2023-2024学年天津一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年天津一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”甲、乙等名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
10.函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知函数则 ______．
12.已知关于的展开式中的常数项为，则 ______．
13.定义在上的偶函数满足，且当时，，则等于______．
14.已知函数，则关于的不等式的解集为______．
15.我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为______．
16.已知函数，，若对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
若，求函数在点处的切线方程；
若函数在处取得极值，求的单调区间．
18.本小题分
我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司能正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
求甲公司至少答对道题目的概率；
分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
，，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数，其中．
当时，，求的取值范围．
若，证明：有三个零点，，，且，，成等比数列．
证明：
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
易知，
若函数在处取得极值，
此时，
即，
解得，
此时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
则符合题意，
综上，函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为．
18.解：由题意可知甲公司至少答对道题目可分为答对题和答对题，
所求概率；
设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为，，，
，，，
则的分布列为：
所以，，
设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为，，，，
，，
，，
则的分布列为：
所以，
，
由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大．
19.解：的定义域为，
则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，显然成立，此时可为任意实数，
当时，由，在上恒成立，得，
令，，
则，
设，
由可知，在上单调递增，
所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
则，
所以，
综上，实数的取值范围为．
20.解：由题意可知的定义域为，
，
设，其中，
当，即时，，所以，单调递增，
所以当时，，
故满足题意，
当，且，即时，，
所以，单调递增，
所以当时，，
故满足题意，
当，且，即时，
设的两根为，，
解得，，
则当时，，所以，单调递减，
则，
故不满足题意，
综上，的取值范围是；
由可知，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
取，，
其中，所以，即，
取，其中，所以，即，
所以在上存在唯一零点，
即在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以，，
又，
所以也是函数的零点，
显然且，所以，即，
所以，
所以，，成等比数列；
由可知当时，为单调递增函数，
所以当时，，即，
整理得，即，
所以，
则，
故
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