个奇数”和“三个都为偶数”
D. “一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. ，
11.如图，在棱长为的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列说法中正确的是( )
A. 不存在点，使得平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 平面截该正方体所得截面的面积的最大值为
D. 平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有一组数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，，则这组数据的上四分位数为______．
13.已知中，，，为边上的中线，若，则 ______．
14.三棱锥中，，在底面的射影为的内心，若，，，则四面体的外接球表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
求角；
若，求的取值范围．
16.本小题分
如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆的圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形．
若是的中点，求证：平面；
若，，求三棱锥的体积．
17.本小题分
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下：
试验序号
伸缩率
伸缩率
记，记，，，的样本平均数为，样本方差为．
求，；
判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高
18.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形，，分别为，的中点．
若平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值；
求证：平面平面．
19.本小题分
双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛、、、四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第场比赛为决赛．
假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为，求：
获得季军的概率；
在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；
若的实力出类拔萃，有参加的比赛其胜率均为，其余三人实力旗鼓相当，求进入决赛且先前与对手已有过招的概率．
参考答案
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15.解：因为，，且，
所以，由正弦定理得，
因为中，，可得，
所以，可得，结合，可知；
根据余弦定理，得，整理得，
由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立．
所以，解得，
结合中，，可得，即的取值范围是
16.证明：依题意，连接，
因为、分别是、中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为四边形是矩形，，
同理有平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
解：因为在圆锥中，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，
在平面内过点作于点，
所以平面，
在中，，
所以，
所以平面，平面，
所以，
又，，
所以，
则，
所以三棱锥的体积为．
17.解：根据表中数据，计算，填表如下：
试验序号
伸缩率
伸缩率
计算平均数为，
方差为．
由知，，，
所以，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
18.解：因为为正三角形，且为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，
设菱形的边长为，则，
在中，由余弦定理知，，
所以，
在中，，
所以，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
在菱形中，，所以为正三角形，
因为为正三角形，
所以≌，所以，
又是的中点，所以，
所以，
因为，且是的中点，所以，
又，所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
19.解：假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为，即概率为，
由题意，第一轮比赛，一组，，一组，
要获得季军，则进入胜者组，后续连败两轮，或进入负者组，后续两轮先胜后败，
所以获得季军的概率为；
设表示队伍在比赛中胜利，表示队伍所参加的比赛中失败，
事件：队伍获得亚军，事件：队伍所参加所有比赛中失败了两场，
事件：包括，，，，五种情况，
则
，
其中事件包括，两种情况，
则，
所以所求概率为；
由题意，获胜的概率为，、、之间获胜的概率均为，
要使进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：
若与在决赛中相遇，分为：胜，胜，：负胜胜，或：负胜胜，：胜，胜，
概率为，
若与决赛相遇，：胜，胜，：胜负胜，或：胜，负，胜，：胜胜，
概率为，
若与决赛相遇，同与在决赛中相遇，
概率为，
所以进入决赛且先前与对手已有过招的概率．
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