2023-2024学年甘肃省武威七中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年甘肃省武威七中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是““的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一其内容是：“任意一一个大于的偶数都可以写成两个素数质数之和”若我们将拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于的条件下，两个加数均为素数的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知正方体中，点在棱上，直线平面，则点的位置是( )
A. 点 B. 点 C. 的中点 D. 不存在
6.已知若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
7.某地区有名学生参加某次考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地区学生本次考试数学成绩在分以上的人数为( )
A. B. C. D.
8.已知偶函数定义域为且，上有，若，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为单位：千克，当季该种作物的亩产量为单位：百千克．
现有两种模型可供选用，模型为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型的决定系数和模型的决定系数，则( )
A.
B. 模型的拟合效果比较好
C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量一定增加个单位
D. 若组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上
10.下列四个命题中假命题是( )
A. ， B. ，
C. ，使 D. ，
11.我国古代数学名著九章算术中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”现有一如图所示的“暂堵”，其中，若，，则( )
A. 该“堑堵”的体积为
B. 该“堑堵”外接球的表面积为
C. 若点在该“堑堵”上运动，则的最大值为
D. 该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，且，则的最大值为______．
13.如图，二面角的大小为，其棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱若，，，则，两点间的距离为______．
14.已知函数，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，且满足，，求实数，的值．
16.本小题分
已知件产品中有件合格品和件次品，现从这件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设采用有放回的方式抽取的件产品中合格品数为，采用无放回的方式抽取的件产品中合格品数为．
Ⅰ求；
Ⅱ求的分布列及数学期望；
Ⅲ比较数学期望与的大小．
17.本小题分
已知函数，注：是自然对数的底数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若只有一个极值点，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
19.本小题分
为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图若本次数学成绩在分及以上视为优秀，将一个星期有天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于天视为“不经常整理”已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
求图中的值；
根据图、图中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？
附：．
参考答案
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14.
15.解：因为，，
又，，
故B，即，是方程的根，
所以，，
故，．
16.解：Ⅰ采用有放回的方式，每次抽到正品的概率都是，
所以；
Ⅱ采用无放回的方式，的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：


所以；
Ⅲ当采用有放回的方式时，，
则，
所以．
17.解：当时，，
，
所以在处的切线斜率为，
又，
所以在处的切线方程为，
即，
所以在处的切线方程为．
若只有一个极值点，则只有一个根，
所以方程只有一个根，
即只有一个解，
即与只有一个交点，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
18.解：证明：如图所示，连接，交于点，连接．
底面是正方形，点是的中点．
在中，是中位线，．
而平面且平面，
平面；
证明：底面，且平面，．
，是等腰直角三角形．
又是斜边的中线，
由底面，得．
底面是正方形，．
又，平面．
又平面，
由和推得平面．
而平面，．
又，且，平面；
由知，，故是二面角的平面角．
由知，，．
设正方形的边长为，则，，，
，，
在中，．
在中，，．
故平面与平面的夹角的大小为．
19.解：由题意可得，
解得；
数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，
则补全列联表如下：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于．
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