2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为，利用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则从高一年级抽取学生人数为( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的高为，其底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.若一组数据的平均数为，方差为，将每一个数都乘以，再减去，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知，是两个随机事件且概率均大于，则下列说法正确的为( )
A. 若与互斥，则与对立 B. 若与相互独立，则与互斥
C. 若与互斥，则与相互独立 D. 若与相互独立，则与相互独立
6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知锐角的面积为，，则边的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B.
C. D. 表示的点在第一象限
10.已知平行四边形的两条对角线交于点，，则( )
A. B.
C. D.
11.在直三棱柱中，高为，，，下列说法正确的是( )
A.
B. 若存在一个球与棱柱的每个面都内切，则
C. 若，则三棱锥外接球的体积为
D. 若，以为球心作半径为的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与夹角为，，，则 ．
13.如图，将各面都涂了油漆的正方体分割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后从中随机取一个小正方体，则取到小正方体的油漆面数为的概率为 ．
14.如图，从楼顶点测得地面，两点的俯角分别为，，已知，两点的距离为，则楼高约等于 用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：，，，，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，
若，求
若，求．
16.本小题分
甲、乙两人独立做一道数学题，他们解答正确的概率分别为和．
求两人解答都正确的概率
求至多一人解答正确的概率
求至少一人解答正确的概率．
17.本小题分
在中，，，是边上的中线．
求的面积
求中线的长．
18.本小题分
某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分分分及以上为“消防之星”，共有人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第百分位数
若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的人年龄在不同组的概率
若第三组的年龄的平均数与方差分别为和，第四组的年龄的平均数与方差分别为和，据此计算这人中第三组与第四组所有人的年龄的方差．
附：
19.本小题分
如图，在三棱柱中，，，侧面为矩形．
记平面与平面交线为，证明：
证明：为等边三角形
若，，且为棱的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值．
参考答案
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14.
15.解：若 ，
则，解得，
因为，所以．
若 ，
则，解得，
因为，所以．
16.解：记“甲独立解答正确”为事件，“乙独立解答正确”为事件，且事件，相互独立．
已知，，
所以两人解答都正确的概率为．
“至多一人解答正确”的对立事件为“两人都解答正确”，所以至多一人解答正确的概率为．
“至少一人解答正确”的对立事件为“两人都未解答正确”，所以至少一人解答正确的概率为．
17.解：在中，由正弦定理得，
所以，
解得．
因为，所以，
所以，所以．
又，，
所以的面积．
解法一：在中，，，
因为是中点，所以，
由余弦定理，得．
所以．
解法二：由两边平方可得，
由可知，，，
所以．
所以．
18.解：这些人的平均年龄为岁．
由频率分布直方图可知，年龄在的频率为，
在的频率为，
则第百分位数为，
由，解得．
所以估计这些人的平均年龄为岁，第百分位数为．
第三组，第四组，第五组的频率分别为，，．
若从这三组中分层抽取人，则从第三组抽取人，记为，，
第四组抽取人，记为，第五组抽取人，记为
对应的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，所以
设事件为“从人中随机抽取两人，所抽取的人年龄在不同组”，
则，，，，，，，，，，，所以．
所以．
设第三组、第四组的年龄的平均数分别为，，方差分别为，．
则，，，．
由第三组有人，第四组有人，
设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为，
则．
．
所以这人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为．
19.解：由已知，平面，平面，
所以平面又平面，平面平面，
所以
取中点为，连接，
因为侧面为矩形，所以，
又，则．
由，所以．
又，，平面，
故BC平面
由于平面，
故BC．
又，故AB，又，
所以为等边三角形．
记与交于点，连接，过作于点，连接．
因为，分别为，中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形．
所以平面平面H.
由可知平面，，平面，
所以，，
又，，
所以平面，又平面，
所以，
即为平面与平面所成的锐二面角．
在中，，，
所以为等腰直角三角形，
所以．
因为，为等边三角形，
所以，
所以，
则．
同理可证，又知为中点，
所以．
所以为边长为的等边三角形，且，
在中，，
因为，
所以．
故平面与平面所成二面角的正弦值是．
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